2.4.2 二次函数的性质 学案1（含答案）

2.4.2　二次函数的性质
学案
问题导学
一、二次函数的对称性和单调性
活动与探究1
已知函数f(x)＝－2x2－4x＋c.
(1)求该函数图像的对称轴；
(2)若f(－5)＝4，求f(3)的值．
迁移与应用
若函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(－2)＝f(4)．
(1)求f(x)图像的对称轴；
(2)比较f(－1)与f(5)的大小．
1．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：
(1)利用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝－.
(2)若二次函数f(x)对任意x1，x2∈R都有f(x1)＝f(x2)，则对称轴为x＝.
(3)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则对称轴为x＝a(a为常数)．
2．利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小．
(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；
(2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．
二、二次函数在某区间上的最值(值域)
活动与探究2
已知函数f(x)＝－x2＋kx＋k在区间[2,4]上具有单调性，求实数k的取值范围．
迁移与应用
已知二次函数f(x)＝x2＋2(m－2)x＋m－m2，若函数在区间[2，＋∞)上为增加的，求m的取值范围．
(1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之间的关系，进而求解参数的取值范围．
(2)函数在区间(a，b)上单调与函数的单调区间是(a，b)的含义不同，注意区分．前者只能说明(a，b)是相应单调区间的一个子集；而后者说明a，b就是增减区间的分界点，即函数在a，b两侧具有相反的单调性．
活动与探究3
已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)用a表示出函数f(x)在区间[－5,5]上的最值．
迁移与应用
1．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是__________，最小值是__________．
2．设f(x)＝x2－4x－4，x∈[t，t＋1](t∈R)，求函数f(x)的最小值g(t)的解析式．
求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：
(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；
(2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．
三、二次函数的实际应用问题
活动与探究4
某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．
(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；
(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
迁移与应用
某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为__________米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是__________平方米．
解实际应用问题的方法步骤
当堂检测
1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则(　　)．
A．m＝－2
B．m＝2
C．m＝－1
D．m＝1
2．函数y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上是递增的，则(　　)．
A．b≥0
B．b≤0
C．b＞0
D．b＜0
3．函数f(x)＝－2x2＋4x－1在区间[－1,4]上的最大值与最小值分别是(　　)．
A．1，－7
B．1，－17
C．－7，－17
D．－7，－16
4．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为(　　)．
A．10件
B．15件
C．20件
D．30件
5．已知函数y＝f(x)＝3x2＋2x＋1.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；
(2)求函数的最小值；
(3)已知f＝1，不计算函数值，求f(0)；
(4)不直接计算函数值，试比较f与f的大小．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。
答案：
课前预习导学
【预习导引】
上　下　－　　　　　　低　－　　高　－　
预习交流1　(1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a有关)和对称轴(与－有关)．
(2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该闭区间的端点或二次函数的对称轴处取到．
预习交流2　提示：直线x＝a.
课堂合作探究
【问题导学】
活动与探究1　思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由f(－5)＝4求得c的值，确定解析式后再计算f(3)的值，也可直接利用对称性计算．
解：(1)由于f(x)＝－2x2－4x＋c＝－2(x＋1)2＋c＋2.
所以其图像的对称轴为x＝－1.
(2)方法一：由f(－5)＝4可得－2×(－5)2－4×(－5)＋c＝4，
于是c＝34，因此f(x)＝－2x2－4x＋34.
所以f(3)＝－2×32－4×3＋34＝4.
方法二：由于f(x)的图像关于x＝－1对称，
又－5和3关于x＝－1对称，
所以f(－5)＝f(3)，而f(－5)＝4，故f(3)＝4.
迁移与应用　解：(1)由于f(－2)＝f(4)，而－2和4关于x＝1对称，所以f(x)图像的对称轴是x＝1.
