2.4.1 二次函数的图像与性质的应用 学案5（含答案）

2.4.1
二次函数的图像与性质的应用
学案
1.能熟练地对二次函数解析式配方,研究其定义域、值域、单调性、最值等.
2.掌握二次函数的性质,并会对参数进行讨论.
3.进一步体会数形结合思想的作用.
在上节课我们共同学习了二次函数的解析式以及a决定开口方向和开口大小等性质,对于图像,我们知道了描点法和图像变换法,这节课我们来进一步研究二次函数的图像和性质,结合二次函数的图像,利用数形结合法解有关二次函数的最值问题,是本节知识的重点和难点,也是高考的热点问题.
问题1:将二次函数的一般式f(x)=ax2+bx+c配为顶点式:　　　　　　　　,所以对称轴为　　　　　,顶点坐标为　　　　　　　　.
问题2:对于二次函数y=ax2+bx+c.
当a>0时,它的图像开口向上,
f(x)在　　　　　　上是单调递减的,在　　　　　　上是单调递增的;当x=-时,函数取得最小值　　　　　　.
当a<0时,它的图像开口　　　　,f(x)在　　　　　　上是单调递增的,在　　　　　　上是单调递减的;当x=-时,函数取得最大值　　　　　　.
问题3:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最值可能出现以下三种情况:
(1)若-(2)若p≤-≤q,则f(x)min=　　　　,此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定.
(3)若-≥q,则f(x)在区间[p,q]上是减函数,则f(x)min=　　　　,f(x)max=　　　　.
由此可见,当-∈[p,q]时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的较大值,最小值是f(-);当- [p,q]时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[p,q]上的最大值是f(p)和f(q)中的较大值,最小值是f(p)和f(q)中的较小值.
问题4:解决函数应用问题的一般步骤:
(1)　　　　:弄清题意,分清条件和结论,理清数量关系;
(2)　　　　:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型;
(3)　　　　:求解数学模型,得到数学结论;
(4)　　　　:将用数学方法得到的结论还原为实际问题.
1.已知二次函数y=f(x)满足f(3+x)=f(3-x),且f(x)=0有两个实根x1,x2,
则x1+x2等于(　　).
A.0　　
B.3　　　
C.6　
D.
不能确定
2.把长为12厘米的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　).
A.
cm2
B.4
cm2
C.3
cm2
D.2
cm2
3.设m∈R,x1,x2是方程x2-2mx+1-m2=0两个实数根,则+的最小值是　　　　.
4.某超市为了获取最大利润做了一次试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售,则每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润 并求出最大利润.
　　二次函数的图像与性质
将函数y=-x2-x+1配方,确定其图像对称轴、顶点坐标,求出它的单调区间及最大值或最小值,并画出它的图像.
　　二次函数在闭区间上的最值
已知二次函数f(x)=x2-2x+3.
(1)当x∈[-2,0]时,求f(x)的最值;
(2)当x∈[-2,3)时,求f(x)的最值.
　　二次函数在实际中的应用
如图所示,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,AB宽20
m,水位上升到警戒线CD时,CD到拱桥顶O的距离仅为1
m,这时水面宽度为10
m.
(1)在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式;
(2)若洪水到来时,水位以每小时0.3
m的速度上升,从正常水位开始,持续多少小时到达警戒线
已知二次函数f(x)=-x2+bx+c对于任意x都满足f(1-x)=f(1+x).
(1)求实数b的值;
(2)比较f(-m2-m-1)与f()的大小.
已知二次函数f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时,求f(x)的最小值g(t).
经市场调查,商品在近100天内,日销售量和价格均为时间t的函数,且日销售量近似的满足关系g(t)=-t+(t∈N,0≤t≤100),在前40天里价格为f(t)=t+22(t∈N,0≤t≤40);在后60天里价格为f(t)=-t+52(t∈N,401.如图所示,二次函数y=x2-3x+2的图像交x轴于A,B两点,交y轴于C点,则三角形ABC的面积为(　　).
A.6
B.4
C.1
D.2
2.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:y=x2+bx+c的图像过点(1,0)……求证这个二次函数的图像关于直线x=2对称.根据已有信息,题中的二次函数图像不具有的性质是(　　).
A.过点(3,0)
B.顶点是(2,-2)
C.在x轴上截得的线段的长是2
D.与y轴的交点是(0,3)
3.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图像的对称轴为直线x=2,则下列关系:①f(π-2)=f(π);②f()>f(π);③f()>f(π).④f()=f(π),正确的是　　　　.
4.已知二次函数y=f(x)的对称轴是x=2,其图像顶点为A,并且与x轴交于B,C两点,B点坐标为(-1,0),三角形ABC的面积为18,求f(x)
.
　　(2013年·辽宁卷)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(max{p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=(　　).
A.16　　　　　　
B.-16
C.a2-2a-16
D.a2+2a-16
考题变式(我来改编):


答案
2.4.1　二次函数的图像与性质的应用
知识体系梳理
问题1:f(x)=a(x+)2+　x=-　(-,)
问题2:(-∞,-]　[-,+∞)　　向下　(-∞,-]　[-,+∞)　
问题3:(1)f(p)　f(q)　(2)f(-)　(3)f(q)　f(p)
问题4:(1)审题　(2)建模　(3)求模　(4)还原
基础学习交流
1.C　f(3+x)=f(3-x)知其图像的对称轴为x=-=3,又由韦达定理知x1+x2=-=6.
