2.4.2 二次函数的性质 课后训练（含答案）

2.4.2
二次函数的性质
课后训练
一、选择题
1．下列区间中，使y＝－2x2＋x增加的是(　　)
A．R
B．[2，＋∞)
C．[，＋∞)
D．(－∞，]
[答案]　D
[解析]　由y＝－2(x－)2＋，
可知函数在(－∞，]上是增加的．
2．函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，则(　　)
A．b>0且a<0
B．b＝2a<0
C．b＝2a>0
D．a，b的符号不定
[答案]　B
[解析]　因为函数y＝ax2＋bx＋3在(－∞，－1]上是增加的，在[－1，＋∞)上是减少的，所以a<0，且在对称轴x＝－＝－1处取最大值，故b＝2a<0，选B.
3．函数y＝－x2＋4x的增区间是(　　)
A．[－2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]
D．(－∞，2]
[答案]　D
[解析]　函数y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，则对称轴是x＝2，所以当x≤2时，函数是增加的．
4．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像的最高点为(－1，－3)，则b与c的值是(　　)
A．b＝2，c＝4
B．b＝2，c＝－4
C．b＝－2，c＝4
D．b＝－2，c＝－4
[答案]　D
[解析]　∵y＝－x2＋bx＋c＝－(x－)2＋最高点为(－1，－3)，
∴解得故选D.
5．函数f(x)＝x2＋2x＋1，x∈[－2,2]，则函数(　　)
A．有最小值0，最大值9
B．有最小值2，最大值5
C．有最小值2，最大值9
D．有最小值1，最大值5
[答案]　A
[解析]　由于f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，
图像的对称轴是x＝－1，所以f(x)在x＝－1处取得最小值且f(－1)＝0.又f(－2)＝1，f(2)＝9.
因此函数的最大值等于9.
6．某生产厂家生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的解析式为y＝x2－85x，若每件产品售价25万元，则该厂所获利润最大时生产的产品件数为(　　)
A．35
B．45
C．55
D．65
[答案]　C
[解析]　生产x台时，所获利润f(x)＝25x－y＝－x2＋110x＝－(x－55)2＋3
025.
所以当x＝55时，f(x)取最大值，即该厂所获利润最大时生产的产品件数是55.
二、填空题
7．已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[2,10]上具有单调性，则实数k的取值范围是________．
[答案]　k≤16或k≥80
[解析]　函数f(x)的对称轴为x＝，
∴≤2或≥10，
∴k≤16或k≥80.
8．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________．
[答案]　(－，)
[解析]　把(1,4)的坐标代入y＝ax2与y＝kx＋1中得a＝4，k＝3.所以由，
解得或
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x2＋2ax－3.
(1)如果f(a＋1)－f(a)＝9，求a的值；
(2)问a为何值时，函数的最小值是－4
[解析]　(1)∵f(a＋1)－f(a)＝(a＋1)2＋2a(a＋1)－3－(a2＋2a2－3)＝4a＋1＝9，∴a＝2.
(2)∵由＝－4，
得a2＝1，∴a＝±1.
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图像与y轴交于点(0,1)，且满足f(－2＋x)＝f(－2－x)(x∈R)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知函数在(t－1，＋∞)上是增加的，求实数t的取值范围．
[解析]　(1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0,1)，知c＝1.
∵f(－2＋x)＝f(－2－x)，
∴函数f(x)的对称轴x＝－＝－＝－2.
∴a＝.∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)∵函数f(x)在(t－1，＋∞)上是增加的，
∴t－1≥－2.∴t≥－1.
11．(1)当－2≤x≤2时，求函数y＝x2－2x－3的最大值和最小值．
(2)当1≤x≤2时，求函数y＝－x2－x＋1的最大值和最小值．
(3)当x≥0时，求函数y＝－x(2－x)的取值范围．
[解析]　(1)作出函数的图像，如图(1)，开口向上，对称轴为x＝1，
所以当x＝1时，ymin＝－4；
当x＝－2时，ymax＝5.
(2)作出函数的图像，如图(2)，开口向下，对称轴为x＝－.
所以当x＝1时，ymax＝－1；
当x＝2时，ymin＝－5.
(3)作出函数y＝－x(2－x)＝x2－2x在x≥0时的图像，如图(3)．
可以看出：当x＝1时，ymin＝－1，无最大值．
所以，当x≥0时，函数的取值范围是y≥－1.
