2.4.1 二次函数的图像 学案5（含答案）

2.4.1
二次函数的图像
学案
1．掌握二次函数解析式的三种形式，会利用待定系数法求解析式．
2．掌握二次函数的图像变换．
1．定义
(1)形如y＝________(a≠0)的函数叫作二次函数，其中a，b，c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．解析式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)称为二次函数的一般式，二次函数的解析式还有其他两种形式：
顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)；
零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
(2)说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有二次函数的解析式均有零点式，只有图像与x轴有交点的二次函数才有零点式．
【做一做1－1】
二次函数f(x)的图像与x轴交于(－2,0)，(4,0)两点，且顶点为，求函数f(x)的解析式．
【做一做1－2】
二次函数f(x)的图像经过点A(1,0)，B(2,3)，且对称轴为x＝3，求函数f(x)的解析式．
2．图像变换
(1)首先将二次函数的解析式整理成顶点式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，再由二次函数y＝x2的图像经过下列的变换得到：
①将函数y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的____倍，横坐标不变，得到函数y＝ax2的图像．
函数y＝f(x)的图像上各点的纵坐标变为原来的a(a≠0)倍，横坐标不变，得到函数y＝af(x)的图像．
②将函数y＝ax2的图像向左(h＞0)或向右(h＜0)平移|h|个单位得到______的图像．
将函数y＝f(x)的图像向左平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x＋a)的图像．将函数y＝f(x)的图像向右平移a(a＞0)个单位得函数y＝f(x－a)的图像．简称为“左加(＋)右减(－)”．
③将函数y＝a(x＋h)2的图像向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位得到________的图像．
将函数y＝f(x)的图像向上平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)＋b的图像；将函数y＝f(x)的图像向下平移b(b＞0)个单位得函数y＝f(x)－b的图像．简称为“上加(＋)下减(－)”．
(2)一般地，二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，____决定了二次函数图像的开口大小和方向；____决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；____决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
【做一做2】
将函数y＝4x2＋2x＋1写成y＝a(x＋h)2＋k的形式，并说明它的图像是由y＝4x2的图像经过怎样的变换得到的？
答案：1．(1)ax2＋bx＋c　
【做一做1－1】
解：设函数解析式为f(x)＝a(x＋2)(x－4)，
又∵函数图像过顶点，
∴－＝a(1＋2)(1－4)，解得a＝.
∴函数解析式为f(x)＝(x＋2)(x－4)，
即f(x)＝x2－x－4.
【做一做1－2】
解：设所求函数解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由已知得解得
∴所求解析式为f(x)＝－x2＋6x－5.
2．(1)①a　②y＝a(x＋h)2　③y＝a(x＋h)2＋k
(2)a　h　k
【做一做2】
解：y＝4＋1－
＝42＋.
要得到y＝42＋的图像需将y＝4x2先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度．
怎样快速画二次函数图像的草图？
剖析：下面举例说明．例如画出函数y＝3x2－6x－9的草图．
函数的解析式化为顶点式y＝3(x－1)2－12.可得顶点坐标(1，－12)；与x轴的交点是点(－1,0)和点(3,0)；对称轴是直线x＝1；抛物线的开口向上．
画法步骤：
(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，画出直线x＝1；
(2)连线：用光滑曲线连接点(1，－12)，(－1,0)，(3,0)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝3x2－6x－9的草图，如图所示．
由此可见，画抛物线时，重点体现抛物线的特征：“三点一线一开口”．“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．根据这些特征在坐标系中可快速画出抛物线的草图．
题型一
求二次函数的解析式
【例1】
已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式．
反思：求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)
当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式．
(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)
当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式．
题型二
图像变换
【例2】
函数f(x)＝x2的图像经过怎样的变换，得到函数g(x)＝4x2－2x－1的图像？
分析：将函数g(x)＝4x2－2x－1的解析式化为顶点式．
反思：所有二次函数的图像均可以由函数f(x)＝x2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．
题型三
图像的应用
【例3】
已知二次函数y＝2x2－4x－6.
(1)求此函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出函数图像．
(2)求此函数图像与x轴、y轴的交点坐标，并求出以此三点为顶点的三角形的面积．
(3)x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0
分析：(1)已知二次函数，通过配方可求得对称轴及顶点坐标，再由函数的对称性列表描点可画出图像；
(2)函数图像与x轴、y轴相交的条件分别是y＝0、x＝0，可求对应的变量值，进一步求出三角形的面积；
(3)观察图像可得到图像在x轴上方(即y＞0)时x的取值范围，y＝0与y＜0时亦可得．
反思：根据配方法得到函数的性质，作图时，注意关键点的选取，如与x轴、y轴的交点，顶点和开口方向，对称轴及增减性等，使画图的操作更方便，图像更准确．
答案：【例1】
解法1：利用二次函数一般式．
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
解得
∴所求二次函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法2：利用二次函数的两根式．
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，∴＝8.
解得a＝－4，或a＝0(舍)．
∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
解法3：利用二次函数的顶点式．
设f(x)＝a(x－m)2＋n.∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的对称轴为x＝＝，即m＝.
又∵f(x)的最大值为8，∴n＝8.
∴f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，
∴a2＋8＝－1，解得a＝－4.
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
【例2】
解：g(x)＝4x2－2x－1＝42－.
变换的步骤是：
(1)将函数f(x)＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变，得到函数f(x)＝4x2的图像；
(2)将函数f(x)＝4x2的图像向右平移个单位，得到函数f(x)＝42的图像；
(3)将函数f(x)＝42的图像向下平移个单位，得到f(x)＝42－的图像，即得到函数g(x)＝4x2－2x－1的图像．
【例3】
解：(1)配方，得y＝2(x－1)2－8.
∵a＝2＞0，∴函数图像开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．
列表：
x
－1
0
1
2
3
y
0
－6
－8
－6
0
描点并画图，得函数y＝2x2－4x－6的图像，如图所示．
(2)由图像得，函数图像与x轴的交点坐标为A(－1,0)、B(3,0)，与y轴的交点坐标为C(0，－6)．
S△ABC＝|AB|·|OC|＝×4×6＝12.
(3)由函数图像知，当x＜－1或x＞3时，y＞0；当x＝－1或x＝3时，y＝0；当－1＜x＜3时，y＜0.
1
下列关于二次函数y＝x2＋x＋1图像的开口方向和顶点的说法，正确的是(
)．
A．开口向下，顶点(1,1)
B．开口向上，顶点(1,1)
C．开口向下，顶点
D．开口向上，顶点
2
将函数y＝x2的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为(
)．
A．y＝(x＋2)2＋1
B．y＝(x－2)2＋1
C．y＝(x－2)2－1
D．y＝(x＋2)2－1
3
一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图像大致是(
)．
4函数y＝4x2的图像各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，所得图像的函数解析式为__________．
5已知二次函数f(x)的图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1,13)和(2,28)，求二次函数f(x)的解析式．
答案：1．D　2.C
3．C　选项A，y＝ax＋b中，a＞0而y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下，矛盾；
选项B，y＝ax＋b中，a＞0，b＞0，从而y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴x＝＜0，矛盾；
选项D，y＝ax＋b中，a＜0，b＜0，但y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，矛盾．
4．y＝x2
5．分析：设出二次函数的顶点式，利用待定系数法求函数f(x)的解析式．
解：设f(x)＝a(x＋1)2＋k，
由题意得f(1)＝13，f(2)＝28，则有
解得a＝3，k＝1，即f(x)＝3(x＋1)2＋1.