湘教版数学七年级上册 3.3 一元一次方程的解法 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025七上·温州期末）将方程去分母得（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025七上·新昌期末）把方程的分母化为整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·潍坊期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．将移项，得
B．将去括号得，
C．将去分母得，
D．方程可化为
4．（2023七上·宜城期末）如果与互为相反数，那么a的值是（ ）
A．2 B．6 C．12 D．
5．定义运算“*”，其规则为 则方程4*x=4的解为( )
A．x=-3 B．x=3 C．x=2 D．x=4
6．（2024七上·广州期末）方程的解是 ．
7．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）七年级上册11.3解一元一次方程（二） 同步练习（2））方程 去分母时，方程的两边应同时乘以 ，则得到的方程是 .
8．（沪科版七上数学3.1一元一次方程及其解法课时作业（4））小明解方程 去分母时，方程右边的﹣3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为 ．
9．（2024七上·南宁月考）解方程：．
二、能力提升
10．（2019七上·兖州月考）若关于x的一元一次方程 ＝1的解是x＝－1，则k的值是（ ）．
A． B．1 C． D．0
11．（2025七上·浦江期末）小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
12．（2018七上·彝良期末）如果方程2x+1=3的解也是方程 的解，那么a的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．以上都不对
13．（2024七上·广州期中）如果是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是那么的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
14．已知方程2-3(x-1)=2x+10的解和关于x的方程 的解互为相反数，则m的值为 ( )
A．-1 B．1 C．2 D．-2
15．（2024七上·竞秀期末）四名同学用接力的方式解方程：，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙
16．若 与2互为倒数，则x= .
17．设a，b，c，d 为有理数，现规定一种新的运算 则满足等式 的x的值为 .
18．（2024七上·宁波期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则 ，该方程正确的解为 ．
19．（2024七上·萧山期末）设代数式，代数式，为常数．观察当x取不同值时，对应A的值并列表如下（部分）：
X … 1 2 3 …
A … 5 6 7 …
若，则 ．
20．（2025七上·椒江期末）阅读小虎同学解方程的过程，并回答问题．
解：①
②
③
④
⑤
（1）小虎解方程最先出现错误的是第__________步（填写序号），该步骤错误原因是__________；（可多选）
A．漏乘不含分母的项
B．分子是多项式，去掉分母后未给分子整体添括号
C．移项没有变号
（2）请正确解出这个方程．
21．（2023七上·遵义月考）设
（1）若，当x为何值时，比大1？
（2）若，且与互为相反数，求a的值．．
三、拓展提升
22．已知a，b为常数，关于x的方程 无论k为何值，它的解总是x=2，求a+b的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘分母的最小公倍数12 ，得：，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查带分母的方程去分母的方法。去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号。本题中的两个分式的分母分别是3和4，最小公倍数是12，因此方程两边都乘分母的最小公倍数12即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用分数的性质将的分子和分母都乘以10，然后再约分解题．
3．【答案】D
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：A中，将移项，得，故A不符合题意；
B中，将去括号得，，故B不符合题意；
C中，将去分母得，，故C不符合题意；
D中，方程可化为，故D符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化x的系数化为1，结合选项，逐一判断，即可得到答案．
4．【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】利用相反数的性质列出关于a的一元一次方程，解方程即可．
5．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得方程4*x=4可化为，
解得x=4，
故答案为：D
【分析】根据新定义变换方程得到，进而解方程即可求解。
6．【答案】22
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：22．
【分析】先去分母，即两边同时乘以5，可得方程：x+3=25，再将系数化为1，得x=22.
7．【答案】12；
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：4 、6和12的最小公倍数是12．则去分母时，方程两边同时乘以12．得到的方程是 .
故答案为：12； .
【分析】各个分母的最小公倍数是12，则去分母时，方程两边同时乘以12．得到的方程是 x 2 ( 5 x + 1 ) 12 = 3 ( 3 x 2 ) .
8．【答案】x=﹣13
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据小明的不符合题意解法得：4x﹣2=3x+3a﹣3，
把x=2代入得：6=3a+3，
解得：a=1，
符合题意方程为： ，
去分母得：4x﹣2=3x+3﹣18，
解得：x=﹣13，
故答案为：x=﹣13.
【分析】根据题意得小明去分母后方程为4x﹣2=3x+3a﹣3，把x=2代入此方程即可求得a的值，进而将a的值代入原方程求解即可.
9．【答案】解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】利用去分母、去括号、移项合并进行解方程即可.