一、选择题
1．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)
A．a>0,4a＋b＝0
B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0
D．a<0,2a＋b＝0
[答案]　A
[解析]　由题意得f(0)＝c，f(4)＝16a＋4b＋c＝c，
即16a＋4b＝0,4a＋b＝0，f(1)＝a＋b＋c，
因为f(4)>f(1)，所以a＋b<0，a>0，故选A.
2．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是(　　)
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤25
D．f(1)>25
[答案]　A
[解析]　f(x)＝4x2－mx＋5在[，＋∞)上是增加的，故[－2，＋∞) [，＋∞)，
即－2≥，∴m≤－16.∴f(1)＝9－m≥25.
二、填空题
3．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上是增加的，在(－∞，－1]上是减少的，则f(－1)＝________.
[答案]　1
[解析]　∵＝－1，∴a＝－9.
∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.
4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为________．
[答案]　3或－1
[解析]　由图像知f(3)＝0，
∴m＝3.
由－x2＋2x＋3＝0得x2－2x－3＝0，∴x＝3或－1.
三、解答题
5．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，求实数m的取值范围．
[解析]　y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，作出如下函数图像：
图像的对称轴为x＝1，顶点坐标为(1,2)．
∵函数的最小值为2，
∴1∈[0，m]．
又∵当y＝3时，
解x2－2x＋3＝3，得x＝0或x＝2.
再观察图像得：1≤m≤2.
6．已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋2m＋1的图像上方，试确定实数m的取值范围．
[解析]　(1)由f(0)＝f(2)知二次函数f(x)的图像关于x＝1对称，f(x)的最小值为1，
故可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
因为f(0)＝3，得a＝2，故f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)要使函数不单调，则2a<1(3)由已知，即2x2－4x＋3>2x＋2m＋1，
化简得x2－3x＋1－m>0.
设g(x)＝x2－3x＋1－m，则只要g(x)min>0，
因为x∈[－1,1]时，g(x)是减少的，
所以g(x)min＝g(1)＝－1－m，
因此有－1－m>0，得m<－1.
7．设f(x)＝x2＋ax＋3－a，且f(x)在闭区间[－2,2]上恒取非负数，求a的取值范围．
[解析]　f(x)＝2＋3－a－，f(x)≥0在x∈[－2,2]恒成立的条件是f(x)在x∈[－2,2]上的最小值非负．
(1)当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上是增函数，最小值为f(－2)＝7－3a，由7－3a≥0，得a≤，这与a>4矛盾，此时a不存在．
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，f(x)在[－2,2]上的最小值为f＝3－a－，3－a－≥0 a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.
结合－4≤a≤4，可知此时－4≤a≤2.
(3)当－>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上是减函数，最小值为f(2)＝7＋a，由7＋a≥0，得a≥－7.
∵a<－4，∴－7≤a<－4.
由(1)(2)(3)可知，a的取值范围是[－7,2]．
8．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)和一次函数g(x)＝－bx(b≠0)，其中a，b，c满足a>b>c，a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)．
(1)求证：两函数的图像交于不同的两点；
(2)求证：方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2.
[解析]　(1)若f(x)－g(x)＝0，则ax2＋2bx＋c＝0，
∵Δ＝4b2－4ac＝4(－a－c)2－4ac
＝4[(a－)2＋c2]>0，
故两函数的图像交于不同的两点．
(2)设h(x)＝f(x)－g(x)＝ax2＋2bx＋c，令h(x)＝0可得ax2＋2bx＋c＝0.由(1)可知，Δ>0.
∵a>b>c，a＋b＋c＝0(a，b，c∈R)，∴a>0，c<0，
∴h(2)＝4a＋4b＋c＝4(－b－c)＋4b＋c＝－3c>0，
－＝＝＝1＋<2，
即有，结合二次函数的图像可知，
方程f(x)－g(x)＝0的两个实数根都小于2.
9．某地区上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度．本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间，经测算，若电价调到x元/度，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元/度)成反比例．又当x＝0.65元/度时，y＝0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价为0.3元/度，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？(收益＝用电量×(实际电价－成本价))
.
[解析]　(1)∵y与x－0.4成反比例，
∴设y＝(k≠0)．
将x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝，解得k＝0.2.
∴y＝＝，
即y与x之间的函数关系式为y＝.(x≠)
(2)根据题意，得(1＋)·(x－0.3)
＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0.
解得x1＝0.5，x2＝0.6.
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
∵x的取值范围是0.55～0.75之间，
故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴取x＝0.6.
当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.