2.3.2 函数的奇偶性 同步测试（含答案）

2.3.2　函数的奇偶性
时间：45分钟　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题6分，共计36分)
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数．
∴f(x)＝f(－x)．即ax2＋bx＋c＝ax2－bx＋c.
∴b＝0.∴g(x)＝ax3＋bx2＋cx＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝－(ax3＋cx)＝－g(x)．
∴g(x)是奇函数．故选A.
答案：A
2．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)等于(　　)
A．x＋x4
B．－x－x4
C．－x＋x4
D．x－x4
解析：当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
则f(－x)＝－x－(－x)4＝－x－x4.
又∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，x∈(0，＋∞)，
从而在区间(0，＋∞)上的函数表达式为f(x)＝－x－x4.故选B.
答案：B
3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是(　　)
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2),
f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，
即f(－π)>f(3)>f(－2)．
故选A.
答案：A
4．如果偶函数f(x)在[3,7]上是增函数，且最小值是5，那么f(x)在[－7，－3]上是(　　)
A．增函数，最小值是5
B．增函数，最大值为－5
C．减函数，最小值是5
D．增函数，最大值为－5
解析：可先画出y＝f(x)在[3,7]上的大致草图，由于y＝f(x)是偶函数，据偶函数的图象关于y轴对称，画出y＝f(x)在[－7，－3]上的图象，可知f(x)在[－7，－3]上为减函数，其最小值为5.
答案：C
5．已知定义在实数集上的函数f(x)，不恒为0，且对任意x，y∈R，满足xf(y)＝yf(x)，则f(x)是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
解析：由xf(y)＝yf(x)，
令x＝1，y＝0，得f(0)＝0.
∴令y＝－x≠0，得xf(－x)＝－xf(x)．
而x≠0，
∴f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数．
又f(x)不恒为0，排除f(x)既奇又偶的可能，故选A.
答案：A
6．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f(2)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)
A．－2B．x<－2或x>2
C．x<－2
D．x>2
解析：由f(2)＝f(－2)＝0.再结合图象可知f(x)<0的解为x<－2或x>2.
答案：B
二、填空题(每小题8分，共计24分)
7．如果函数y＝是奇函数，则f(x)＝________.
解析：设x<0则－x>0，
∴f(－x)＝2×(－x)－3＝－2x－3.
又f(x)为奇函数，∴f(x)＝2x＋3.
答案：2x＋3
8．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
解析：∵g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，
∴1＝f(1)＋2，∴f(1)＝－1，
又∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝1.
令x＝－1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.
答案：3
9．已知对于任意实数x，函数f(－x)＝－f(x)，若方程f(x)＝0有2
009个实数解，则这2
009个实数解之和为________．
解析：据奇函数图象的对称性可知这些根之和一定为0.
答案：0
三、解答题(共计40分)
10．(10分)若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，
f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x),
f(0)＝0，
当x>0时，－x<0，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．
∴函数f(x)的解析式为
f(x)＝
11．(15分)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1－m)解：∵g(x)在[－2,2]上是偶函数，
∴g(1－m)＝g(|1－m|)，g(m)＝g(|m|)．
∵g(1－m)又g(x)在[0,2]上单调递减，
∴解得－1≤m<.
∴m的取值范围是－1≤m<.
——能力提升——
12．(15分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解：(1)∵a>b，∴a－b>0，
由题意得>0，
∴f(a)＋f(－b)>0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)，
∴1＋m≥2m－3，∴m≤4.
∴实数m的取值范围为(－∞，4]．