2.4.2 二次函数的性质 教案1

2.4.2
　二次函数的性质
教案
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握二次函数的概念、图像特征．
(2)能熟练地对一般二次函数的解析式配方，研究二次函数的对称性、值域和单调性，会求二次函数在给定区间上的最值．
2．过程与方法
(1)通过对二次函数的性质的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力．
(2)通过对二次函数的性质的证明，提高学生的推理论证能力．
3．情感、态度与价值观
(1)由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习数学的兴趣．
(2)通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
●重点难点
重点：掌握二次函数的定义域、值域、单调性、最值等性质及其图像的开口方向和顶点坐标．
难点：二次函数的应用．
课堂上通过学生探究、活动、问答交流等形式，发现其思维过程，恰当地运用一些鼓励性手段和方法，肯定学生思维中的有效成分；课堂上通过练习检测学生知识掌握情况，及时作出肯定性评价；通过课后作业与课堂小结及时反馈信息，查漏补缺；课间课后学生、师生之间平等进行讨论交流．
(教师用书独具)
●教学建议
教学过程主要分复习、探究新知、例题讲解、练习巩固、小结这五部分．在复习这个过程中先复习上一节课学过的二次函数图像的知识点，使学生很快进入到二次函数的氛围当中，接着使学生看图回忆大家所学过的函数的增减性，同时提出问题——二次函数的增减性是怎么样的，从而过渡到本节课所要学习的内容．利用四幅具体的二次函数图像，通过小组讨论的方式，让学生自主发现随着自变量的增大，函数值的变化情况．接着在让学生根据图像找到最大值或者是最小值，并考虑何时取到最值，若取到最大或最小值与哪个系数有关．通过这三个问题的设置，学生也基本了解了二次函数的性质．然后用表格的形式将性质进行总结归纳，使学生的知识形成了一定的体系．
●教学流程
复习二次函数的图像，过渡到本节课所要学习的内容 利用几个具体的函数图像，通过小组讨论，让学生自主发现随着自变量的变化时函数值的变化情况 根据函数图像，理解函数的定义域、值域、单调性、对称性等性质 通过例1及其变式训练，使学生加深对二次函数性质的理解
通过例2及其互动探究，使学生掌握动轴或动区间时的最值情况，深化对二次函数中参数的分类讨论 强化二次函数的应用，完成例3及变式训练 归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课标解读
1.理解二次函数的定义域、值域、单调性、对称性．(重点)2．能利用配方法或图像法掌握二次函数的重要性质．(重点)3．会求二次函数在给定闭区间上的最大值与最小值．(难点，易混点)
知识
二次函数的性质
【问题导思】　
　已知函数f(x)＝x2－2x－3
1．函数的顶点式是什么？
【提示】　
f(x)＝(x－1)2－4.
2．函数的单调区间是什么？它的图像的对称轴是什么？
【提示】　递增区间为[1，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，它的对称轴为x＝1.
3．当自变量x为何值时，函数的图像达到最低点？它的最小值为多少？
【提示】　在x＝1时达到最低点，最小值为－4.
4．该函数在[1,2]上的最小值和最大值分别为多少？在[0,2]上呢？
【提示】　在[1,2]上的最小值为－4，最大值为－3，在[0,2]上的最小值为－4，最大值为－3.
　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质如表：
　　a的符号性质　
a>0
a<0
图像
开口方向
开口向上
开口向下
顶点坐标
(－，)
(－，)
对称轴
x＝－
x＝－
单调区间
在区间(－∞，－]上是减少的，在区间[－，＋∞)上是增加的
在区间(－∞，－]上是增加的，在区间[－，＋∞)上是减少的
最大值、最小值
当x＝－时，函数取得最小值；无最大值
当x＝－时，函数取得最大值；无最小值
类型一
二次函数的性质
　已知函数y＝f(x)＝3x2－6x＋1.
(1)求其对称轴和顶点坐标；
(2)已知f(－1)＝10，不计算函数值，求f(3)；
(3)不直接计算函数值，试比较f(－)与f()的大小．
【思路探究】　本题中已知二次函数f(x)的解析式，故可考虑用配方法将f(x)配成顶点式，进而确定对称轴和顶点坐标．然后再结合对称性求f(3)及比较f(－)与f()的大小．
【自主解答】　∵f(x)＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2，由于x2项的系数为正数，∴函数图像开口向上．
(1)顶点坐标为(1，－2)；对称轴方程为x＝1.
