第六节 共点力的平衡条件及其应用
[学习目标] 1．通过观察示例，认识什么是共点力．2．知道物体的平衡状态，掌握共点力平衡的条件．3．会用共点力的平衡条件分析生活生产中的实际问题，体会物理学知识在实际应用中的价值．
知识点一 共点力的平衡
1．共点力：如果几个力都作用在物体的________上，或者几个力的________相交于同一点，这几个力就称为共点力．
2．作图时可以把力的作用点画到作用线的____________．
3．共点力的平衡
(1)平衡状态：物体处于______或者保持__________运动的状态叫作平衡状态．
(2)共点力的平衡：物体如果受到共点力的作用且处于平衡状态，就叫作共点力的平衡．
物理中的“缓慢运动”可视为速度很小，接近于0，从而把“缓慢运动”看作平衡状态来处理．
1．(1)物体速度等于零时，物体一定处于平衡状态． ( )
(2)在平直的高速公路上匀速行驶的汽车处于平衡状态． ( )
(3)用手拿一粒钢球，刚松手的瞬间，小球仍处于平衡状态． ( )
(4)合外力保持恒定的物体处于平衡状态． ( )
知识点二 共点力的平衡条件
1．平衡条件：为了使物体保持______状态，作用在物体上的力所必须满足的条件，叫作共点力的平衡条件．
2．二力平衡：物体在两个共点力作用下处于平衡状态，其平衡条件是这两个力大小______、方向______，作用在同一直线上．
3．物体在共点力作用下的平衡条件是所受合力为____．
物体在三个共点力作用下处于平衡状态，任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
2．(1)物体所受的合力为零，则物体一定处于平衡状态． ( )
(2)一个重为20 N的物体置于光滑的水平面上，当用一个F＝5 N的力竖直向上拉该物体时，如图所示，物体受到的合力为________．
如图所示，甲图中的鸟在几个力的作用下处于静止状态；乙图中的飞机在水平方向上做匀速直线运动；丙图中的照相机静止在三脚架上．
上述三个物体均在多个共点力作用下处于平衡状态，它们各自所受的作用力应满足什么条件？
考点1 共点力的平衡条件
1．两种平衡情形
(1)物体在共点力作用下处于静止状态．
(2)物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态．
2．两种平衡条件的表达式
(1)F合＝0．
(2)
其中Fx合和Fy合分别是将所受的力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力．
3．由平衡条件得出的三个结论
4．验证共点力的平衡条件
(1)实验器材：图板、白纸、图钉、细线、弹簧测力计三个、刻度尺、小铁环等．
(2)实验过程
①将图板平放在桌面上，板面上用图钉固定好白纸，将平放在图板上的三个弹簧测力计挂钩用细线系在小铁环上，如图甲所示．
甲 乙
②先固定好两个测力计，再沿某一方向拉着第三个测力计．当铁环平衡时，分别记下测力计的示数F1、F2和F3，按各力的大小、方向作出力的图示．
③按平行四边形定则，合成F1和F2，作出合力F12，比较F12和F3，如图乙所示，或合成F2、F3，作出合力F23，比较F23与F1…，由此，找出三个力F1、F2、F3的关系．
(3)实验结论：通过实验我们得到共点力平衡的条件是物体所受合力为零，即F合＝0．
【典例1】 如图所示为笔记本电脑的散热底座，倾角θ＝30°，质量为m的笔记本电脑静止放置在该底座上，电脑与散热底座挡板无接触，重力加速度为g，请回答以下问题：
(1)笔记本电脑受到几个力的作用？请画出笔记本电脑的受力示意图；
(2)写出笔记本电脑所受的各个力与重力间的关系式；
(3)增加散热底座的夹角θ，笔记本电脑仍保持静止，请分析电脑所受各个力如何变化．
[听课记录]___________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 力的合成与分解都遵从平行四边形定则，计算时要先根据要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或力的分解的示意图，再根据数学知识解三角形，主要是求解直角三角形．
[跟进训练]
1．佛山市某中学进行的趣味运动会中有一个“击鼓颠球”的项目(如图甲所示)，学生们围成一圈，通过手中的绳子来控制鼓的运动，使鼓能多次颠球．假设某次比赛开始前，质量为m的鼓在n根均匀分布在鼓身周围的相同轻绳作用下保持静止，每根绳子与水平面的夹角均为θ(如图乙所示)，则每根绳子的拉力大小是( )
A． B．
C． D．
考点2 共点力平衡条件的应用
1．求解共点力平衡问题的常用方法
方法 内容 选用条件
分 解 法 物体受到三个力的作用而平衡时，将某一个力按力的效果进行分解，则其分力和其他力在所分解的方向上满足平衡条件 物体受三 力平衡
合 成 法 物体受三个力作用而平衡时，其中任意两个力的合力必定跟第三个力等大、反向，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解 物体受三 力平衡
正交 分解 法 将各力分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴方向上的合力等于零的条件列式．值得注意的是x轴、y轴方向的选择，应尽可能使较多的力落在x轴、y轴方向上，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力 物体在三 个或三个 以上共点 力作用下 的平衡
2．求解平衡问题的一般步骤
共点力作用下的物体的平衡问题，涉及的都是力的问题，解决此类平衡问题的步骤如下．
(1)依据问题的需要选取适当的研究对象．研究对象的选取可以是系统整体，也可以是系统中隔离出的单个物体；
(2)分析研究对象(整体或单个物体)的运动状态，判断它是否处于平衡状态，是静止还是匀速直线运动状态；
(3)对研究对象进行受力分析并画出受力示意图；
(4)分辨题目所属的类型，选择合适的解法；
(5)依据共点力的平衡条件，列出力的平衡方程；
(6)求解问题并进行讨论．
【典例2】 [链接教材P90例题1]
半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态．如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止，在此过程中( )
A．MN对Q的弹力逐渐减小
B．地面对P的摩擦力逐渐增大
C．P、Q间的弹力先减小后增大
D．Q所受的合力逐渐增大
[听课记录]___________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ [跟进训练]
2．(合成法)如图所示，在水平天花板上用绳AC、BC和CD吊起一个物体，使其处于静止状态，结点为C，绳子的长度分别为AC＝4 dm，BC＝3 dm，悬点A、B 间距为5 dm．则AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为( )
A．40∶30∶24
B．4∶3∶5
C．3∶4∶5
D．因CD绳长未知，故无法确定
3．(正交分解法)如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成θ角的推力F作用下，沿竖直墙壁向上匀速运动．若物体与墙面间的动摩擦因数为μ，试求F的大小．
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 考点3 “活结”与“死结”，“动杆”与“定杆”问题
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”：一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线．
(2)“死结”：两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．
2．“动杆”与“定杆”模型
(1)“动杆”：轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动．如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