10．【答案】B
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】把x=-1代入方程得： =1，
解得：k=1
故答案为：B．
【分析】方程的解，就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．已知x=-1是方程的解实际就是得到了一个关于k的方程，解方程就可以求出k的值．
11．【答案】B
【知识点】一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】解：按照小马同学去分母的过程得：，
把代入，得：，
解得：；
故答案为：B．
【分析】将代入去分母后的错误方程，解出k值即可．
12．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解 ：解方程2x+1=3得 ：x=1，
∵方程2x+1=3的解也是方程 2 = 0 的解，
∴把x=1代入 2 = 0得
2-=0 ，
解得 ：a=7 .
故应选 ：A.
【分析】首先解出方程2x+1=3得出x的值，然后根据方程解的定义把x的值代入 2 = 0得出一个关于a的方程，求解得出a的值。
13．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；求代数式的值-直接代入求值；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：将代入，
，
，
，
，
由题意可知：，，
，，
．
故答案为：C．
【分析】将x=1代入方程并化简可得，再根据“无论k为何值时，它的解总是”可得，，求出a、b的值，最后将其代入计算即可.
14．【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：2-3(x-1)=2x+10
解得：x= -1
，解得：
∵两个方程的解互为相反数
∴，解得：m=2
故答案为：C
【分析】分别求出两方程的解，再根据题意建立方程，再解方程即可求出答案.
15．【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由方程，
∴，故甲同学计算正确；
∴，故乙同学出现错误；
∵每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，
∴的下一步为：，故丙同学出现错误；
的计算结果为：，故丁同学计算正确；
故出现错误的是乙和丙；
故选D．
【分析】本题考查解一元一次方程的解法，根据解一元一次方程的解答，去分母，移项，合并同类项，把x的系数化为1，逐步分析判断，即可求解.
16．【答案】
【知识点】有理数的倒数；解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵与2互为倒数，
∴，解得x=.
故答案为：.
【分析】根据互为倒数的两个数的积为1， 列出方程求解.
17．【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由 ，得，解得.
故答案为：.
【分析】先将转化为一元一次方程，解这个方程即可求得x的值.
18．【答案】-17；2.5
【知识点】一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】∵ 关于x的方程 在去分母时，漏乘方程右边的常数项，
∴去分母后错误的式子为
∴x=2为方程的解，
将x=2代入方程
解得a=-17，
把a=-17代入原方程得，
2(3x-1)=6-(4x-17)
6x-2=6-4x+17
6x+4x=6+17+2
10x=25
x=2.5.
故答案为：2.5
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的过程一般有去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1等，先根据错误得解法，把方程的解带回去得到a得值 ，再将a得值代入原方程，根据解一元一次方程得步骤求解即可.
19．【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：把x＝1，A＝5代入代数式得：
，
3+a+3＝15，
a+6＝15，
a＝9，
∵A＝B，
∴，
3x+9+3＝9x-3，
3x+12＝9x-3，
6x＝15，
故答案为：．
【分析】选取表格中的一对x和A的值，代入代数式，得关于a的方程，解方程求出a，然后再根据A＝B，把a代入得关于x的方程，解方程即可．
20．【答案】（1）AB
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：观察解题过程可知，最先出现错误是第①步，错误原因是再去分母时等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号，
故选：AB；
【分析】（1）根据运算步骤和注意事项解答即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解一元二次方程即可．
（1）解：观察解题过程可知，最先出现错误是第①步，错误原因是再去分母时等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号，
故选：AB；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
21．【答案】（1）解：由题意得，，∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：由题意得当时，，∴，
∴，
解得．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【分析】（1）将代入中，结合比大1，列出方程，求得方程的解，即可得到答案；
（2）将代入中，结合与互为相反数， 列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：由题意得当时，，
∴，
∴，
解得．
22．【答案】解：把.x=2代入方程
得
2（2k+a）=6-（4+ bk），
4k+2a=6-4-bk，
（4+b）k=2-2a，
∵无论k为何值，它的解总是x=2，
∴4+b=0，2-2a=0，
解得b=-4，a=1，
∴a+b=-3.
【知识点】一元一次方程的解；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】 把x=2代入方程 转化为关于 k 的一元一次方程有无数解的问题.