(2)函数f(x)＝x2＋bx＋c图像的开口向上，对称轴为x＝1，所以离对称轴越近，函数值越小．
而|－1－1|＝2，|5－1|＝4，
所以f(－1)＜f(5)．
活动与探究2　思路分析：首先求出f(x)的单调区间，要使f(x)在[2,4]上具有单调性，须使区间[2,4]为f(x)单调区间的子集．从而建立不等式求解k的取值范围．
解：f(x)＝－x2＋kx＋k＝－2＋，
f(x)的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线x＝.
要使f(x)在区间[2,4]上具有单调性，
须[2,4] 或[2,4] .
即≥4或≤2，
解得k≥8或k≤4.
迁移与应用　解：由题意知：函数图像开口向上且对称轴x＝－，函数在区间[2，＋∞)上是增加的，故－≤2，解得m≥0.
活动与探究3　思路分析：(1)→→
(2)→→→
解：(1)当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.
因为1∈[－5,5]，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝f(1)＝1；
当x＝－5时，f(x)取得最大值，
且f(x)max＝f(－5)＝(－5－1)2＋1＝37.
(2)函数f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图像开口向上，对称轴为直线x＝－a.
当－a≤－5，即a≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f(x)max＝f(5)＝27＋10a，
f(x)min＝f(－5)＝27－10a.
当－5＜－a≤0，即0≤a＜5时，函数图像如图(1)所示．
由图像可得f(x)min＝f(－a)＝2－a2，
f(x)max＝f(5)＝27＋10a.
当0＜－a＜5，即－5＜a＜0时，函数图像如图(2)所示，由图像可得f(x)max＝f(－5)＝27－10a，
f(x)min＝f(－a)＝2－a2.
当－a≥5，即a≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f(x)min＝f(5)＝27＋10a，f(x)max＝f(－5)＝27－10a.
迁移与应用　1．10　－2　解析：y＝3(x－1)2－2，该函数的图像如图所示．
从图像易知：f(x)max＝f(3)＝10，f(x)min＝f(1)＝－2.
2．解：由f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8，x∈[t，t＋1]，知对称轴为直线x＝2.
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝－8；
当t＋1＜2，即t＜1时，f(x)在[t，t＋1]上是减少的，g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7.
当t＞2时，f(x)在[t，t＋1]上是增加的，
g(t)＝f(t)＝t2－4t－4.
综上，可得g(t)＝
活动与探究4　思路分析：解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价．
解：(1)因为y＝29－25－x，
所以y＝－x＋4(0≤x≤4)．
(2)z＝y＝(8x＋8)(－x＋4)＝－8x2＋24x＋32(0≤x≤4)．
(3)由(2)知，z＝－8x2＋24x＋32＝－8(x－1.5)2＋50(0≤x≤4)，故当x＝1.5时，zmax＝50.
所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元．
迁移与应用　5　75　解析：设长方形的宽为x米，则每个长方形的长为米，其中0＜x＜10.
故所求居室面积S＝x(30－3x)＝3(10x－x2)＝－3(x－5)2＋75(0＜x＜10)，
所以当x＝5时，Smax＝75(平方米)．
即当宽为5米时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为75平方米．
【当堂检测】
1．A　解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像的对称轴为x＝－，且只有一条对称轴，所以－＝1，即m＝－2.
2．A　解析：函数y＝x2＋bx＋c的对称轴是x＝－；要使该函数在x∈[0，＋∞)上递增，须－≤0，所以b≥0.
3．B　解析：由于f(x)＝－2x2＋4x－1＝－2(x－1)2＋1，图像的对称轴为x＝1，开口向下，所以当x＝1时，f(x)取最大值1，当x＝4时，f(x)取最小值－17.
4．B　解析：由二次函数解析式y＝－3x2＋90x＝－3(x－15)2＋675可知，当x＝15时，y取最大值．
5．解：y＝f(x)＝3x2＋2x＋1＝32＋.
(1)顶点坐标为，对称轴是直线x＝－.
(2)当x＝－时，ymin＝.
(3)∵函数图像关于直线x＝－对称，
∴f＝f.
∴f(0)＝f＝f＝f＝1.
(4)∵f＝f＝f＝f，
而函数在上是增加的，＜，
∴f＜f，即f＜f.
或＜.
∴f＜f.