2.4.1 二次函数的图像 教案1（含试题和答案）

2.4.1二次函数的图像
教案
一.
教学内容：
二次函数的图像
二.
教学要求：
1.
掌握二次函数的对称性、单调性、最值公式及图象。理解并掌握二次函数、二次方程与二次不等式的内在联系，能利用“数形结合”，“判别式”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况及二次不等式的解集。
2.
理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；理解对数的概念，掌握对数的运算性质。
3.
掌握指数与对数函数的概念，图象和性质，会用定义法证明指数函数与对数函数的单调性，能应用其性质解（证）相关问题。
三.
知识串讲
（一）二次函数
1.
形如f(x)＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数。
（1）二次函数的解析式
（2）图象和性质
2.
二次函数、二次方程与二次不等式
如下图：
3.
二次函数在闭区间上必有最大、最小值，它们只能在区间端点或顶点处取得。
4.
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）实根的分布
①有两个大于k的实根
②有两个小于k的实根
③有一根大于k，一根小于k
④两根都在（m，n）内
⑤一根小于m，一根大于n
⑥两根之一在（m，n）内
⑦一根在（m，n）内，另一根在（n，p）内
注：若不限定a的正负时，只要在f(k)前乘以a，即af(k)，其余不变。
（二）指数与对数函数
1.
n次方根：若xn＝a（n∈N，n>1），则称x为a的n次方程。
性质：
2.
指数
运算法则：
3.
对数
性质：
（1）0和负数没有对数，即N>0
运算法则：（M>0，N>0）
换底公式：
4.
指数函数与对数函数
图象过点（0，1），以x轴
图象过点（1，0），以y轴
为渐近线
为渐近线
底数互为倒数时，图象关于
底数互为倒数时，图象关于x轴
y轴对称，x>0时，“底大图高”
对称，x>1时“底大图低”
【典型例题】
例1.
设二次函数y＝f(x)的最小值等于4，且f(0)＝f(2)＝6，求f(x)的解析式。
解法一：
解法二：
∴抛物线有对称轴x＝1
又二次函数有最小值4
代入点（0，6）坐标，得a＝2
例2.
若方程x2－11x＋（30＋a）＝0的两根不等且均大于5，求实数a的取值范围。
解：（法一）：
（法二）：
例3.
设集合A＝{(x，y)|y＝x2＋ax＋2}，B＝{(x，y)｜y＝x＋1，0≤x≤2}，A∩B≠φ，求实数a的取值范围。
解：（分析：集合的元素是曲线上的点（x，y），A∩B≠φ，即曲线与线段有交点）
点评：对于方程x2＋（a－1）x＋1＝0在［0，2］上有实根的问题，可考虑分离参数的方法，得到
例4.
函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间［0，1］上有最大值2，求实数a的值。
解：
抛物线的对称轴为x＝a
（区间定，轴动的问题，根据对称轴的位置讨论）
（1）当x＝a<0时，y在［0，1］上为减函数
（2）当0≤a≤1时
（3）当x＝a>1时，y在［0，1］上为增函数
综上，a＝－1或a＝2
考虑：f(x)＝x2＋2x－1在区间［t，t+1］上的最小值是g(t)。
（3）则g(t)＝？并求g(t)的最值，是区间动，轴定的问题。
例5.
已知函数y＝a|x|（a>0且a≠1）的图象如图，则函数的图象是（
）
分析：由图象可知a>1
例6.
则f(x)的表达式为___________________
解：设x<0，则－x>0
又f(x)为奇函数
注：
例7.
（1）求f(x)的定义域；
（2）讨论f(x)的单调性；
（3）当a取何值时图象在y轴左侧；
解：
例8.
解：
（2）由于f(1)＝2，由已知，得
例9.
对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋（b＋1）x＋（b－1）（a≠0）
（1）当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y＝f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动
解：
解得0（3）由题意，A、B两点应在直线y＝x上
设A（x1，x1），B（x2，x2）
设AB的中点，为M（x’，y’）
点评：本题主要考查二次函数及其图象，一元二次方程以及不等式的综合应用，同时借助于不变量思想，以不动点为载体，蕴含着“及时定义→及时解答”的试题结构特征，对思维能力有较高要求。
【模拟试题】
一.
选择题
1.
已知函数的图象，如图，则m的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
2.
已知函数，如果a>b>c且，则它的图象可能是（
）
3.
如果二次函数对任意实数x都有，那么（
）
A.
B.
C.
D.
4.
函数在区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（
）
A.
B.
［0，2］
C.
D.
［1，2］
5.
设x1，x2是方程（）的两个实根，则的最小值是（
）
A.
－2
B.
0
C.
1
D.
2
6.
若方程两根异号，则（
）
A.
B.
C.
D.
7.
如图是指数函数①；②；③；④的图象，则a，b，c，d的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
8.
若，则a，b，c的大小关系是（
）
A.
aB.
bC.
aD.
b9.
当a>1时，在同一坐标系中，函数与的图象是（
）
10.
已知函数的定义域是［1，2］，则函数的定义域是（
）
A.
［2，4］
B.
［4，16］
C.
［0，1］
D.
［1，2］
11.
已知函数，且g(x)的图象与f(x)的图象关于直线对称，则是（
）
A.
奇函数，且在（0，）上递减
B.
偶函数，且在（0，）上递增
C.
奇函数，且在（，0）上递减
D.
偶函数，且在（，0）上递增
二.
填空题
12.已知，当时，恒有，则m的取值范围是________________
（提示：①；②）
13.
求值
（1）_________
（2）_________
（3）_________
（4）已知，则_________
14.
函数是减函数，则a的取值范围是_________
15.
若，则a的取值范围是_________
16.
函数的单调递增区间是_________；单调递减区间是_________；值域是_________
三.
解答题
17.
已知在区间（，0）上是减函数，求f(x)的增区间。
解：设
在（，0）上
在上，
在上，____________________
在上，____________________
递增区间为：_______________
18.
已知常数a>1，变量x，y有关系：
（1）若，试以a，t表示y；
（2）若t在［1，）内变化时，y有最小值8，求此时a和x的值各为多少？
19.
对于函数，若存在，使成立，则称点（x0，x0）为函数的不动点
（1）已知函数有不动点（1，1）和（－3，－3），求a，b的值。
（2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围。
（3）若定义在实数集R上的奇函数存（有限的）n个不动点，求证n必为奇数。
【试题答案】
1.
B
2.
D
3.
C
4.
D
5.
C
6.
A
7.
B
8.
C
9.
B
10.
B
11.
D
12.
或
13.
（1）；（2）；（3）21；（4）
14.
15.
16.
，，
17.
，又；；
18.
解：（1）将代入原式，整理得
（2），
取最小值时，y取最小值
时，
由题意，得
19.
解：（1）由不动点定义有
把x＝1代入得a＝1，把a＝1，x＝－3代入得b＝3
（2）与例9（2）相同，0（3）证明：是R上的奇函数，
，是的一个不动点
若有异于（0，0）点的不动点（x0，x0），则
又，也是的不动点
的有限个不动点除原点处，都是成对出现的，有2k个，加上原点，共有n＝2k＋1个，∴n为奇数