(2)“定杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向．如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物．滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即定杆弹力的方向可以不沿杆的方向．
【典例3】 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；如图乙所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力．
[听课记录]___________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ [跟进训练]
4．如图所示的四幅图中，AB，BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接．下列说法正确的是( )
A．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙
B．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁
C．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丙
D．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁
1．物体在共点力作用下，下列说法正确的是( )
A．物体的速度在某一时刻等于零，就一定处于平衡状态
B．物体相对另一物体保持静止时，一定处于平衡状态
C．物体所受合力为零，就一定处于平衡状态
D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
2．如图所示，某工人正在修理草坪，推力F与水平方向成α角，割草机沿水平方向做匀速直线运动，则割草机所受阻力的大小为( )
A．F sin α B．F cos α
C． D．
3．在如图所示的甲、乙、丙、丁四图中，滑轮光滑且所受的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一个质量为m的重物，当滑轮和重物都静止不动时，甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ，乙图中木杆P竖直．假设甲、乙、丙、丁四图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD，则以下判断正确的是( )
甲 乙 丙 丁
A．FA＝FB＝FC＝FD B．FD>FA＝FB>FC
C．FA＝FC＝FD>FB D．FC>FA＝FB>FD
4．(人教版教材改编)如图所示，四个完全相同的排球静止叠放在水平地面上，质量均为m，相互接触，球与球之间可视为光滑，球与地面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，则( )
A．上方球受到3个力的作用
B．下方每个球对上方球的支持力大小均为mg
C．水平地面对下方每个球的支持力大小均为mg
D．下方三个球与水平地面间均没有摩擦力
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．静止和“v瞬＝0”是一回事吗？
2．正交分解时物体的平衡条件是什么？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第六节 共点力的平衡条件及其应用
[学习目标] 1．通过观察示例，认识什么是共点力．2．知道物体的平衡状态，掌握共点力平衡的条件．3．会用共点力的平衡条件分析生活生产中的实际问题，体会物理学知识在实际应用中的价值．
知识点一 共点力的平衡
1．共点力：如果几个力都作用在物体的同一点上，或者几个力的作用线相交于同一点，这几个力就称为共点力．
2．作图时可以把力的作用点画到作用线的公共交点上．
3．共点力的平衡
(1)平衡状态：物体处于静止或者保持匀速直线运动的状态叫作平衡状态．
(2)共点力的平衡：物体如果受到共点力的作用且处于平衡状态，就叫作共点力的平衡．
物理中的“缓慢运动”可视为速度很小，接近于0，从而把“缓慢运动”看作平衡状态来处理．
1．(1)物体速度等于零时，物体一定处于平衡状态． ( )
(2)在平直的高速公路上匀速行驶的汽车处于平衡状态． ( )
(3)用手拿一粒钢球，刚松手的瞬间，小球仍处于平衡状态． ( )
(4)合外力保持恒定的物体处于平衡状态． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
知识点二 共点力的平衡条件
1．平衡条件：为了使物体保持平衡状态，作用在物体上的力所必须满足的条件，叫作共点力的平衡条件．
2．二力平衡：物体在两个共点力作用下处于平衡状态，其平衡条件是这两个力大小相等、方向相反，作用在同一直线上．
3．物体在共点力作用下的平衡条件是所受合力为零．
物体在三个共点力作用下处于平衡状态，任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
2．(1)物体所受的合力为零，则物体一定处于平衡状态． ( )
(2)一个重为20 N的物体置于光滑的水平面上，当用一个F＝5 N的力竖直向上拉该物体时，如图所示，物体受到的合力为________．
[答案] (1)√ (2)0
如图所示，甲图中的鸟在几个力的作用下处于静止状态；乙图中的飞机在水平方向上做匀速直线运动；丙图中的照相机静止在三脚架上．
上述三个物体均在多个共点力作用下处于平衡状态，它们各自所受的作用力应满足什么条件？
提示：物体所受的合力为零，物体将保持平衡状态．
考点1 共点力的平衡条件
1．两种平衡情形
(1)物体在共点力作用下处于静止状态．
(2)物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态．
2．两种平衡条件的表达式
(1)F合＝0．
(2)
其中Fx合和Fy合分别是将所受的力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力．
3．由平衡条件得出的三个结论
4．验证共点力的平衡条件
(1)实验器材：图板、白纸、图钉、细线、弹簧测力计三个、刻度尺、小铁环等．
(2)实验过程
①将图板平放在桌面上，板面上用图钉固定好白纸，将平放在图板上的三个弹簧测力计挂钩用细线系在小铁环上，如图甲所示．
甲 乙
②先固定好两个测力计，再沿某一方向拉着第三个测力计．当铁环平衡时，分别记下测力计的示数F1、F2和F3，按各力的大小、方向作出力的图示．
③按平行四边形定则，合成F1和F2，作出合力F12，比较F12和F3，如图乙所示，或合成F2、F3，作出合力F23，比较F23与F1…，由此，找出三个力F1、F2、F3的关系．
(3)实验结论：通过实验我们得到共点力平衡的条件是物体所受合力为零，即F合＝0．
【典例1】 如图所示为笔记本电脑的散热底座，倾角θ＝30°，质量为m的笔记本电脑静止放置在该底座上，电脑与散热底座挡板无接触，重力加速度为g，请回答以下问题：
(1)笔记本电脑受到几个力的作用？请画出笔记本电脑的受力示意图；
(2)写出笔记本电脑所受的各个力与重力间的关系式；
(3)增加散热底座的夹角θ，笔记本电脑仍保持静止，请分析电脑所受各个力如何变化．
[解析] (1)根据题意，对笔记本电脑受力分析，笔记本电脑受到重力、弹力、摩擦力三个力的作用，受力示意图如图所示．
(2)根据受力分析，由平衡条件可得
FN＝mg cos θ＝mg cos 30°＝mg
f＝mg sin θ＝mg sin 30°＝mg．
(3)增加夹角θ，cos θ变小，sin θ变大，由于重力mg保持不变，结合(2)可知，FN减小，f增大．
[答案] (1)三个力 见解析图 (2)FN＝mg，f＝mg (3)弹力减小，摩擦力增大
力的合成与分解都遵从平行四边形定则，计算时要先根据要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或力的分解的示意图，再根据数学知识解三角形，主要是求解直角三角形．
