2.3.1 函数的单调性与最值（一）学案2（含答案）

2.3.1
：函数的单调性与最值（一）学案
主要知识点梳理
1．函数的单调性
设函数的定义域为：
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是增函数；
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
易混易错点：这里的必须是区间上任意的两个值，而不是具体的两个值．即对于上具体的两个值，即便有（或），也不能断定在区间上是增函数（或减函数）．
2．函数的单调区间
如果函数在区间上是增函数（或减函数）就说在区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间．
易混易错点：注意函数的单调性和单调区间的区别．函数在某区间上具有单调性是指这个函数在这个区间上所具有的单调趋势，而函数的单调区间是指这个函数具有某种单调趋势的自变量的取值区间．
3．函数的最大值与最小值
一般地，设函数的定义域为．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最大值．
同样地．如果存在实数满足：①对任意的都有，②存在．使得．那么我们称是的最小值．
易混易错点：常常因为不注意定义中的任意性以及的存在性，而导致判断失误．对函数最大值与最小值的理解，应注意如下两点：
①注意定义中的任意性．即对于定义域内的所有的，都必须满足不等式或．
②注意定义中的存在性．即是函数的一个函数值．
易错小题考考你
题一
题面：已知函数在区间上定义，并且，则在上递增．以上判断正确吗？为什么？
题二
题面：已知函数，，判断下列结论正确与否：
（1）在区间上是增函数；
（2）的增区间是．
金题精讲
题一
题面：下列函数中在区间上为增函数的是（
）．
A．
B．
C．
D．
题二
题面：定义在上的函数对任意两个不相等实数，总有成立，则必有（
）．
A．
函数先递增后递减
B．
函数先递减后递增
C．在上是增函数
D．在上是减函数
题三
题面：
如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（
）．
A.
B.
C.
D.
题四
题面：已知函数，判断的单调性，并求的最大值和最小值．
课后拓展练习
注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.
题一
题面：函数在实数集上是增函数，则（
）．
A．
B．
C．
D．
题二
题面：已知函数为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（
）．
A.
B.
　
C.
D.
题三
题面：已知函数，若在区间是增函数，求实数的取值范围．
讲义参考答案
易错小题考考你
题一
答案：不正确．因为0，1只是区间上两个具体的值，不具有任意性．
例如，对于函数，显然有，但在上递减，在
上递增，所以在区间上不单调．
题二
答案：（1）正确．
（2）错误．正确回答是：的增区间是．
若把原题中的结论改成“的一个增区间是”，那么结论就正确了．
金题精讲
题一
答案：B
题二
答案：C
题三
答案:
A
题四
答案:
函数在区间上是增函数；，．
课后拓展练习
题一
答案：A
详解：由，得．因此选A．
题二
答案：C
详解：因为为R上的减函数，且，所以，所以，所以
，或．以此选C．
题三
答案：
详解：设，，由得，．
要使在区间是增函数只需，
即恒成立，即恒成立，则．
故实数的取值范围是．