2.4.1 二次函数的图像 学案1（含答案）

2.4　二次函数性质的再研究
2.4.1　二次函数的图像
学案
问题导学
一、二次函数的图像变换
活动与探究1
函数f(x)＝x2的图像经过怎样的变换，得到函数f(x)＝4x2－2x－1的图像？
迁移与应用
1．把函数y＝x2的图像向__________平移__________个单位长度就得到y＝2的图像．
2．(1)由y＝－2x2的图像，如何得到y＝－2(x＋1)2－3的图像？
(2)把y＝2x2的图像向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？
所有二次函数的图像均可以由函数y＝x2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式，再确定变换的步骤．
二、求二次函数的解析式
活动与探究2
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f＝8，试求此二次函数的解析式．
迁移与应用
1．已知二次函数f(x)的图像经过点A(1，－1)，B(3,3)，C(－2,8)，则其解析式为__________．
2．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)，且图像过点(2,4)，则f(x)＝__________.
求二次函数的解析式常用待定系数法，已知对称轴或顶点坐标或最值等有关信息时，解析式可设为f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式；已知抛物线上三点坐标或解析式的性质时，解析式可设为一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
当堂检测
1．下列函数中，其图像开口最小的是(　　)．
A．f(x)＝3x2
B．f(x)＝x2＋x－1
C．f(x)＝－x2－x
D．f(x)＝－4x2＋1
2．已知二次函数f(x)＝x2－x，则其开口方向和与x轴交点的个数分别是(　　)．
A．向上　2
B．向上　0
C．向下　1
D．向下　2
3．将函数y＝2(x＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得图像对应的函数解析式为(　　)．
A．y＝2x2
B．y＝2(x＋2)2－6
C．y＝2x2－6
D．y＝2(x＋2)2
4．一条抛物线和y＝2x2的图像形状相同，其对称轴平行于y轴，且顶点坐标为(－1,3)，则它的解析式为________．
5．已知二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，图像过原点，求g(x)的解析式．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
1．(1)纵坐标　a倍　(2)开口大小　方向　左右平移　左移　右移　上下平移　上移　下移　(3)配方　y＝a(x＋h)2＋k　左右平移　上下平移
预习交流1　提示：a决定着图像的开口大小及方向．当a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下．|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．
2．(2)(－h，k)　x＝－h
预习交流2　提示：可设该二次函数的解析式为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)，然后再通过另外一个条件确定a的值即可得到其解析式．
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　思路分析：将函数f(x)＝4x2－2x－1的解析式化为f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式后进行解答．
解：f(x)＝4x2－2x－1＝42－.
图像变换的步骤是：
先将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变，得到函数y＝4x2的图像；
再将函数y＝4x2的图像向右平移个单位长度，得到函数y＝42的图像；
最后将函数y＝42的图像向下平移个单位长度，得到y＝42－的图像，即得到函数f(x)＝4x2－2x－1的图像．
迁移与应用　1．右　
2．解：(1)把y＝－2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x＋1)2－3的图像．
(2)经过平移能得到函数y＝2(x－3)2＋4＝2x2－12x＋22的图像．
活动与探究2　思路分析：本题在设二次函数的解析式时既可以设一般式，也可以从条件中寻求隐含信息(对称轴、顶点坐标等)，设f(x)＝a(x＋h)2＋k的形式求解．
解：方法一：设f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a≠0.
∵根据题意可得方程组
解之得a＝－4，b＝4，c＝7.
∴f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二：∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴是x＝＝.
又∵f＝8，∴抛物线的顶点坐标为.
于是设f(x)＝a2＋8(a≠0)．
又∵f(2)＝－1，
∴a2＋8＝－1，∴a＝－4.
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
迁移与应用　1．f(x)＝x2－2x　解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意得
解得a＝1，b＝－2，c＝0，
故解析式为f(x)＝x2－2x.
2．6x2－12x＋4　解析：设f(x)＝a(x－1)2－2，
因为f(x)的图像过点(2,4)，
所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.
所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
【当堂检测】
1．D　解析：在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，|a|越大，其图像开口越小．
2．A
3．D
4．y＝±2(x＋1)2＋3　解析：设抛物线方程为y＝±2(x－h)2＋k，由顶点坐标(－1,3)，得y＝±2(x＋1)2＋3.
5．解：由题意设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图像过原点，
∴∴∴g(x)＝3x2－2x.