[跟进训练]
1．佛山市某中学进行的趣味运动会中有一个“击鼓颠球”的项目(如图甲所示)，学生们围成一圈，通过手中的绳子来控制鼓的运动，使鼓能多次颠球．假设某次比赛开始前，质量为m的鼓在n根均匀分布在鼓身周围的相同轻绳作用下保持静止，每根绳子与水平面的夹角均为θ(如图乙所示)，则每根绳子的拉力大小是( )
A． B．
C． D．
C [质量为m的鼓在n根均匀分布在鼓身周围的相同轻绳作用下保持静止，鼓受到竖直向下的重力与n根绳子的拉力．在竖直方向由平衡条件得mg＝nF sin θ，所以每根绳子的拉力大小为F＝，C正确．]
考点2 共点力平衡条件的应用
1．求解共点力平衡问题的常用方法
方法 内容 选用条件
分 解 法 物体受到三个力的作用而平衡时，将某一个力按力的效果进行分解，则其分力和其他力在所分解的方向上满足平衡条件 物体受三 力平衡
合 成 法 物体受三个力作用而平衡时，其中任意两个力的合力必定跟第三个力等大、反向，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解 物体受三 力平衡
正交 分解 法 将各力分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴方向上的合力等于零的条件列式．值得注意的是x轴、y轴方向的选择，应尽可能使较多的力落在x轴、y轴方向上，被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力 物体在三 个或三个 以上共点 力作用下 的平衡
2．求解平衡问题的一般步骤
共点力作用下的物体的平衡问题，涉及的都是力的问题，解决此类平衡问题的步骤如下．
(1)依据问题的需要选取适当的研究对象．研究对象的选取可以是系统整体，也可以是系统中隔离出的单个物体；
(2)分析研究对象(整体或单个物体)的运动状态，判断它是否处于平衡状态，是静止还是匀速直线运动状态；
(3)对研究对象进行受力分析并画出受力示意图；
(4)分辨题目所属的类型，选择合适的解法；
(5)依据共点力的平衡条件，列出力的平衡方程；
(6)求解问题并进行讨论．
【典例2】 [链接教材P90例题1]
半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态．如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止，在此过程中( )
A．MN对Q的弹力逐渐减小
B．地面对P的摩擦力逐渐增大
C．P、Q间的弹力先减小后增大
D．Q所受的合力逐渐增大
B [对小圆柱体Q受力分析如图所示，P对Q的弹力为F，MN对Q的弹力为FN，挡板MN向右运动时，F和竖直方向的夹角逐渐增大，而小圆柱体所受重力大小不变，所以F和FN的合力大小不变，故选项D错误；由图可知，F和FN都在不断增大，故选项A、C错误，对P、Q整体受力分析知，地面对P的摩擦力大小就等于FN，所以地面对P的摩擦力也逐渐增大，故选项B正确．
]
【教材原题P90例题1】 在图3-6-9中，小球重3 N，光滑斜面的倾角α为30°．求斜面及竖直放置的挡板对小球作用力的大小．
分析：以小球为研究对象，小球受到斜面对它的作用力F1、挡板对它的作用力F2和重力G这三个力的作用． 根据共点力的平衡条件，F1和F2的合力F的大小与重力G的大小相等．
[解] 对小球的受力分析如图3-6-9所示．由几何关系，得F1＝，F2＝F tan α，F＝G．
代入数据，解得
F1＝＝3× N≈3.5 N，
F2＝F tan 30°＝3× N≈1.7 N．
即斜面对小球的作用力的大小为3.5 N，挡板对小球的作用力的大小为1.7 N．
[跟进训练]
2．(合成法)如图所示，在水平天花板上用绳AC、BC和CD吊起一个物体，使其处于静止状态，结点为C，绳子的长度分别为AC＝4 dm，BC＝3 dm，悬点A、B 间距为5 dm．则AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为( )
A．40∶30∶24
B．4∶3∶5
C．3∶4∶5
D．因CD绳长未知，故无法确定
[答案] C
3．(正交分解法)如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成θ角的推力F作用下，沿竖直墙壁向上匀速运动．若物体与墙面间的动摩擦因数为μ，试求F的大小．
[解析] 物体的受力如图所示．
由共点力的平衡条件，沿水平方向FN－F sin θ＝0，沿竖直方向F cos θ＝mg＋f，又f＝μFN，
解得F＝．
[答案]
考点3 “活结”与“死结”，“动杆”与“定杆”问题
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”：一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线．
(2)“死结”：两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．
2．“动杆”与“定杆”模型
(1)“动杆”：轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动．如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
(2)“定杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向．如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物．滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即定杆弹力的方向可以不沿杆的方向．
【典例3】 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；如图乙所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力．
[解析] 题图甲和题图乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析，如图甲和图乙所示，根据平衡规律可求解．
(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力FTAC＝FTCD＝M1g
图乙中细绳GF段的拉力FTGF＝M2g
由FTEGsin 30°＝FTGF
得FTEG＝2M2g
所以＝．
(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡规律有F NC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°角，指向右上方．
(3)图乙中，根据平衡规律有FTEGsin 30°＝M2g
FTEGcos 30°＝FNG
所以FNG＝M2gcot 30°＝M2g，方向水平向右．
[答案] (1)M1∶2M2 (2)M1g，方向与水平方向成30°角指向右上方 (3)M2g，方向水平向右
[跟进训练]
4．如图所示的四幅图中，AB，BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接．下列说法正确的是( )
A．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙
B．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁
C．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丙
D．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁
B [轻绳只能产生拉力，而杆可产生拉力也可产生推力，故绳能代替杆的情况只有当杆中产生的是拉力时．题图甲、丁中AB杆中是拉力、BC杆中是推力；题图乙中两杆均是推力；题图丙中两杆均是拉力，故B正确．]
1．物体在共点力作用下，下列说法正确的是( )