1 / 1湘教版数学七年级上册 3.3 一元一次方程的解法 第二课时 同步分层练习
一、夯实基础
1．（2025七上·温州期末）将方程去分母得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：方程两边都乘分母的最小公倍数12 ，得：，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查带分母的方程去分母的方法。去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，分子如果是多项式，需要将这个多项式作为整体加括号。本题中的两个分式的分母分别是3和4，最小公倍数是12，因此方程两边都乘分母的最小公倍数12即可得出答案。
2．（2025七上·新昌期末）把方程的分母化为整数，结果应为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用分数的性质将的分子和分母都乘以10，然后再约分解题．
3．（2024七上·潍坊期末）下列方程的变形中，正确的是（ ）
A．将移项，得
B．将去括号得，
C．将去分母得，
D．方程可化为
【答案】D
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：A中，将移项，得，故A不符合题意；
B中，将去括号得，，故B不符合题意；
C中，将去分母得，，故C不符合题意；
D中，方程可化为，故D符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，化x的系数化为1，结合选项，逐一判断，即可得到答案．
4．（2023七上·宜城期末）如果与互为相反数，那么a的值是（ ）
A．2 B．6 C．12 D．
【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据题意得：，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】利用相反数的性质列出关于a的一元一次方程，解方程即可．
5．定义运算“*”，其规则为 则方程4*x=4的解为( )
A．x=-3 B．x=3 C．x=2 D．x=4
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得方程4*x=4可化为，
解得x=4，
故答案为：D
【分析】根据新定义变换方程得到，进而解方程即可求解。
6．（2024七上·广州期末）方程的解是 ．
【答案】22
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：22．
【分析】先去分母，即两边同时乘以5，可得方程：x+3=25，再将系数化为1，得x=22.
7．（2018-2019学年数学人教版（五四学制）七年级上册11.3解一元一次方程（二） 同步练习（2））方程 去分母时，方程的两边应同时乘以 ，则得到的方程是 .
【答案】12；
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：4 、6和12的最小公倍数是12．则去分母时，方程两边同时乘以12．得到的方程是 .
故答案为：12； .
【分析】各个分母的最小公倍数是12，则去分母时，方程两边同时乘以12．得到的方程是 x 2 ( 5 x + 1 ) 12 = 3 ( 3 x 2 ) .
8．（沪科版七上数学3.1一元一次方程及其解法课时作业（4））小明解方程 去分母时，方程右边的﹣3忘记乘6，因而求出的解为x=2，则原方程正确的解为 ．
【答案】x=﹣13
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据小明的不符合题意解法得：4x﹣2=3x+3a﹣3，
把x=2代入得：6=3a+3，
解得：a=1，
符合题意方程为： ，
去分母得：4x﹣2=3x+3﹣18，
解得：x=﹣13，
故答案为：x=﹣13.
【分析】根据题意得小明去分母后方程为4x﹣2=3x+3a﹣3，把x=2代入此方程即可求得a的值，进而将a的值代入原方程求解即可.
9．（2024七上·南宁月考）解方程：．
【答案】解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】利用去分母、去括号、移项合并进行解方程即可.
二、能力提升
10．（2019七上·兖州月考）若关于x的一元一次方程 ＝1的解是x＝－1，则k的值是（ ）．
A． B．1 C． D．0
【答案】B
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】把x=-1代入方程得： =1，
解得：k=1
故答案为：B．
【分析】方程的解，就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．已知x=-1是方程的解实际就是得到了一个关于k的方程，解方程就可以求出k的值．
11．（2025七上·浦江期末）小马同学在解关于x的方程时，在去分母过程中等号右边漏乘“6”，解得，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】解：按照小马同学去分母的过程得：，
把代入，得：，
解得：；
故答案为：B．
【分析】将代入去分母后的错误方程，解出k值即可．
12．（2018七上·彝良期末）如果方程2x+1=3的解也是方程 的解，那么a的值是（ ）
A．7 B．5 C．3 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程
【解析】【解答】解 ：解方程2x+1=3得 ：x=1，
∵方程2x+1=3的解也是方程 2 = 0 的解，
∴把x=1代入 2 = 0得
2-=0 ，
解得 ：a=7 .
故应选 ：A.
【分析】首先解出方程2x+1=3得出x的值，然后根据方程解的定义把x的值代入 2 = 0得出一个关于a的方程，求解得出a的值。
13．（2024七上·广州期中）如果是定值，且关于x的方程，无论k为何值时，它的解总是那么的值是（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；求代数式的值-直接代入求值；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：将代入，
，
，
，
，
由题意可知：，，
，，
．
故答案为：C．
【分析】将x=1代入方程并化简可得，再根据“无论k为何值时，它的解总是”可得，，求出a、b的值，最后将其代入计算即可.
14．已知方程2-3(x-1)=2x+10的解和关于x的方程 的解互为相反数，则m的值为 ( )
A．-1 B．1 C．2 D．-2
【答案】C
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：2-3(x-1)=2x+10
解得：x= -1
，解得：
∵两个方程的解互为相反数
∴，解得：m=2
故答案为：C
【分析】分别求出两方程的解，再根据题意建立方程，再解方程即可求出答案.
