2.4.1 二次函数的图像 学案3（含答案）

2.4二次函数性质的再研究
2.4.1
二次函数的图像
学案
课标解读
1.理解y＝x2与y＝ax2(a≠0)，y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k及y＝ax2＋bx＋c的图像之间的关系．(重点)2．掌握a，h，k对二次函数图像的影响．(难点、易混点)
知识点一
函数y＝x2与函数y＝ax2(a≠0)的图像间的关系
【问题导思】　
1．在初中已学习过二次函数，那么二次函数是如何定义的？它的定义域是什么？
【提示】　函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域为R.
2．由y＝x2的图像如何得到y＝2x2和y＝－x2的图像？
【提示】　把y＝x2图像上各点的纵坐标变为原来的2倍即可得到y＝2x2的图像；把y＝x2图像上各点的纵坐标变为原来的相反数，即可得到y＝－x2的图像．
　二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到．
此时，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．
知识点二
函数y＝ax2(a≠0)与函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的变换
【问题导思】　
1．函数y＝x2的图像与函数y＝(x－1)2的图像有怎样的关系？如何由y＝x2的图像得到y＝(x－1)2的图像？
【提示】　它们的形状相同，位置不同．把y＝x2的图像向右平移1个单位就可得到y＝(x－1)2的图像．
2．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－1的图像？
【提示】　把y＝x2的图像向下平移1个单位．
3．如何由y＝x2的图像得到y＝x2－2x－1的图像？
【提示】　y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，故只需把y＝x2的图像先向右平移1个单位，再向下平移2个单位．
1．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向左平移h个单位长度(h>0)，再向上平移k个单位长度(k>0)得到．
2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图像可由y＝ax2向右平移|h|个单位长度(h<0)，再向下平移|k|个单位长度(k<0)得到．
在二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图像的开口大小及方向．
3．将二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方化为y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的形式，然后通过函数y＝ax2(a≠0)的图像左右、上下平移得到函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像.
类型一
二次函数图像的画法
　画出函数y＝2x2－4x－6的草图．
【思路探究】　选取二次函数上的特殊点及特殊的直线确定函数的草图．
【自主解答】　y＝2x2－4x－6
＝2(x2－2x)－6
＝2(x2－2x＋1－1)－6
＝2[(x－1)2－1]－6
＝2(x－1)2－8.
函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.
令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，故函数图像与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)．
画法步骤：
(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，画出直线x＝1；
(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．
　画二次函数的图像重点体现图像的特征“三点一线一开口”：
1．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；
2．“一线”是指对称轴这条直线；
3．“一开口”是指抛物线的开口方向．
画出函数y＝x2－4x－12的图像．
【解】　y＝x2－4x－12＝(x－2)2－16.
函数图像开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，－16)．
令y＝0，即x2－4x－12＝0得x＝－2或x＝6.
故图像与x轴的交点坐标为(－2,0)，(6,0)．图像如图所示：
类型二
二次函数图像的变换
　在同一坐标系中作出下列函数的图像，并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
【思路探究】　解答本题可就每个函数列表、描点、连线，作出相应图像，然后利用图像以及二次函数的平移变换规律分析y＝x2与y＝2x2－4x的图像之间的关系．
【自主解答】　(1)列表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y＝x2
9
4
1
0
1
4
9
y＝x2－2
7
2
－1
－2
－1
2
7
y＝2x2－4x
30
16
6
0
－2
0
6
描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．
(2)y＝2x2－4x
＝2(x2－2x)
＝2(x2－2x＋1－1)
＝2(x－1)2－2.
由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下：
法一　先把y＝x2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2x2的图像，然后把y＝2x2的图像向下平移2个单位长度得到y＝2x2－2的图像，最后把y＝2x2－2的图像向右平移1个单位长度得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．
法二　先把y＝x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，然后把y＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2(x－1)2的图像，最后把y＝2(x－1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．
所有二次函数的图像均可以由函数y＝x2的图像经过变换得到，变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式，再确定变换的步骤．常用的变换步骤如下：
y＝x2y＝ax2y＝ax2＋ky＝a(x＋h)2＋k，其中a决定开口方向及开口大小(或纵坐标的拉伸)；h决定左、右平移，k决定上、下平移．
　(1)由y＝－2x2的图像，如何得到y＝－2(x＋1)2－3的图像？
(2)把y＝2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，能得到哪个函数的图像？
(3)将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a(x＋h)2＋k的形式，并说明它的图像是由y＝4x2的图像经过怎样的变换得到的？
【解】　(1)把y＝－2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度就得到y＝－2(x＋1)2－3的图像．
(2)把y＝2x2的图像，向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，就得到函数y＝2(x－3)2＋4，即y＝2x2－12x＋22的图像．
(3)y＝4x2＋2x＋1
＝4(x2＋x)＋1
＝4(x2＋x＋－)＋1
＝4[(x＋)2－]＋1
＝4(x＋)2＋.