A．物体的速度在某一时刻等于零，就一定处于平衡状态
B．物体相对另一物体保持静止时，一定处于平衡状态
C．物体所受合力为零，就一定处于平衡状态
D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
[答案] C
2．如图所示，某工人正在修理草坪，推力F与水平方向成α角，割草机沿水平方向做匀速直线运动，则割草机所受阻力的大小为( )
A．F sin α B．F cos α
C． D．
B [割草机沿水平方向做匀速直线运动，四个力的合力为零，受力如图，则有f＝F cos α．
]
3．在如图所示的甲、乙、丙、丁四图中，滑轮光滑且所受的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一个质量为m的重物，当滑轮和重物都静止不动时，甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ，乙图中木杆P竖直．假设甲、乙、丙、丁四图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD，则以下判断正确的是( )
甲 乙 丙 丁
A．FA＝FB＝FC＝FD B．FD>FA＝FB>FC
C．FA＝FC＝FD>FB D．FC>FA＝FB>FD
B [绳上的拉力等于重物所受的重力mg，设滑轮两侧细绳之间的夹角为φ，滑轮受到木杆P的弹力F与滑轮两侧细绳拉力的合力等大反向，即F＝2mg cos ，由夹角关系可得FD>FA＝FB>FC，选项B正确．]
4．(人教版教材改编)如图所示，四个完全相同的排球静止叠放在水平地面上，质量均为m，相互接触，球与球之间可视为光滑，球与地面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，则( )
A．上方球受到3个力的作用
B．下方每个球对上方球的支持力大小均为mg
C．水平地面对下方每个球的支持力大小均为mg
D．下方三个球与水平地面间均没有摩擦力
B [上方的排球受到重力和下方三个排球的弹力作用，共4个力的作用，A错误；4个排球的球心连线构成正四面体，几何关系如图所示，下方三个排球对上方排球的三个弹力大小相等，在竖直方向分力的合力等于上方排球的重力，设下方排球对上方排球的弹力FN与竖直方向的夹角为θ，正四面体的棱长为2r，根据几何关系可知sin θ＝＝，则cos θ＝，对上方球根据平衡条件可知3FNcos θ＝mg，解得FN＝mg，B正确；四个球受力平衡，对4个球整体受力分析，在竖直方向上有4mg＝3N，解得下方每个球受到地面的支持力大小均为N＝，C错误；下方排球受到上方排球的弹力作用，有向外运动的趋势，因此下方排球受到的摩擦力不为零，D错误．
]
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．静止和“v瞬＝0”是一回事吗？
提示：不是．静止是平衡状态，而v瞬＝0时，若a≠0，则不是平衡状态．
2．正交分解时物体的平衡条件是什么？
提示：Fx合＝0，Fy合＝0．
课时分层作业(十四) 共点力的平衡条件及其应用
?题组一 共点力的平衡条件
1．叠石头是一项考验耐心和平衡感的游戏．如图所示，三个形状不规则的石块甲、乙、丙在水平桌面上成功地叠放在一起，下列说法正确的是( )
A．石块乙对甲的支持力大小一定等于甲受到的重力，方向竖直向上
B．石块丙对乙的作用力一定竖直向上
C．石块丙可能受到桌面的摩擦力
D．石块乙对丙的压力大小一定等于乙的重力
B [由题图可知，甲与乙的接触面若不是水平面，则石块乙对甲的支持力与静摩擦力的合力大小等于甲的重力，方向竖直向上，故A错误；对石块甲和乙的整体而言，石块丙对乙的作用力与甲、乙整体的重力等大反向，则石块丙对乙的作用力一定竖直向上，故B正确；对甲、乙、丙的整体，水平方向不受力，则石块丙不可能受到桌面的摩擦力，故C错误；石块乙对丙可能同时有压力与摩擦力，它们的大小等于甲、乙总重力在垂直接触面和沿接触面的两个方向的分力，故D错误．故选B．]
2．某物体受四个力的作用而处于静止状态，保持其他三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力的方向转过90°，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上一个大小为多少的力( )
A．F B．F
C．2F D．3F
B [因其余三个力的合力F′与F等大反向，当F转过90°时，三个力的合力F′与F夹角为90°，F′与F的合力大小为F，故欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上一个大小为F的力．故选项B正确．]
3．(多选)一物体受三个共点力的作用，下面四组组合可能使物体处于平衡状态的是( )
A．F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N
B．F1＝8 N、F2＝2 N、F3＝11 N
C．F1＝7 N、F2＝1 N、F3＝5 N
D．F1＝10 N、F2＝10 N、F3＝1 N
AD [三个共点力若合力为零，则其中任意两个力的和大于第三个．故A、D正确．]
4．(多选)如图所示，用两根细线把A、B两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，然后用某个力F作用在小球A上，使三根细线均处于伸直状态，且OB细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态．则该力可能为图中的( )
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
[答案] BC
?题组二 共点力平衡条件的应用
5．如图所示，用三根等长的轻质细链悬拉花盆(花盆与墙壁未接触，连接处间距相等)，已知花盆的重力为G，每根轻质细链和竖直方向都成30°角，则每根轻质细链对花盆的拉力大小为( )
A．G B．G C．G D．G
C [设每根轻质细链对花盆的拉力大小为F，由平衡条件得3F cos 30°＝G，解得：F＝G．故C正确．]
6．如图所示，在两座山峰间夹着一块岩石，吸引了大量游客前往观赏，该景观可简化成如图所示的模型，右壁竖直，左壁稍微倾斜．设左壁与竖直方向的夹角为θ，由于长期的风化，θ将会减小，石头与山崖间的摩擦很小，可以忽略不计．若石头质量一定，θ减小，石头始终保持静止，下列说法正确的是( )
A．山崖左壁对石头的作用力将减小
B．山崖右壁对石头的作用力增大
C．山崖对石头的作用力减小
D．石头受到的合力将增大
B [对石头进行受力分析，受到重力、两边山崖对它的弹力，如图所示．
由共点力平衡的条件可知，山崖左壁对石头的作用力为F2＝，山崖右壁对石头的作用力为F1＝，θ减小，则F1增大，F2增大，故A错误，B正确；石头始终处于平衡状态，山崖对石头的作用力始终与石头的重力大小相等，方向相反，所以山崖对石头的作用力保持不变，故C错误；石头受到的合力始终为零，保持不变，故D错误．故选B．
]
7．(多选)如图所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦不计．物体A重40 N，物体B重10 N．以下说法正确的是( )
A．地面对A的支持力是30 N
B．物体A受到的合力是30 N
C．测力计示数20 N
D．测力计示数30 N
AC [取B为研究对象，由B静止可知绳子的拉力为10 N，再取滑轮为研究对象，可知弹簧测力计的示数为20 N，最后取A为研究对象，A静止，合力为零，所以地面对A的支持力为30 N．故选项A、C正确．]
8．如图所示，与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m＝1.0 kg的物体．物体与细绳的一端相连，细绳的另一端通过摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧测力计相连．物体静止在斜面上，弹簧测力计的示数为6 N．取g＝，求物体受到的摩擦力和支持力．
[解析] 物体受力情况如图所示．重力沿斜面方向向下的分量Gx＝mg sin 30°＝5.0 N，小于弹簧测力计的拉力FT，故摩擦力方向沿斜面向下．