15．（2024七上·竞秀期末）四名同学用接力的方式解方程：，约定：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后求出方程的解．过程如图所示：
接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ）
A．只有乙 B．甲和丁 C．乙和丁 D．乙和丙
【答案】D
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由方程，
∴，故甲同学计算正确；
∴，故乙同学出现错误；
∵每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，
∴的下一步为：，故丙同学出现错误；
的计算结果为：，故丁同学计算正确；
故出现错误的是乙和丙；
故选D．
【分析】本题考查解一元一次方程的解法，根据解一元一次方程的解答，去分母，移项，合并同类项，把x的系数化为1，逐步分析判断，即可求解.
16．若 与2互为倒数，则x= .
【答案】
【知识点】有理数的倒数；解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【解答】解：∵与2互为倒数，
∴，解得x=.
故答案为：.
【分析】根据互为倒数的两个数的积为1， 列出方程求解.
17．设a，b，c，d 为有理数，现规定一种新的运算 则满足等式 的x的值为 .
【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：由 ，得，解得.
故答案为：.
【分析】先将转化为一元一次方程，解这个方程即可求得x的值.
18．（2024七上·宁波期中）某同学解关于x的方程，，在去分母时，漏乘方程右边的常数项，求得错误的解为， 则 ，该方程正确的解为 ．
【答案】-17；2.5
【知识点】一元一次方程-错解复原问题
【解析】【解答】∵ 关于x的方程 在去分母时，漏乘方程右边的常数项，
∴去分母后错误的式子为
∴x=2为方程的解，
将x=2代入方程
解得a=-17，
把a=-17代入原方程得，
2(3x-1)=6-(4x-17)
6x-2=6-4x+17
6x+4x=6+17+2
10x=25
x=2.5.
故答案为：2.5
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的过程一般有去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1等，先根据错误得解法，把方程的解带回去得到a得值 ，再将a得值代入原方程，根据解一元一次方程得步骤求解即可.
19．（2024七上·萧山期末）设代数式，代数式，为常数．观察当x取不同值时，对应A的值并列表如下（部分）：
X … 1 2 3 …
A … 5 6 7 …
若，则 ．
【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：把x＝1，A＝5代入代数式得：
，
3+a+3＝15，
a+6＝15，
a＝9，
∵A＝B，
∴，
3x+9+3＝9x-3，
3x+12＝9x-3，
6x＝15，
故答案为：．
【分析】选取表格中的一对x和A的值，代入代数式，得关于a的方程，解方程求出a，然后再根据A＝B，把a代入得关于x的方程，解方程即可．
20．（2025七上·椒江期末）阅读小虎同学解方程的过程，并回答问题．
解：①
②
③
④
⑤
（1）小虎解方程最先出现错误的是第__________步（填写序号），该步骤错误原因是__________；（可多选）
A．漏乘不含分母的项
B．分子是多项式，去掉分母后未给分子整体添括号
C．移项没有变号
（2）请正确解出这个方程．
【答案】（1）AB
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】（1）解：观察解题过程可知，最先出现错误是第①步，错误原因是再去分母时等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号，
故选：AB；
【分析】（1）根据运算步骤和注意事项解答即可；
（2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解一元二次方程即可．
（1）解：观察解题过程可知，最先出现错误是第①步，错误原因是再去分母时等式右边的1没有乘以6，且式子去分母后没有加括号，
故选：AB；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
21．（2023七上·遵义月考）设
（1）若，当x为何值时，比大1？
（2）若，且与互为相反数，求a的值．．
【答案】（1）解：由题意得，，∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：由题意得当时，，∴，
∴，
解得．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；列一元一次方程
【解析】【分析】（1）将代入中，结合比大1，列出方程，求得方程的解，即可得到答案；
（2）将代入中，结合与互为相反数， 列出方程，求得方程的解，即可得到答案.
（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：由题意得当时，，
∴，
∴，
解得．
三、拓展提升
22．已知a，b为常数，关于x的方程 无论k为何值，它的解总是x=2，求a+b的值.
【答案】解：把.x=2代入方程
得
2（2k+a）=6-（4+ bk），
4k+2a=6-4-bk，
（4+b）k=2-2a，
∵无论k为何值，它的解总是x=2，
∴4+b=0，2-2a=0，
解得b=-4，a=1，
∴a+b=-3.
【知识点】一元一次方程的解；解系数含参的一元一次方程
【解析】【分析】 把x=2代入方程 转化为关于 k 的一元一次方程有无数解的问题.
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