2.3.1 函数的单调性与最值（二）学案3（含答案）

2.3.1
函数的单调性与最值（二）
学案
主要考点梳理
1．函数的单调性
设函数的定义域为：
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数；
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
易混易错点：这里的必须是区间上任意的两个值，而不是具体的两个值．即对于上具体的两个值，即便有（或），也不能断定在区间上是增函数（或减函数）．
2．函数的单调区间
如果函数在区间上是增函数（或减函数）就说在区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间．
易混易错点：注意函数的单调性和单调区间的区别．函数在某区间上具有单调性是指这个函数在这个区间上所具有的单调趋势，而函数的单调区间是指这个函数具有某种单调趋势的自变量的取值区间．
3．函数的最大值与最小值
一般地，设函数的定义域为．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最大值．
同样地．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最小值．
易混易错点：常常因为不注意定义中的任意性以及的存在性，而导致判断失误．对函数最大值与最小值的理解，应注意如下两点：
①注意定义中的任意性．即对于定义域内的所有的，都必须满足不等式或．
②注意定义中的存在性．即是函数的一个函数值．
易错小题考考你
题一
题面：证明函数在区间上是减函数．
一位学生证明如下：因为，并且，
所以，
所以函数在区间上是减函数．
请问这位学生证对了吗？若证对了，请说明理由；若证错了，请指出错误原因，并给出正确证明．
题二
题面：已知函数则．上述判断正确吗？为什么？
金题精讲
题一
题面：若二次函数在区间上为减函数，则实数的取值范围是__________________________．
题二
题面：若函数对任意，都有，则实数a的取值范围是(　
　)．
A．
B.
C.
D.
题三
题面：求函数在区间上的最大值和最小值．
题四
题面：函数对任意的都有，并且当时，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求证：在上是增函数．
课后拓展练习
注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.
题一
题面：函数是单调函数时，的取值范围是____________．
难度：容易题
题二
题面：已知，则函数的单调递减区间是_____________．
题三
题面：设函数是定义在上的减函数，并且满足，．
(Ⅰ)求的值，
(Ⅱ)如果，求的取值范围．
讲义参考答案
易错小题考考你
题一
答案：不正确．
题二
答案：错误．
金题精讲
题一
答案：．
题二
答案：D．
题三
答案：，．
题四
答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）证明略.
课后拓展练习
题一
答案：．
详解：由，得．所以的取值范围是．
题二
答案：．
详解：函数，，故函数的单调递减区间为．
题三
答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)
．
详解：(Ⅰ)令，则，∴．
(Ⅱ)∵
∴，
∴．
又由是定义在上的减函数，
得：　解之得：，
所以的取值范围是．