2.4.1 二次函数的图像 学案4（无答案）

2.4.1
　二次函数的图像
学案
自学导引
给定下面几个函数
f(x)＝x2，f(x)＝2x2，f(x)＝2(x－1)2＋1.
问题1：由f(x)＝x2的图像如何得到f(x)＝2x2的图像？
问题2：由f(x)＝2x2的图像如何得到f(x)＝2(x－1)2＋1的图像？
问题3：f(x)＝2x2与f(x)＝－2x2的图像有什么区别？
新知自解
1．二次函数的定义
函数
叫作二次函数，定义域为
2．二次函数的图像变换
(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的a倍得到；
(2)从图中可以看出，二次函数y＝ax2(a≠0)中的a决定了图像的
和在同一直角坐标系中的
；
(3)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，a决定了二次函数图像的
；h决定了二次函数图像的
，而且“h正
移，h负
移”；k决定了二次函数图像的
，而且“k正
移，k负
移”．
作二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像有两种方法：一是将f(x)＝ax2＋bx＋c配方，然后利用列表、描点、连线的方法作出．二是先作出f(x)＝x2的图像，然后通过图像变换得到f(x)＝ax2＋bx＋c的图像．
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考点一
二次函数图像间的变换
[例1]　在同一坐标系中作出下列函数的图像．
(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.
并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．
[思路点拨]　对每个函数列表、描点、连线作出相应的图像，然后利用图像分析y＝x2与y＝2x2－4x的关系．
[一点通]　
任意抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，都可由y＝ax2图像经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示：
即上述平移规律“h值正、负，左、右移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”．
1．如何把y＝2x2－4x的图像变换为y＝x2的图像？
2．画二次函数y＝x2－6x＋21的图像，并说明它是如何经过y＝x2平移得到的．
考点二
求二次函数的解析式
[例2]　根据下列条件，求二次函数y＝f(x)的解析式．
(1)图像过点(2,0)，(4,0)，(0,3)；
(2)图像顶点为(1,2)并且过点(0,4)；
(3)过点(1,1)，(0,2)，(3,5)．
[思路点拨]　→→→
[一点通]　
求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，选用解析式的形式，利用待定系数法求解．
(1)若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c，a，b，c为常数，a≠0的形式．
(2)若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x－h)2＋k(其中顶点(h，k)，a为常数，a≠0)．
(3)若已知二次函数图像与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)，(x2,0)，则设所求二次函数为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)(a为常数，且a≠0)．
3．若将二次函数的图像向下、向右各平移2个单位长度得到图像的解析式为y＝－x2，则原二次函数的解析式是(　　)
A．y＝－(x－2)2＋2　　　　
B．y＝－(x＋2)2＋2
C．y＝－(x＋2)2－2
D．y＝－(x－2)2－2
4．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)且过点(2,4)，则f(x)＝________.
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
求该函数的解析式．
考点三
二次函数图像的应用
[例3]　已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像；
(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形面积；
(3)x为何值时，y>0，y＝0，y<0
[思路点拨]　(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像；
(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y＝0，x＝0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；
(3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y>0)时x的取值范围，y＝0与y<0时亦可得．
：
[一点通]　观察图像主要是把握其本质特征：开口方向决定a的符号，在y轴上的交点决定c的符号(值)，对称轴的位置决定－的符号，另外还要注意与x轴的交点、函数的单调性等，从而解决其他问题．
6．已知二次函数y＝kx2－7x－7的图像和x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k>－　　　　　　
B．k≥－且k≠0
C．k≥－
D．k>－且k≠0
7．若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围．
1．y＝ax2(a≠0)的图像与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像之间进行变换时应先将y＝ax2＋bx＋c进行配方，平移时应注意平移的方向及单位长度．
2．求二次函数的解析式一般采用待定系数法，当抛物线过三点时，可选用一般式；当已知条件与顶点坐标和对称轴有关时，可选用顶点式；当已知条件与x轴的交点坐标有关时，可选用两根式．
3．在利用数形结合的思想解决与二次函数的图像有关的问题时，只需要画出二次函数的大致图像(画出开口方向、对称轴、与坐标轴的交点、特殊点)即可．