根据共点力平衡FT＝mg sin 30°＋f
FN＝mg cos 30°
解得f＝1 N，方向沿斜面向下，FN＝5 N，方向垂直于斜面向上．
[答案] 摩擦力大小为1 N，方向沿斜面向下 支持力大小为5 N，方向垂直于斜面向上
9．如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g．若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )
A． B．
C．mg tan α D．mg cot α
A [对石块受力分析如图所示，由平衡条件得2FNsin α＝mg，
解得FN＝．
故选项A正确．]
10．(多选)某课外兴趣小组研究如图甲所示的路灯支架构造及受力．小组绘制了如图乙所示的模型图，已知路灯支架横梁OA长2.0 m，斜梁OB 长2.5 m，路灯重力为18 N ，重心恰好在支架横梁和斜梁的连接点O处，支架重力不计，横梁和斜梁对O点的弹力均沿杆方向．由共点力的知识可知( )
A．横梁被拉伸，斜梁被压缩
B．横梁对O点作用力大小为24 N
C．斜梁对O点作用力大小为24 N
D．若把斜梁稍微缩短，仍保持O点位置不变，横梁仍水平，这时斜梁对O点的作用力将变大
ABD [由题意可知O点处于平衡状态，分析O点受力可知受竖直向下的拉力，横梁施加的向左的力，斜梁施加的沿斜梁向外的力，如图所示，
则斜梁处于压缩状态，横梁处于拉伸状态，故A正确；结合题图乙可知sin θ＝0.6，cos θ＝0.8，结合受力分析可得FN1＝＝N＝24 N，FN2＝＝N＝30 N，故B正确，C错误；当斜梁缩短，横梁不变，θ减小，斜梁对O点的作用力将变大，故D正确．故选ABD．]
11．小孩坐在雪橇上，总质量为40 kg，大人用与水平方向成 37°斜向上的大小为100 N的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速直线运动(sin 37° ＝0.6，cos 37° ＝0.8，g取10 N/kg)，求：
(1)地面对雪橇的摩擦力；
(2)地面对雪橇的支持力大小；
(3)雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小．
[解析] (1)对小孩和雪橇沿水平地面做匀速直线运动时受力分析如图所示：
对小孩和雪橇整体受力分析得
竖直方向Fsin θ＋N＝ mg
水平方向F cos θ－f ＝0
其中f＝μN
地面对雪橇的摩擦力
f＝F cos θ＝100×0.8 N＝80 N．
(2)地面对雪橇的支持力
N＝ mg－ F sin θ＝400 N－100×0.6 N＝340 N．
(3)雪橇与水平地面的动摩擦因数
μ＝＝≈0.24．
[答案] (1)80 N (2)340 N (3)0.24
12．一物体置于粗糙的斜面上，给该物体施加一个平行于斜面的力，当此力为100 N且沿斜面向上时，物体恰能沿斜面向上匀速运动；当此力为20 N且沿斜面向下时，物体恰能在斜面上向下匀速运动，求施加此力前物体在斜面上受到的摩擦力．
[解析] 物体沿斜面向上运动时受力分析如图甲所示．
由共点力的平衡条件得
x轴：F1－f1－mg sin α＝0
y轴：mg cos α－FN1＝0
又f1＝μFN1
物体沿斜面向下运动时受力分析如图乙所示．
由共点力的平衡条件得
x轴：f2－F2－mg sin α＝0
y轴：mg cos α－FN2＝0
又f2＝μFN2，f1＝f2＝f
以上各式联立得：
f1＝f2＝f＝
代入数据得f＝ N＝60 N，mg sin α＝40 N
当不施加此力时，物体受重力沿斜面向下的分力
mg sin α故物体静止在斜面上，受到的静摩擦力
f′＝mg sin α＝40 N．
[答案] 40 N
21世纪教育网(www.21cnjy.com)课时分层作业(十四) 共点力的平衡条件及其应用
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分，本试卷总分74分
?题组一 共点力的平衡条件
1．叠石头是一项考验耐心和平衡感的游戏．如图所示，三个形状不规则的石块甲、乙、丙在水平桌面上成功地叠放在一起，下列说法正确的是( )
A．石块乙对甲的支持力大小一定等于甲受到的重力，方向竖直向上
B．石块丙对乙的作用力一定竖直向上
C．石块丙可能受到桌面的摩擦力
D．石块乙对丙的压力大小一定等于乙的重力
2．某物体受四个力的作用而处于静止状态，保持其他三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力的方向转过90°，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上一个大小为多少的力( )
A．F B．F
C．2F D．3F
3．(多选)一物体受三个共点力的作用，下面四组组合可能使物体处于平衡状态的是( )
A．F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N
B．F1＝8 N、F2＝2 N、F3＝11 N
C．F1＝7 N、F2＝1 N、F3＝5 N
D．F1＝10 N、F2＝10 N、F3＝1 N
4．(多选)如图所示，用两根细线把A、B两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，然后用某个力F作用在小球A上，使三根细线均处于伸直状态，且OB细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态．则该力可能为图中的( )
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
?题组二 共点力平衡条件的应用
5．如图所示，用三根等长的轻质细链悬拉花盆(花盆与墙壁未接触，连接处间距相等)，已知花盆的重力为G，每根轻质细链和竖直方向都成30°角，则每根轻质细链对花盆的拉力大小为( )
A．G B．G C．G D．G
6．如图所示，在两座山峰间夹着一块岩石，吸引了大量游客前往观赏，该景观可简化成如图所示的模型，右壁竖直，左壁稍微倾斜．设左壁与竖直方向的夹角为θ，由于长期的风化，θ将会减小，石头与山崖间的摩擦很小，可以忽略不计．若石头质量一定，θ减小，石头始终保持静止，下列说法正确的是( )
A．山崖左壁对石头的作用力将减小
B．山崖右壁对石头的作用力增大
C．山崖对石头的作用力减小
D．石头受到的合力将增大
7．(多选)如图所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦不计．物体A重40 N，物体B重10 N．以下说法正确的是( )
A．地面对A的支持力是30 N
B．物体A受到的合力是30 N
C．测力计示数20 N
D．测力计示数30 N
8．如图所示，与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m＝1.0 kg的物体．物体与细绳的一端相连，细绳的另一端通过摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧测力计相连．物体静止在斜面上，弹簧测力计的示数为6 N．取g＝，求物体受到的摩擦力和支持力．
9．如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g．若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )
A． B．
C．mg tan α D．mg cot α
10．(多选)某课外兴趣小组研究如图甲所示的路灯支架构造及受力．小组绘制了如图乙所示的模型图，已知路灯支架横梁OA长2.0 m，斜梁OB 长2.5 m，路灯重力为18 N ，重心恰好在支架横梁和斜梁的连接点O处，支架重力不计，横梁和斜梁对O点的弹力均沿杆方向．由共点力的知识可知( )
A．横梁被拉伸，斜梁被压缩
B．横梁对O点作用力大小为24 N
C．斜梁对O点作用力大小为24 N
D．若把斜梁稍微缩短，仍保持O点位置不变，横梁仍水平，这时斜梁对O点的作用力将变大