(2)∵f(－1)＝10，
又|－1－1|＝2，|3－1|＝2，
∴由二次函数的对称性可知，f(3)＝f(－1)＝10.
(3)∵f(x)＝3(x－1)2－2的图像开口向上，且对称轴为1，
∴离对称轴越近，函数值越小．
又|－－1|>|－1|，
∴f(－)>f()．
1．已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h.
2．比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系；也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．
(1)下列区间中，使函数y＝－2x2＋x是增函数的是(　　)
A．R　　　　　　　　　　B．[2，＋∞)
C．[，＋∞)
D．(－∞，]
(2)(2013·保定检测)若函数f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴为x＝2.则(　　)
A．f(4)B．f(2)C．f(2)D．f(4)【解析】　(1)函数y＝－2x2＋x＝－2(x－)2＋的图像的对称轴是直线x＝，图像的开口向下，所以函数在对称轴x＝的左边是增加的．
(2)函数f(x)的对称轴为x＝2，所以f(2)最小，又x＝4比x＝1距对称轴远，故f(4)>f(1)，即f(2)【答案】　(1)D　(2)B
类型二
二次函数的最值
　已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
【思路探究】
(1)将a＝－1代入―→配方―→写最值
(2)配方―→写对称轴―→分类讨论―→结论
【自主解答】　(1)∵a＝－1，∴f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∴f(x)在[－5,1]上单调递减，
f(x)在[1,5]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1，
f(x)max＝f(－5)＝37.
(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图像开口向上，对称轴为x＝－a.
①当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，
f(x)min＝f(－5)＝27－10a；
②当－5<－a≤0，即0≤a<5时，函数图像如图(1)所示．
由图像可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
f(x)max＝f(5)＝27＋10a；
③当0<－a<5，即－5由图像可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2；
④当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是单调递减的，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
求二次函数在某区间上的最值的要点为：
1．考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；
2．当对称轴在区间内部时，还要考虑区间两端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．
　本例(1)中“当a＝－1时”条件不变，求x∈[t，t＋1]时f(x)的最小值g(t)．
【解】　①当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，
所以当x＝t时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2；
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，故当x＝1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(1)＝1；
③当t＋1<1，即t<0时，f(t)在[t，t＋1]上单调递减，
所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1.
综上得g(t)＝
类型三
二次函数的实际应用
　在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈现上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后，当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售．
(1)试建立价格p(元)与周次t之间的函数关系式；
(2)若此服装每周进价q(元)与周次t之间的关系为q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N
，试问该服装第几周每件销售利润最大？
【思路探究】　由题设可知，在不同周次，价格是不同的，前5周价格直线上升；中间5周价格保持不变，最后6周价格直线下降，所以价格p与周次t之间的函数关系是一个分段函数，而且有每件利润＝每件售价－每件进价，分段来分析第几周销售利润达到最大．
【自主解答】　(1)当t∈[0,5]时，p＝10＋2t；
当t∈(5,10]时，p＝20；
当t∈(10,16]时，p＝40－2t.
所以p＝
(2)由于每件销售利润＝售价－进价，所以每件销售利润L＝p－q.
所以，当t∈(0,5]时，
L＝10＋2t＋0.125(t－8)2－12＝0.125t2＋6，t∈N，
当t＝5时，L取最大值9.125；
当t∈(5,10]时，L＝(t－8)2＋8，t∈N，
当t＝6或t＝10时，L取最大值8.5；
当t∈(10,16]时，L＝0.125t2－4t＋36＝(t－16)2＋4，t∈N，
当t＝11时，L取最大值7.125.
因此，该服装第5周每件销售利润最大．
求解实际问题“四步曲”
1．读题：分为读懂和深刻理解两个层次，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系(目标与条件的关系)．
2．建模：把问题中的关系转化成函数关系，建立函数解析式，把实际问题转换成函数问题．
3．求解：选择合适的数学方法求解函数．
4．评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．
也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤．
　某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20
000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数．
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)
【解】　(1)设月产量为x台，则总成本为20
000＋100x，从而利润
f(x)＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25
000，所以当x＝300时，有最大值25
000；
当x>400时，f(x)＝60
000－100x是减少的，
所以f(x)<60
000－100×400＝20
000<25
000.