把y＝4x2的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，就可得到函数y＝4x2＋2x＋1的图像．
类型三
求二次函数的解析式
　根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式．
(1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
【思路探究】　设二次函数
的解析式→列出含参数
的方程(组)→解方程(组)→写出解析式
【自主解答】　(1)设二次函数解析式为y＝a(x－2)·(x－4)．
整理得y＝ax2－6ax＋8a，
∴8a＝3，∴a＝.
∴解析式为y＝(x－2)(x－4)；
(2)设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋2.
整理得y＝ax2－2ax＋a＋2，
∴a＋2＝4，∴a＝2.
∴解析式为y＝2(x－1)2＋2；
(3)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，
由题设知
∴函数解析式为y＝x2－2x＋2.
　求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选择解析式的形式，利用待定系数法求解．
1．若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的形式．
2．若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点为(h，k)，a为常数，a≠0)．
3．若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)．
　二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个二次函数的解析式．
【解】　法一　设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c.
由已知函数图像经过点(2,3)和点(3,1)，函数图像的对称轴是－＝2.
得方程组
解这个方程组，得a＝－2，b＝8，c＝－5.
∴二次函数解析式为y＝－2x2＋8x－5.
法二　二次函数的顶点式是y＝a(x－h)2＋k，而顶点坐标是(2,3)，
故有y＝a(x－2)2＋3，这样只需确定a的值．
因为图像经过点(3,1)，所以x＝3，y＝1满足关系式y＝a(x－2)2＋3，
从而有1＝a(3－2)2＋3，解得a＝－2.
∴函数解析式为y＝－2(x－2)2＋3，
即y＝－2x2＋8x－5.
数形结合思想在二次函数问题中的应用
　(12分)若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围．
【思路点拨】　令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a，将方程有两个不相等的实数解转化为两个函数的图像有两个不同的交点．
【规范解答】　令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a.2分
作出f(x)的图像如图所示．
∵f(x)与g(x)图像的交点个数即为方程x2－2x－3＝a解的个数．
由图可知①当a<－4时，f(x)与g(x)无交点，即方程x2－2x－3＝a无实根；6分
②当a＝－4时，f(x)与g(x)有一个公共点，即方程x2－2x－3＝a有一个实根；8分
③当a>－4时，f(x)与g(x)有两个公共点，即方程x2－2x－3＝a有两个实根.10分
综上所述，当方程x2－2x－3＝a有两个实数解时，实数a的取值范围是(－4，＋∞).12分
1．所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．
2．巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可以起到事半功倍的效果，数形结合的重点是“以形助数”．
1．y＝ax2(a≠0)的图像与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像之间进行变换时应先将y＝ax2＋bx＋c进行配方，平移时应注意平移的方向及单位长度．
2．求二次函数的解析式一般采用待定系数法，当抛物线过三点时，可选用一般式；当已知条件与顶点坐标和对称轴有关时，可选用顶点式；当已知条件与x轴的交点坐标有关时，可选用两根式．
3．在利用数形结合的思想解决与二次函数的图像有关的问题时，只需要画出二次函数的大致图像(画出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、特殊点)即可．
1．下列关于二次函数y＝x2＋x＋1的开口方向和顶点的说法，正确的是(　　)
A．开口向下，顶点(1,1)
B．开口向上，顶点(1,1)
C．开口向下，顶点(－，)
D．开口向上，顶点(－，)
【解析】　∵y＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋，
∴抛物线开口向上，顶点为(－，)．
【答案】　D
2．将函数y＝x2－2x的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图像的解析式为(　　)
A．y＝x2＋6x＋7　　　　B．y＝x2－6x＋7
C．y＝x2＋2x－1
D．y＝x2－2x＋1
【解析】　∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
∴平移后y＝(x－3)2－2＝x2－6x＋7.