11．小孩坐在雪橇上，总质量为40 kg，大人用与水平方向成 37°斜向上的大小为100 N的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速直线运动(sin 37° ＝0.6，cos 37° ＝0.8，g取10 N/kg)，求：
(1)地面对雪橇的摩擦力；
(2)地面对雪橇的支持力大小；
(3)雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小．
12．一物体置于粗糙的斜面上，给该物体施加一个平行于斜面的力，当此力为100 N且沿斜面向上时，物体恰能沿斜面向上匀速运动；当此力为20 N且沿斜面向下时，物体恰能在斜面上向下匀速运动，求施加此力前物体在斜面上受到的摩擦力．
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第三章 相互作用
第六节 共点力的平衡条件及其应用
[学习目标] 1．通过观察示例，认识什么是共点力．2．知道物体的平衡状态，掌握共点力平衡的条件．3．会用共点力的平衡条件分析生活生产中的实际问题，体会物理学知识在实际应用中的价值．
必备知识·自主预习储备
知识点一 共点力的平衡
1．共点力：如果几个力都作用在物体的________上，或者几个力的________相交于同一点，这几个力就称为共点力．
2．作图时可以把力的作用点画到作用线的____________．
同一点
作用线
公共交点上
3．共点力的平衡
(1)平衡状态：物体处于______或者保持__________运动的状态叫作平衡状态．
(2)共点力的平衡：物体如果受到共点力的作用且处于平衡状态，就叫作共点力的平衡．
提醒 物理中的“缓慢运动”可视为速度很小，接近于0，从而把“缓慢运动”看作平衡状态来处理．
静止
匀速直线
体验 1．(1)物体速度等于零时，物体一定处于平衡状态． ( )
(2)在平直的高速公路上匀速行驶的汽车处于平衡状态． ( )
(3)用手拿一粒钢球，刚松手的瞬间，小球仍处于平衡状态． ( )
(4)合外力保持恒定的物体处于平衡状态． ( )
×
√
×
×
知识点二 共点力的平衡条件
1．平衡条件：为了使物体保持______状态，作用在物体上的力所必须满足的条件，叫作共点力的平衡条件．
2．二力平衡：物体在两个共点力作用下处于平衡状态，其平衡条件是这两个力大小______、方向______，作用在同一直线上．
3．物体在共点力作用下的平衡条件是所受合力为____．
提醒 物体在三个共点力作用下处于平衡状态，任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
平衡
相等
相反
零
体验 2．(1)物体所受的合力为零，则物体一定处于平衡状态． ( )
(2)一个重为20 N的物体置于光滑的水平面上，当用一个F＝5 N的力竖直向上拉该物体时，如图所示，物体受到的合力为________．
√
0
关键能力·情境探究达成
如图所示，甲图中的鸟在几个力的作用下处于静止状态；乙图中的飞机在水平方向上做匀速直线运动；丙图中的照相机静止在三脚架上．
上述三个物体均在多个共点力作用下处于平衡状态，它们各自所受的作用力应满足什么条件？
提示：物体所受的合力为零，物体将保持平衡状态．
3．由平衡条件得出的三个结论
4．验证共点力的平衡条件
(1)实验器材：图板、白纸、图钉、细线、弹簧测力计三个、刻度尺、小铁环等．
(2)实验过程
①将图板平放在桌面上，板面上用图钉固定好白纸，将平放在图板上的三个弹簧测力计挂钩用细线系在小铁环上，如图甲所示．
甲 乙
②先固定好两个测力计，再沿某一方向拉着第三个测力计．当铁环平衡时，分别记下测力计的示数F1、F2和F3，按各力的大小、方向作出力的图示．
③按平行四边形定则，合成F1和F2，作出合力F12，比较F12和F3，如图乙所示，或合成F2、F3，作出合力F23，比较F23与F1…，由此，找出三个力F1、F2、F3的关系．
(3)实验结论：通过实验我们得到共点力平衡的条件是物体所受合力为零，即F合＝0．
【典例1】 如图所示为笔记本电脑的散热底座，倾角θ＝30°，质量为m的笔记本电脑静止放置在该底座上，电脑与散热底座挡板无接触，重力加速度为g，请回答以下问题：
(1)笔记本电脑受到几个力的作用？请画出笔记本电脑的受力示意图；
(2)写出笔记本电脑所受的各个力与重力间的关系式；
(3)增加散热底座的夹角θ，笔记本电脑仍保持静止，请分析电脑所受各个力如何变化．
[解析] (1)根据题意，对笔记本电脑受力分析，笔记本电脑受到重力、弹力、摩擦力三个力的作用，受力示意图如图所示．
规律方法 力的合成与分解都遵从平行四边形定则，计算时要先根据要求按照力的平行四边形定则作出力的合成或力的分解的示意图，再根据数学知识解三角形，主要是求解直角三角形．
[跟进训练]
1．佛山市某中学进行的趣味运动会中有一个“击鼓颠球”的项目(如图甲所示)，学生们围成一圈，通过手中的绳子来控制鼓的运动，使鼓能多次颠球．假设某次比赛开始前，质量为m的鼓在n根均匀分布在鼓身周围的相同轻绳作用下保持静止，每根绳子与水平面的夹角均为θ(如图乙所示)，则每
根绳子的拉力大小是( )
√
考点2 共点力平衡条件的应用
1．求解共点力平衡问题的常用方法
方法 内容 选用条件
分
解
法 物体受到三个力的作用而平衡时，将某一个力按力的效果进行分解，则其分力和其他力在所分解的方向上满足平衡条件 物体受三
力平衡
方法 内容 选用条件
合
成
法 物体受三个力作用而平衡时，其中任意两个力的合力必定跟第三个力等大、反向，可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解 物体受三
力平衡
方法 内容 选用条件
正交
分解
法 物体在三
个或三个
以上共点
力作用下
的平衡
2．求解平衡问题的一般步骤
共点力作用下的物体的平衡问题，涉及的都是力的问题，解决此类平衡问题的步骤如下．
(1)依据问题的需要选取适当的研究对象．研究对象的选取可以是系统整体，也可以是系统中隔离出的单个物体；
(2)分析研究对象(整体或单个物体)的运动状态，判断它是否处于平衡状态，是静止还是匀速直线运动状态；
(3)对研究对象进行受力分析并画出受力示意图；
(4)分辨题目所属的类型，选择合适的解法；
(5)依据共点力的平衡条件，列出力的平衡方程；
(6)求解问题并进行讨论．
【典例2】 [链接教材P90例题1]
半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN，在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态．如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直，缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止，在此过程中( )
A．MN对Q的弹力逐渐减小
B．地面对P的摩擦力逐渐增大
C．P、Q间的弹力先减小后增大
D．Q所受的合力逐渐增大
√
B [对小圆柱体Q受力分析如图所示，P对Q的弹力为F，MN对Q的弹力为FN，挡板MN向右运动时，F和竖直方向的夹角逐渐增大，而小圆柱体所受重力大小不变，所以F和FN的合力大小不变，故选项D错误；由图可知，F和FN都在不断增大，故选项A、C错误，对P、Q整体受力分析知，地面对P的摩擦力大小就等于FN，所以地面对P的摩擦力也逐渐增大，故选项B正确．]
【教材原题P90例题1】 在图3-6-9中，小球重3 N，光滑斜面的倾角α为30°．求斜面及竖直放置的挡板对小球作用力的大小．
分析：以小球为研究对象，小球受到斜面对它的作用力F1、挡板对它的作用力F2和重力G这三个力的作用．根据共点力的平衡条件，F1和F2的合力F的大小与重力G的大小相等．
[跟进训练]
2．(合成法)如图所示，在水平天花板上用绳AC、BC和CD吊起一个物体，使其处于静止状态，结点为C，绳子的长度分别为AC＝4 dm，BC＝3 dm，悬点A、B 间距为5 dm．则AC绳、BC绳、CD绳上的拉力大小之比为( )
A．40∶30∶24
B．4∶3∶5
C．3∶4∶5
D．因CD绳长未知，故无法确定
√
3．(正交分解法)如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成θ角的推力F作用下，沿竖直墙壁向上匀速运动．若物体与墙面间的动摩擦因数为μ，试求F的大小．