2.D　设一个三角形的边长为x
cm,则另一个三角形的边长为(4-x)
cm,两个三角形的面积和为S,则S=x2+(4-x)2=(x-2)2+2≥2.
当x=2时,S取最小值2
m2.故选D.
3.1　由Δ=(-2m)2-4(1-m2)≥0,解得m2≥,
又+=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2(1-m2)=6m2-2≥1.
4.解:设商品售价定为x元时,利润为y元,则
y=(x-8)[60-(x-10)·10]
=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10≤x≤16).
当且仅当x=12时,y有最大值160元,
即售价定为12元时,可获最大利润160元.
重点难点探究
探究一:【解析】y=-(x+)2+,对称轴x=-,顶点坐标(-,),
函数在区间(-∞,-]上是单调递增的,在区间[-,+∞)上是单调递减的,函数的最大值为,没有最小值.图像如图所示:
【小结】根据配方后得到的表达式画图,可直接判断出函数的单调性及最值.
探究二:【解析】∵f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,其对称轴为x=1,开口向上.
(1)当x∈[-2,0]时,f(x)在[-2,0]上是单调递减的,故当x=-2时,f(x)有最大值f(-2)=11;
当x=0时,f(x)有最小值f(0)=3.
(2)当x∈[-2,3)时,f(x)在[-2,3)上是先减后增的,故当x=1时,f(x)有最小值f(1)=2.
又|-2-1|>|3-1|,
∴f(x)的最大值为f(-2)=11.
【小结】对于“轴定,区间定”的二次函数问题,解答时直接利用二次函数的单调性解题;对于“轴定,区间动”的二次函数问题,解答时可以直接利用图像与二次函数单调性解题;重在用分类讨论的思想分析轴与区间的关系.
探究三:【解析】(1)设所求抛物线的解析式为y=ax2(a≠0),
∵CD=10
m,CD到拱桥顶O的距离仅为1
m,
则C点坐标为(-5,-1),把C点坐标代入y=ax2,解得a=-,
故抛物线的解析式为y=-x2.
(2)∵AB宽为20
m,
∴设A(-10,b),
把A点坐标代入抛物线的解析式y=-x2中,
解得b=-4,∴F(0,-4),∴EF=3,
∵水位以每小时0.3
m的速度上升,∴3÷0.3=10(小时),
答:从正常水位开始,持续10小时到达警戒线.
【小结】本题把实际问题转化为数学问题,即转化为点的坐标及函数解析式,应该注意点所在的象限,也就是点的坐标的符号.
思维拓展应用
应用一:(1)由f(1-x)=f(1+x)知二次函数的对称轴为直线x=1,即-=1,解得b=2;
(2)-m2-m-1=-(m+)2-≤-<,又f(x)在(-∞,1]上是增函数,
所以f(-m2-m-1)应用二:①当t>1时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,
所以当x=t时,f(x)取得最小值,
此时,g(t)=f(t)=t2-2t+3;
②当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,
f(x)在区间[t,t+1]上先减后增,
故当x=1时,f(x)取得最小值,
此时,g(t)=f(1)=2;
③当t+1<1,即t<0时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,
所以当x=t+1时,f(x)取得最小值,
此时,g(t)=f(t+1)=t2+2;
综上得g(t)=
应用三:设前40天内日销售额为S,则S=(t+22) (-t+)=-t2+t+,
∴S=-(t-10.5)2++,
当t=10或t=11时,Smax=808.5≈809,
设后60天内日销售额为P,则P=(-t+52) (-t+)=t2-t+,
∴P=(t-106.5)2-,∵40Pmax=×()2-=714.
则日销售额的最大值为809元.
基础智能检测
1.C　如图可知A(1,0),B(2,0),C(0,2),又S=×|AB|×yc=×1×2=1,故选C.
2.B　由二次函数的图像关于直线x=2对称得-=2,b=-4,再将点(1,0)代入可得c=3,然后画出二次函数的草图即可求解.
3.③　2->π-2.由图像可知f()>f(π).
4.解:∵二次函数f(x)的对称轴是x=2,
又∵B点坐标为(-1,0),
∴C点坐标为(5,0),
∴|BC|=6.
∵△ABC面积为18,即|BC||m|=18,∴
m=±6,即A点坐标为(2,±6),
∴f(x)=a(x+1)(x-5),
将A点坐标(2,±6)代人上述式子,可得a=±,
∴f(x)=±(x+1)(x-5),
即f(x)=±(x2-4x-5).
全新视角拓展
B　函数f(x)和g(x)的图像一个是开口向上的抛物线,一个是开口向下的抛物线,两个函数图像相交,则A必是两个函数图像交点中较低的点的纵坐标,B是两个函数图像交点中较高的点的纵坐标.令x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8,解得x=a+2或x=a-2,当x=a+2时,因为函数f(x)的对称轴为x=a+2,故可判断A=f(a+2)=-4a-4.B=f(a-2)=-4a+12,所以A-B=-16.