2.4.1 二次函数的图像 同步练习（含答案）

2.4.1
二次函数的图像
同步练习
一、选择题
1．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是(　　)
A．y＝－x2－4x－1
B．y＝x2－4x－1
C．y＝x2＋4x－1
D．y＝－x2－4x＋1
[答案]　A
[解析]　设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a(－3＋2)2＋3，
即a＝－1.
所以y＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
2．将函数y＝x2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为(　　)
A．y＝2x2
B．y＝4x2
C．y＝x2
D．y＝x2
[答案]　A
[解析]　由图像变换可知选A.
3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为(　　)
A．y＝x2－2x＋
B．y＝x2＋2x＋
C．y＝x2＋2x－
D．y＝x2－2x－
[答案]　B
[解析]　设所求抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则根据题意得
解得
所以y＝x2＋2x＋，故选B.
4．已知a≠0，b<0，一次函数是y＝ax＋b，二次函数是y＝ax2，则下列图像中，可以成立的是(　　)
[答案]　C
[解析]　由b<0，排除B，D；A是抛物线开口向下，a<0，而直线体现了a>0，从而排除A.
5．将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为(　　)
A．y＝2x2
B．y＝2(x＋2)2－6
C．y＝2x2－6
D．y＝2(x＋2)2
[答案]　D
[解析]　将y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y＝2(x＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y＝2(x＋2)2的图像，故选D.
6．已知f(x)＝2(x－1)2和g(x)＝(x－1)2，h(x)＝(x－1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔(　　)
A．g(x)　
B．f(x)　
C．h(x)　
D．不确定
[答案]　A
[解析]　因二次函数y＝a(x－h)2＋k的|a|越小，则二次函数开口越开阔．
二、填空题
7．二次函数f(x)＝x2－x＋的图像的顶点坐标为________．
[答案]　(1,1)
[解析]　f(x)＝x2－x＋＝(x2－2x＋3)＝(x－1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．
8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________．
[答案]　f(x)＝－x2＋2x＋3
[解析]　设函数的解析式为f(x)＝a(x＋1)(x－3)(a≠0)，
将点(1,4)代入，得a＝－1.
则f(x)＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.
三、解答题
9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，求这个函数的解析式．
[解析]　解法1：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得解得
∴函数的解析式为y＝3x2－6x.
解法2：设所求函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由题意得解得
∴函数的解析式为y＝3x2－6x.
解法3：设所求函数的解析式为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，则顶点坐标为(－h，k)，
已知顶点为(1，－3)，∴h＝－1，k＝－3，
即所求的二次函数y＝a(x－1)2－3.
又∵图像经过点P(2,0)，
∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3，
∴函数的解析式为y＝3(x－1)2－3，即y＝3x2－6x.
解法4：设解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，
其中x1，x2是抛物线与x轴的两交点的横坐标，
已知抛物线与x轴的一个交点P(2,0)，对称轴是x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为(0,0)，
∴x1＝0，x2＝2，
∴所求的解析式为y＝a(x－0)(x－2)，
又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3，
∴所求函数的解析式为y＝3x2－6x.
10．已知二次函数满足f(x－2)＝f(－x－2)，且其图像在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为2，求f(x)的表达式．
[解析]　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(x－2)＝f(－x－2)得对称轴为x＝－＝－2，
∴b＝4a.
∵图像在y轴上的截距为1，∴c＝1，
又|x1－x2|＝＝2，
∴b＝2或b＝0(舍去)，a＝，
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
一、选择题
1．如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，则|OA|·|OB|等于(　　)
A.
B．－
C．±
D．以上都不对
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝ax2＋bx＋c，
∴f(0)＝c>0，a<0，
设ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1·x2＝，
∴|OA|＝－x1，|OB|＝x2，
∴|OA|·|OB|＝－.故正确答案为B.
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的(　　)
[答案]　A
[解析]　因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0.故排除B、C，又因为当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，只有A正确．
二、填空题
3．若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于直线x＝1对称，则b＝____________.
[答案]　6
[解析]　解法1：二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图像关于直线x＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x＝1，则－＝1，∴a＝－4.
而该函数是定义在[a，b]上的，即a、b关于x＝1也是对称的，则有a到对称轴的距离与b到对称轴的距离相等，∴1－a＝b－1，∴b＝6.
解法2：∵二次函数y＝x2＋(a＋2)x＋3的图像的对称轴为直线x＝1，∴该函数可表示为y＝(x－1)2＋c，与原二次函数的表达式比较同类项系数，可得a＋2＝－2，∴a＝－4.求b同解法1.
4．把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y＝x2－2x＋1，则b＝________，c＝________.
[答案]　－6　6
[解析]　由题意知y＝x2＋bx＋c的图像可由y＝x2－2x＋1＝(x－1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y＝x2＋bx＋c＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6.所以b＝－6，c＝6.
三、解答题
5．已知二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，图像过原点，求g(x)的解析式．
[解析]　由题意设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，
∴∴∴g(x)＝3x2－2x.
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，试判断点(，)所在的象限．
[解析]　由抛物线开口向上知a>0，
∵抛物线与y轴的交点(0，c)在y轴负半轴，
∴c<0.又∵对称轴x＝－在y轴左边，
∴－<0.∴>0.
∴a，b同号．
∵a>0，∴b>0.
又∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2－4ac>0.
∴>0，<0.
∴点(，)在第四象限．
7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1,0)、B(x2,0)且x＋x＝，试问该抛物线由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到？
[解析]　由题意可设所求抛物线的解析式为
y＝－3(x－1)2＋k，展开得y＝－3x2＋6x－3＋k，
由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，得
4－＝，解得k＝.
所以，该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋，
即y＝－3x2＋6x－.