所以当x＝300时，有最大值25
000，
即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25
000元.
分类讨论思想在二次函数最值问题中的应用
　(12分)求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
【思路点拨】　此题为二次函数中区间固定对称轴移动的问题，应先配方寻找对称轴，分析对称轴与区间[0,2]的关系．
【规范解答】　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.2分
(1)当a<0时，由下图①可知，f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.4分
(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，
所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.6分
(3)当1所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.8分
(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上为减函数，
所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.10分
12分
1．分类讨论思想的实质是：整体问题化为部分问题，化成部分问题后相当于增加了题设条件，从而使问题符号顺利解决．
2．本题不是分a<0,0≤a≤2，a>2三种情况讨论，而是分四种情况，这是由于抛物线的对称轴在区间[0,2]所对应的区域时，最小值是在顶点处取得，但最大值却有可能是f(0)，也有可能是f(2)．
1．如果二次函数f(x)＝5x2＋mx＋4的对称轴是x＝1，则f(1)＝(　　)
A．10　　　B．－10　　　C．－1　　　D．19
【解析】　对称轴－＝1，
∴m＝－10，
∴f(x)＝5x2－10x＋4，
∴f(1)＝5－10＋4＝－1.
【答案】　C
2．已知二次函数y＝f(x)在区间(－∞，5]上单调递减，在区间[5，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是(　　)
A．f(－2)B．f(11)C．f(6)D．f(11)【解析】　法一　由二次函数的两个单调区间知，该二次函数的对称轴为x＝5，离对称轴越近函数值越小．
法二　由题意知，该二次函数图像的对称轴为x＝5.
∴f(5＋x)＝f(5－x)．
∴f(－2)＝f(5－7)＝f(5＋7)＝f(12)．
∵f(x)在[5，＋∞)上单调递增，
∴f(6)∴f(6)【答案】　C
3．(2013·大同高一检测)函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________．
【解析】　y＝3(x－1)2－2，该函数的图像如下．
从图像易知：f(x)max＝f(3)＝10，f(x)min＝f(1)＝－2.
【答案】　10　－2
4．画出函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的图像，并求函数的最值与单调区间．
【解】　画出函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的图像，如图所示：
观察图像，得函数f(x)＝x2－2x在区间[－2,1]上是减少的，则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；
函数f(x)＝x2－2x在区间[1,3]上是增加的，则此时最大值是f(3)＝3，最小值是f(1)＝－1.
则函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1.增区间是[1,3]，减区间是[－2,1).
(见学生用书第97页)
一、选择题
1．抛物线y＝x2－mx＋m－2与x轴交点的情况是(　　)
A．无交点　　　　　　　B．有一个交点
C．有两个交点
D．无法确定
【解析】　因x2－mx＋m－2＝0的判别式
Δ＝(－m)2－4(m－2)
＝m2－4m＋8
＝(m－2)2＋4>0，
故方程有不相等的两个根．
【答案】　C
2．函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．[－3,0]
B．(－∞，－3]
C．[－3,0)
D．[－2,0]
【解析】　当a＝0时，f(x)＝－6x＋1显然成立；
当a≠0时，要使f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，需满足解得－3≤a<0.
综上可知，a的取值范围是[－3,0]．
【答案】　A
3．函数f(x)＝x2－mx＋4(m>0)在(－∞，0]上的最小值是(　　)
A．4
B．－4
C．与m的取值有关
D．不存在
【解析】　由于f(x)的对称轴为x＝>0，f(x)在(－∞，0]上单调减少，因此，f(x)的最小值是f(0)＝4.
【答案】　A
4．已知二次函数f(x)＝ax2－6ax＋1，其中a>0，则下列关系中正确的是(　　)
A．f()B．f(2π)>f(π)
C．f()D．f(－1)【解析】　函数f(x)＝ax2－6ax＋1的对称轴为x＝3，其图像开口方向向上，离对称轴越近，对应的函数值越小．
∵2π－3>π－3，∴f(2π)>f(π)．故选B.
