2.3.2 函数的奇偶性 学案2（含答案）

2.3.2：函数的奇偶性
学案
主要考点梳理
1．奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数．
2．偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数．
如果函数是奇函数或偶函数，那么，就说函数具有奇偶性．
易混易错点：
函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件．因此判断函数为奇函数或偶函数，首先要看定义域是否关于原点对称．然而，不少学生对此缺乏深刻的理解，往往只注意形式化的表达式而不注意定义域关于原点对称的蕴含条件．
3．单调函数的性质
①由奇函数的定义可知，如果在处有定义，则．
②一般地，图象关于原点对称的函数为奇函数；反之，奇函数的图象关于原点对称．图象关于轴对称的函数为偶函数；反之，偶函数的图象关于轴对称．
③奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
易错小题考考你
题一
题面：判断函数的奇偶性时，王新同学这样解：
因为，所以是偶函数．
上述判断正确吗？为什么？
金题精讲
题一
题面：如果偶函数在上有最大值，那么在上（
）．
A．有最大值
B．有最小值
C．没有最大值
D．没有最小值
题二
题面：设函数为奇函数，则
．
题三
题面：设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（
）．
A．
B．
C．
D．
题四
题面：已知（）为奇函数，当时，，求在上的表达式.
题五
题面：已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意的、
都满足．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）判断的的奇偶性，并证明你的结论．
课后拓展练习
注：此部分为老师根据本讲课程内容为大家精选的课下拓展题目，故不在课堂中讲解，请同学们课下自己练习并对照详解进行自测.
题一
题面：设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（
）．
A．是奇函数
B．是奇函数
C．是偶函数
D．是偶函数
题二
题面：若奇函数在上单调递增，又，则不等式的解集为________．
题三
题面：设，都是定义在R上的奇函数，在区间上的最大值是5，求在上的最小值．
讲义参考答案
易错小题考考你
题一
答案：上述判断是错误的．
金题精讲
题一
答案：A．
题二
答案：．
题三
答案：D．
题四
答案：
题五
答案：（Ⅰ），；（Ⅱ）是奇函数；证明略．
课后拓展练习
题一
答案：D．
详解：对于A，设，
则，故函数为偶函数．因此A错误．
对于B，设，则，此时与的关系不能确定，故函数的奇偶性不确定．因此B错误．
对于C，设，，
故函数为奇函数．因此C错误．所以正确选项为D．
事实上，对于D，设，，
故函数为偶函数．因此D正确．．
题二
答案：．
详解因为函数是奇函数，且，所以根据奇函数图象的对称性，可以画出图象（如图），结合图象可以求出解集为．
题三
答案： 1．
详解：考虑，显然为奇函数．
由题意知在上有最大值3，所以在上有最小值 3，
故在上有最小值 1．