考点3 “活结”与“死结”，“动杆”与“定杆”问题
1．“活结”与“死结”模型
(1)“活结”：一般是由轻绳跨过光滑滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的．绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的角平分线．
(2)“死结”：两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等．
2．“动杆”与“定杆”模型
(1)“动杆”：轻杆用转轴或铰链连接，当杆处于平衡状态时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则会引起杆的转动．如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向．
(2)“定杆”：若轻杆被固定不发生转动，则杆所受到的弹力方向不一定沿杆的方向．如图乙所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂质量为m的重物．滑轮对绳子的作用力应为图丙中两段绳中拉力F1和F2的合力F的反作用力，即定杆弹力的方向可以不沿杆的方向．
【典例3】 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；如图乙所示，轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°，在轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力．
[解析] 题图甲和题图乙中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡的条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析，如图甲和图乙所示，根据平衡规律可求解．
[跟进训练]
4．如图所示的四幅图中，AB，BC均为轻质杆，各图中杆的A、C端都通过铰链与墙连接，两杆都在B处由铰链相连接．下列说法正确的是( )
A．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、乙
B．图中的AB杆可以用与之等长的轻绳代替的有甲、丙、丁
C．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丙
D．图中的BC杆可以用与之等长的轻绳代替的有乙、丁
√
B [轻绳只能产生拉力，而杆可产生拉力也可产生推力，故绳能代替杆的情况只有当杆中产生的是拉力时．题图甲、丁中AB杆中是拉力、BC杆中是推力；题图乙中两杆均是推力；题图丙中两杆均是拉力，故B正确．]
学习效果·随堂评估自测
1．物体在共点力作用下，下列说法正确的是( )
A．物体的速度在某一时刻等于零，就一定处于平衡状态
B．物体相对另一物体保持静止时，一定处于平衡状态
C．物体所受合力为零，就一定处于平衡状态
D．物体做匀加速运动时，物体处于平衡状态
√
√
B [割草机沿水平方向做匀速直线运动，四个力的合力为零，受力如图，则有f＝F cos α．]
3．在如图所示的甲、乙、丙、丁四图中，滑轮光滑且所受的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一个质量为m的重物，当滑轮和重物都静止不动时，甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ，乙图中木杆P竖直．假设甲、乙、丙、丁四图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD，则以下判断正确的是( )
√
A．FA＝FB＝FC＝FD
B．FD>FA＝FB>FC
C．FA＝FC＝FD>FB
D．FC>FA＝FB>FD
4．(人教版教材改编)如图所示，四个完全相同的排球静止叠放在水平地面上，质量均为m，相互接触，球与球之间可视为光滑，球与地面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，则( )
√
B [上方的排球受到重力和下方三个排球的弹力作用，共4个力的作用，A错误；4个排球的球心连线构成正四面体，几何关系如图所示，下方三个排球对上方排球的三个弹力大小相等，在竖直方向分力的合力等于上方排球的重力，设下方排球对上方排球的弹力FN与竖直方向的夹角为θ，正四面体的棱长为2r，根据几何关系可知sin θ
回归本节知识，自我完成以下问题：
1．静止和“v瞬＝0”是一回事吗？
提示：不是．静止是平衡状态，而v瞬＝0时，若a≠0，则不是平衡状态．
2．正交分解时物体的平衡条件是什么？
提示：Fx合＝0，Fy合＝0．
题号
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?题组一 共点力的平衡条件
1．叠石头是一项考验耐心和平衡感的游戏．如图所示，三个形状不规则的石块甲、乙、丙在水平桌面上成功地叠放在一起，下列说法正确的是( )
课时分层作业(十四) 共点力的平衡条件及其应用
题号
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A．石块乙对甲的支持力大小一定等于甲受到的重力，方向竖直向上
B．石块丙对乙的作用力一定竖直向上
C．石块丙可能受到桌面的摩擦力
D．石块乙对丙的压力大小一定等于乙的重力
√
题号
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B [由题图可知，甲与乙的接触面若不是水平面，则石块乙对甲的支持力与静摩擦力的合力大小等于甲的重力，方向竖直向上，故A错误；对石块甲和乙的整体而言，石块丙对乙的作用力与甲、乙整体的重力等大反向，则石块丙对乙的作用力一定竖直向上，故B正确；对甲、乙、丙的整体，水平方向不受力，则石块丙不可能受到桌面的摩擦力，故C错误；石块乙对丙可能同时有压力与摩擦力，它们的大小等于甲、乙总重力在垂直接触面和沿接触面的两个方向的分力，故D错误．故选B．]
√
题号
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√
3．(多选)一物体受三个共点力的作用，下面四组组合可能使物体处于平衡状态的是( )
A．F1＝7 N、F2＝8 N、F3＝9 N
B．F1＝8 N、F2＝2 N、F3＝11 N
C．F1＝7 N、F2＝1 N、F3＝5 N
D．F1＝10 N、F2＝10 N、F3＝1 N
题号
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√
AD [三个共点力若合力为零，则其中任意两个力的和大于第三个．故A、D正确．]
√
4．(多选)如图所示，用两根细线把A、B两小球悬挂在天花板上的同一点O，并用第三根细线连接A、B两小球，然后用某个力F作用在小球A上，使三根细线均处于伸直状态，且OB细线恰好沿竖直方向，两小球均处于静止状态．则该力可能为图中的( )
A．F1 B．F2
C．F3 D．F4
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6．如图所示，在两座山峰间夹着一块岩石，吸引了大量游客前往观赏，该景观可简化成如图所示的模型，右壁竖直，左壁稍微倾斜．设左壁与竖直方向的夹角为θ，由于长期的风化，θ将会减小，石头与山崖间的摩擦很小，可以忽略不计．若石头质量一定，θ减小，石头始终保持静止，下列说法正确的是( )
题号
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√
A．山崖左壁对石头的作用力将减小
B．山崖右壁对石头的作用力增大
C．山崖对石头的作用力减小
D．石头受到的合力将增大
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√
7．(多选)如图所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦不计．物体A重40 N，物体B重10 N．以下说法正确的是( )