【答案】　B
3．已知二次函数y＝f(x)的图像如图2－4－1所示，则此函数的解析式为____．
图2－4－1
【解析】　由图像设f(x)＝ax2＋3(a≠0)．
把(2,0)代入得4a＋3＝0，
∴a＝－.
∴f(x)＝－x2＋3.
【答案】　y＝－x2＋3
4．如何由函数y＝2x2－4x＋3的图像得到函数y＝2x2＋4x－1的图像？
【解】　y＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，
y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3.
将函数y＝2(x－1)2＋1的图像向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，就得函数y＝2[(x＋2)－1]2＋1－4＝2(x＋1)2－3＝2x2＋4x－1的图像.
一、选择题
1．二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是(　　)
A．y＝x2＋2　　　　　　　B．y＝2x2
C．y＝x2
D．y＝x2－2
【解析】　将二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像对应的解析式为y＝2x2.
【答案】　B
2．将二次函数的图像向下、向右各平移2个单位得到图像的解析式为y＝－x2，则原二次函数的解析式是(　　)
A．y＝－(x－2)2＋2
B．y＝－(x＋2)2＋2
C．y＝－(x＋2)2－2
D．y＝－(x－2)2－2
【解析】　将函数y＝－x2的图像进行逆变换，即将y＝－x2的图像向左平移2个单位，可得y＝－(x＋2)2的图像，然后再将其向上平移2个单位可得y＝－(x＋2)2＋2的图像，即原函数的图像．
【答案】　B
3．已知抛物线与x轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为(　　)
A．y＝－x2＋1
B．y＝x2＋1
C．y＝－x2－1
D．y＝x2－1
【解析】　由题意知抛物线的对称轴是y轴且开口向下，顶点为(0,1)，故抛物线方程为y＝－x2＋1.
【答案】　A
4．如果二次函数y＝ax2＋bx＋1图像的对称轴是x＝1，并且通过点A(－1,7)，则a，b的值分别是(　　)
A．2,4
B．2，－4
C．－2,4
D．－2，－4
【解析】　∵对称轴为x＝1，∴－＝1①
∵通过点A(－1,7)，∴a－b＋1＝7②
联立①②解得a＝2，b＝－4.
【答案】　B
5．(2013·东城区高一检测)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是(　　)
【解析】　若a>0，b<0，c<0，则对称轴x＝－>0，函数f(x)的图像与y轴的交点(0，c)在x轴下方．
【答案】　D
二、填空题
6．将函数y＝2(x＋1)2－2向________平移________个单位，再向________平移________个单位可得到函数y＝2x2的图像．
【解析】　通过y＝2x2→y＝2(x＋1)2－2反向分析，也可借助顶点分析．
【答案】　右　1　上　2
7．把函数y＝－x2上各点的纵坐标变为原来的3倍，再向右平移1个单位，然后再向上平移k(k>0)个单位，所得函数仍过原点，则k＝__________.
【解析】　依题意y＝－3(x－1)2＋k，
∵该函数仍过原点，∴－3×(0－1)2＋k＝0，∴k＝3.
【答案】　3
8．设函数f(x)＝x2＋bx＋c，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则f(x)＝________.
【解析】　∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴解得b＝4，c＝2.
∴f(x)＝x2＋4x＋2.
【答案】　x2＋4x＋2
三、解答题
9．对于二次函数y＝－x2＋4x＋3，
(1)指出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)说明其图像是由y＝－x2的图像经过怎样的平移得来．
【解】　(1)∵y＝－(x－2)2＋7，
∴开口向下；对称轴为x＝2；顶点坐标为(2,7)；
(2)先将y＝－x2的图像向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图像．
10．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图像，求a，b与c.
【解】　∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，
∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1,0)．
根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图像，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点(1,0)平移至(3，－3)处．
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是(3，－3)．
即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，对照y＝ax2＋bx＋c，得a＝1，b＝－6，c＝6.
11．已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图像与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式．
【解】　法一　设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得解得
∴所求二次函数解析式为y＝x2－x＋.
法二　∵抛物线与x轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，
∴设二次函数的解析式为y＝a(x－1)·(x－7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a(4－1)(4－7)，解得a＝.
∴二次函数解析式为y＝(x－1)(x－7)，
即y＝x2－x＋.
法三　∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)，
∴设二次函数解析式为y＝a(x－4)2－3.
将(1,0)代入，得0＝a(1－4)2－3，
解得a＝.
∴二次函数的解析式为y＝(x－4)2－3，
即y＝x2－x＋.