【答案】　B
5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606万元
B．45.56万元
C．45.6万元
D．45.51万元
【解析】　设该公司在甲地销售了x辆车，在乙地销售了(15－x)辆车，
获得的总利润为y，由题意得
y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)．
此函数的图像开口向下，对称轴为直线x＝10.2，
∴当x＝10时，y取得最大值45.6，即获得的最大利润为45.6万元．
【答案】　C
二、填空题
6．若f(x)＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图像关于x＝1对称，则b＝________.
【解析】　由题意知a＋2＝－2，即a＝－4，
又1－a＝b－1得b＝6.
【答案】　6
7．(2013·四平高一检测)若f(x)＝－x2＋4x＋k，x∈[0,1]的最大值为2，则f(x)的最小值为________．
【解析】　由于f(x)＝－x2＋4x＋k＝－(x－2)2＋k＋4，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝k＋3＝2，∴k＝－1，f(x)min＝f(0)＝k＝－1.
【答案】　－1
8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图像与x轴的交点为(1,0)和(3,0)，则下列关于函数f(x)单调性的说法正确的是________(填序号)．
①在(－∞，2]上是减少的；
②在[2，＋∞)上是增加的；
③在(－∞，3)上是增加的；
④在[1,3]上是增加的．
【解析】　由题意知，f(x)＝x2＋ax＋b＝0的两根分别x＝1和x＝3.
所以1＋3＝－a,1×3＝b，即a＝－4，b＝3.
所以f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，在(－∞，2]上单调减少，在[2，＋∞)上单调增加，故选①②正确．
【答案】　①②
三、解答题
9．已知：二次函数f(x)与g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，且g(x)＝－2x2－x－2，f(x)图像的对称轴为x＝－1，且过点(0,6)．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在[－2,3]上的最大值和最小值．
【解】　(1)设f(x)＝－2x2＋bx＋c，由题意得
∴
∴f(x)＝－2x2－4x＋6.
(2)∵f(x)＝－2(x＋1)2＋8，x∈[－2,3]，
∴x＝－1时，f(x)max＝8，
x＝3时，f(x)min＝－24.
图2－4－2
10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用抛物线表示如图2－4－2.
(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)
(1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．
【解】　(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋，
由t＝0时，R＝0，得a＝－.
∴R＝－(t－5)2＋(0≤t≤5)；
(2)年纯收益y＝－t2＋5t－0.5－t
＝－t2＋t－0.5，
当t＝＝4.75时，y取得最大值10.78万元．
故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．
11．求二次函数f(x)＝x2－2x＋2在[t，t＋1]上的最小值．
【解】　∵函数图像的对称轴是x＝1，
∴当t＋1<1，即t<0时，
f(x)在[t，t＋1]上是减函数，
∴f(x)min＝f(t＋1)
＝(t＋1)2－2(t＋1)＋2＝t2＋1.
当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，
f(x)min＝f(1)＝1.
当t>1时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，
∴f(x)min＝f(t)＝t2－2t＋2.
∴f(x)min＝
(教师用书独具)
　已知f(x)＝x2－2ax＋a2＋2(x∈R)在(2，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围．
【思路探究】　本题是一个二次函数的单调区间问题，二次函数的单调区间取决于图像的对称轴，为此需先确定对称轴．
【自主解答】　∵f(x)＝x2－2ax＋a2＋2的图像的对称轴是x＝a，且函数图像开口向上，∴f(x)＝x2－2ax＋a2＋2在[a，＋∞)上是单调增函数．
又因为f(x)＝x2－2ax＋a2＋2在(2，＋∞)上是单调增函数，∴a≤2.
∴实数a的取值范围是(－∞，2]．
涉及二次函数的问题经常要结合二次函数的图像来分析，即运用数形结合的思想．由于二次函数的图像是轴对称图形，且在对称轴的每一侧都具有单调性，因此，讨论二次函数的单调性时常常用到函数的图像．
如果函数f(x)＝x2＋bx＋c，对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，比较f(1)，f(2)，f(4)的大小．
【解】　由题意知，f(x)的对称轴为x＝2，故f(1)＝f(3)．
∵f(x)在[2，＋∞)上是增加的，
∴f(2)