A．地面对A的支持力是30 N
B．物体A受到的合力是30 N
C．测力计示数20 N
D．测力计示数30 N
题号
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√
AC [取B为研究对象，由B静止可知绳子的拉力为10 N，再取滑轮为研究对象，可知弹簧测力计的示数为20 N，最后取A为研究对象，A静止，合力为零，所以地面对A的支持力为30 N．故选项A、C正确．]
题号
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10．(多选)某课外兴趣小组研究如图甲所示的路灯支架构造及受力．小组绘制了如图乙所示的模型图，已知路灯支架横梁OA长
2.0 m，斜梁OB 长2.5 m，路灯重力为18 N ，重心恰好在支架横梁和斜梁的连接点O处，支架重力不计，横梁和斜梁对O点的弹力均沿杆方向．由共点力的知识可知( )
题号
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√
A．横梁被拉伸，斜梁被压缩
B．横梁对O点作用力大小为24 N
C．斜梁对O点作用力大小为24 N
D．若把斜梁稍微缩短，仍保持O点位置不变，横梁仍水平，这时斜梁对O点的作用力将变大
题号
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√
√
ABD [由题意可知O点处于平衡状态，分析O点受力可知受竖直向下的拉力，横梁施加的向左的力，斜梁施加的沿斜梁向外的力，如图所示，
题号
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11．小孩坐在雪橇上，总质量为40 kg，大人用与水平方向成 37°斜向上的大小为100 N的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速直线运动(sin 37° ＝0.6，cos 37° ＝0.8，g取10 N/kg)，求：
(1)地面对雪橇的摩擦力；
(2)地面对雪橇的支持力大小；
(3)雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小．
题号
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[解析] (1)对小孩和雪橇沿水平地面做匀速直线运动时受力分析如图所示：
对小孩和雪橇整体受力分析得
竖直方向Fsin θ＋N＝ mg
水平方向F cos θ－f ＝0
其中f＝μN
地面对雪橇的摩擦力
f＝F cos θ＝100×0.8 N＝80 N．
题号
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[答案] (1)80 N (2)340 N (3)0.24
题号
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12．一物体置于粗糙的斜面上，给该物体施加一个平行于斜面的力，当此力为100 N且沿斜面向上时，物体恰能沿斜面向上匀速运动；当此力为20 N且沿斜面向下时，物体恰能在斜面上向下匀速运动，求施加此力前物体在斜面上受到的摩擦力．
题号
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[解析] 物体沿斜面向上运动时受力分析如图甲所示．
由共点力的平衡条件得
x轴：F1－f1－mg sin α＝0
y轴：mg cos α－FN1＝0
又f1＝μFN1
题号
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物体沿斜面向下运动时受力分析如图乙所示．
由共点力的平衡条件得
x轴：f2－F2－mg sin α＝0
y轴：mg cos α－FN2＝0
又f2＝μFN2，f1＝f2＝f
题号
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[答案] 40 N课时分层作业(十四)
1．B [由题图可知，甲与乙的接触面若不是水平面，则石块乙对甲的支持力与静摩擦力的合力大小等于甲的重力，方向竖直向上，故A错误；对石块甲和乙的整体而言，石块丙对乙的作用力与甲、乙整体的重力等大反向，则石块丙对乙的作用力一定竖直向上，故B正确；对甲、乙、丙的整体，水平方向不受力，则石块丙不可能受到桌面的摩擦力，故C错误；石块乙对丙可能同时有压力与摩擦力，它们的大小等于甲、乙总重力在垂直接触面和沿接触面的两个方向的分力，故D错误．故选B．]
2．B [因其余三个力的合力F'与F等大反向，当F转过90°时，三个力的合力F'与F夹角为90°，F'与F的合力大小为F，故欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上一个大小为F的力．故选项B正确．]
3．AD [三个共点力若合力为零，则其中任意两个力的和大于第三个．故A、D正确．]
4．BC
5．C [设每根轻质细链对花盆的拉力大小为F，由平衡条件得3Fcos 30°＝G，解得：F＝G．故C正确．]
6．B [对石头进行受力分析，受到重力、两边山崖对它的弹力，如图所示．
由共点力平衡的条件可知，山崖左壁对石头的作用力为F2＝，山崖右壁对石头的作用力为F1＝，θ减小，则F1增大，F2增大，故A错误，B正确；石头始终处于平衡状态，山崖对石头的作用力始终与石头的重力大小相等，方向相反，所以山崖对石头的作用力保持不变，故C错误；石头受到的合力始终为零，保持不变，故D错误．故选B．]
7．AC [取B为研究对象，由B静止可知绳子的拉力为10 N，再取滑轮为研究对象，可知弹簧测力计的示数为20 N，最后取A为研究对象，A静止，合力为零，所以地面对A的支持力为30 N．故选项A、C正确．]
8．解析：
物体受力情况如图所示．重力沿斜面方向向下的分量Gx＝mgsin 30°＝5.0 N，小于弹簧测力计的拉力FT，故摩擦力方向沿斜面向下．
根据共点力平衡FT＝mgsin 30°＋f
FN＝mgcos 30°
解得f＝1 N，方向沿斜面向下，FN＝5 N，方向垂直于斜面向上．
答案：摩擦力大小为1 N，方向沿斜面向下 支持力大小为5 N，方向垂直于斜面向上
9．A
[对石块受力分析如图所示，由平衡条件得2FNsin α＝mg，
解得FN＝．故选项A正确．]
10．ABD [由题意可知O点处于平衡状态，分析O点受力可知受竖直向下的拉力，横梁施加的向左的力，斜梁施加的沿斜梁向外的力，如图所示，
则斜梁处于压缩状态，横梁处于拉伸状态，故A正确；结合题图乙可知sin θ＝0.6，cos θ＝0.8，结合受力分析可得FN1＝N＝24 N，FN2＝N＝30 N，故B正确，C错误；当斜梁缩短，横梁不变，θ减小，斜梁对O点的作用力将变大，故D正确．故选ABD．]
11．解析：(1)对小孩和雪橇沿水平地面做匀速直线运动时受力分析如图所示：
对小孩和雪橇整体受力分析得
竖直方向Fsin θ＋N＝ mg
水平方向Fcos θ－f ＝0
其中f＝μN
地面对雪橇的摩擦力
f＝Fcos θ＝100×0.8 N＝80 N．
(2)地面对雪橇的支持力
N＝ mg－ Fsin θ＝400 N－100×0.6 N＝340 N．
(3)雪橇与水平地面的动摩擦因数
μ＝≈0.24．
答案：(1)80 N (2)340 N (3)0.24
12．解析：物体沿斜面向上运动时受力分析如图甲所示
由共点力的平衡条件得
x轴：F1－f1－mgsin α＝0
y轴：mgcos α－FN1＝0
又f1＝μFN1
物体沿斜面向下运动时受力分析如图乙所示
由共点力的平衡条件得
x轴：f2－F2－mgsin α＝0
y轴：mgcos α－FN2＝0
又f2＝μFN2，f1＝f2＝f
以上各式联立得：
f1＝f2＝f＝
代入数据得f＝ N＝60 N，mgsin α＝40 N
当不施加此力时，物体受重力沿斜面向下的分力
mgsin α故物体静止在斜面上，受到的静摩擦力
f'＝mgsin α＝40 N．
答案：40 N
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