2.3 函数的单调性 学案7（含答案）

　2.3
函数的单调性
学案
课时目标　1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．
1．单调性
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I A.
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调________，I称为y＝f(x)的单调________．
2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________．
3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．
4．函数y＝的单调递减区间为__________．
一、填空题
1．定义在R上的函数y＝f(x＋1)的图象如右图所示．
给出如下命题：①f(0)＝1；
②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0；④若x<0，则f(x)>0，其中正确的是________．(填序号)
2．若(a，b)是函数y＝f(x)的单调增区间，x1，x2∈(a，b)，且x1”、“<”或“＝”)
3．f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则方程f(x)＝0在区间[a，b]上________．(填序号)
①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．
4．函数y＝x2－6x＋10的单调增区间是________．
5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的是______________________________________．
①>0；
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；
③f(a)④>0.
6．函数y＝的单调递减区间为________．
7．设函数f(x)是R上的减函数，若f(m－1)>f(2m－1)，则实数m的取值范围是________．
8．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，2]时是减函数，则f(1)＝________.
二、解答题
9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．
10．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a求证：f(g(x))在(a，b)上也是增函数．
11．已知f(x)＝，试判断f(x)在[1，＋∞)上的单调性，并证明．
能力提升
12．定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0(1)试求f(0)的值；
(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论．
13．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．
2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f(x)＝在(－∞，0)和(0，
＋∞)上都是减函数，但不能说函数f(x)＝在定义域上是减函数．
3．求单调区间的方法：(1)图象法；(2)定义法；(3)利用已知函数的单调性．
4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：
即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．
若f(x)>0，则判断f(x)的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．
2.3　函数的简单性质
第1课时　函数的单调性
知识梳理
1．f(x1)3．增　4.(－∞，0)和(0，＋∞)
作业设计
1．①④
2．<
解析　由题意知y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，因为x2>x1，所以f(x2)>f(x1)．
3．④
解析　∵f(x)在[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，
∴当f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)<0，f(b)>0，
当f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)>0，f(b)<0，
故f(x)在区间[a，b]上必有x0使f(x0)＝0且x0是唯一的．
4．[3，＋∞)
解析　如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在[3，＋∞)上是递增的．
5．①②④
解析　由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，①、②、④正确；
对于③，若x1即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故③不成立．
6．(－∞，－3]
解析　该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数f(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数．
7．m>0
解析　由f(m－1)>f(2m－1)且f(x)是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0.
8．－3
解析　f(x)＝2(x－)2＋3－，
由题意＝2，∴m＝8.
∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
9．解　y＝－x2＋2|x|＋3
＝＝.
函数图象如图所示．
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数，
函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，
单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
10．证明　设a∵g(x)在(a，b)上是增函数，
∴g(x1)且a又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
11．解　函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数．
证明如下：
任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵1≤x1∴x2＋x1>0，x2－x1>0，＋>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，
故函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．
12．解　(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．
因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.
(2)函数f(x)在R上单调递减．
任取x1，x2∈R，且设x1在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
若取m＋n＝x2，m＝x1，
则已知条件可化为f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)，
由于x2－x1>0，所以0在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，
令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.
当x>0时，0所以f(－x)＝>1>0，
又f(0)＝1，所以对于任意的x1∈R均有f(x1)>0.
所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]<0，
即f(x2)所以函数f(x)在R上单调递减．
13．解　(1)∵f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，∴f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
∵f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
∴，解得m≥4.∴不等式的解集为{m|m≥4}．