2.4.2 二次函数的性质 学案2（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.4.2 二次函数的性质 学案2（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 117.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-08-15 12:48:06 | ||
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文档简介
2.4.2二次函数的性质
学案
一.
教学内容：
二次函数的综合问题
二.本周教学重难点：
含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。
【典型例题】
[例1]
求函数在上的最大值。
解：函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；（2）；（3）
时的草图。
由图易知：
；即
[例2]
已知函数
（1）设A、B是的两个锐角，且、是方程的两个实根，求证：；
（2）当时，函数的最大值是8，求的值。
证明：
（1）方程即为
依题意，得
（2）∵
∵
而
∴
当时，取得最大值
由题意知
∴
[例3]
已知函数（、，），，当时，恒有，且对于任意实数、，总有
，求函数的解析式。
解：由，得F（0）=0
在中，令，
得
∴
∴
是偶函数
因此
∴
又在上恒有
所以，即，亦即
又
∴
，故
[例4]
已知二次函数满足条件及
（1）求；
（2）求在区间上的最大值和最小值
解：
（1）设，由，可知
∵
故由得，
因而，
所以
（2）
∵
，所以当时，的最小值为
当时，的最大值为
[例5]
某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销售量（万件）与售价（元）的关系如图所示。
（1）写出销售与售价的函数关系式；
（2）当售价定为多少时，月利润最多？
（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？
解：
（1）根据函数图象得
（2）设月利润为W（万元），则
当时，
故时，
当时，，故时，
∴
当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元。
（3）设最早个月后还清转让费，则，
∴
企业乙最早可望20个月后还清转让费。
[例6]
是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数？
解法1：设，则原函数转化为
那么问题就等价于是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数，根据二次函数的性质知，只需，故
解法2：任取，则
由在上是减函数可知，对任意的（
）恒成立
所以有恒成立，即恒成立
∵
∴
因此，当时，（
）恒成立
即当时，函数在上是减函数
仿上可得当时，函数在上是增函数
故存在常数，使函数在上是减函数，且在上是增函数。
[例7]
已知函数，
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围
解：
（1）当时，，先证在区间上为增函数（略）
∴
在区间上的最小值为
（2）解法1：在区间上，恒成立
恒成立，在上递增
∴
当时，
于是当且仅当时，函数恒成立，故
解法2：，，当时，函数的值恒为正
当时，函数递增，故当时，
于是当且仅当时，函数恒成立
故，综上，的取值范围是
[例8]
已知函数（）的图象上有两点A（，）、B（，），且满足，。
（1）求证：
（2）求证：的图象被轴所截得的线段长的取值范围是
证明：
（1）
即
∴
或
∴
或是
即的实根
于是即
∵
∴
将代入上述不等关系，得，即，又
∴
必有，（否则与矛盾）
∴
∴
（2）设两根为、，则一个根为1（∵
），另一根为，∵
且由上知，∴
，∴
，
【模拟试题】
一.
选择题：
1.
设二次函数（），如果（其中），则等于（
）
A.
B.
C.
D.
2.
二次函数的图象的顶点在轴上，且、、为的三边长，则为（
）
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
等腰三角形
3.
已知函数在区间上是增函数，则的范围是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
如图所示，是二次函数的图象，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
无法确定
5.
与（）的图象只可能是（
）
6.
若为偶函数，则在区间（，）上（
）
A.
是增函数
B.
是减函数
C.
增减性随的变化而改变
D.
无单调性
二.
填空：
1.
已知函数，给出下列命题：
①
必为偶函数
②
当时，的图象必关于直线对称
③
若，则在区间上是增函数
④
有最大值
其中正确命题的序号是
。
2.
若，的图象关于直线对称，则
。
3.
函数（）的反函数的定义域是
。
4.
函数，当时是减函数，当时是增函数，则
。
三.
解答题：
1.
已知二次函数的图象与直线有公共点，且不等式的解是，求、、的取值范围。
2.
已知函数在区间[0，2]上有最小值3，求的值。
3.
已知函数
（1）当时，；当时，求、的值及的表达式；
（2）设，取何值时，函数的值恒为负值？
4.
设函数（），，且方程有实根。
（1）证明：，
（2）若是方程的一个实根，判断的正负并加以证明。
5.
已知函数（，、），设关于的方程的两根为、，的两实根为、。
（1）若，求、关系式；
（2）若、均为负整数，且，求解析式；
（3）若，求证：
【试题答案】
一.
1.
D
2.
B
3.
A
4.
B
5.
D
6.
A
二.
1.
③
2.
6
3.
4.
19
三.
1.
解：依题意有解，故，又不等式的解是，∴
且有，，∴
，，∴
，代入得，∴
，故得、、的取值范围为，，
2.
解：
∵
①
当时，即时，函数在上是增函数
∴
，由，得
∵
∴
②
当，即时，
由，得，舍去
③
当，即时，函数在上是减函数，
由，得
∵
∴
综上所述，或
3.
解：
（1）由题意知，，即
两式相减并注意到，解得，∴
，∴
（2）要使
恒小于零
必须
∴
时，恒为负数
4.
证明：
（1）
又，故
方程有实根，即有实根，故
即或
∴
，由知
（2）
∵
∴
（如图）
∴
∴
∴
的符号为正
5.
解：
（1）由条件，（，、）有两实根为、
则，，
∵
∴
∴
∴
（，、）
（2）由（1）得，因、均为负整数
则或或
∴
∴
（3）由已知易得，
由
且，故
学案
一.
教学内容：
二次函数的综合问题
二.本周教学重难点：
含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。
【典型例题】
[例1]
求函数在上的最大值。
解：函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；（2）；（3）
时的草图。
由图易知：
；即
[例2]
已知函数
（1）设A、B是的两个锐角，且、是方程的两个实根，求证：；
（2）当时，函数的最大值是8，求的值。
证明：
（1）方程即为
依题意，得
（2）∵
∵
而
∴
当时，取得最大值
由题意知
∴
[例3]
已知函数（、，），，当时，恒有，且对于任意实数、，总有
，求函数的解析式。
解：由，得F（0）=0
在中，令，
得
∴
∴
是偶函数
因此
∴
又在上恒有
所以，即，亦即
又
∴
，故
[例4]
已知二次函数满足条件及
（1）求；
（2）求在区间上的最大值和最小值
解：
（1）设，由，可知
∵
故由得，
因而，
所以
（2）
∵
，所以当时，的最小值为
当时，的最大值为
[例5]
某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销售量（万件）与售价（元）的关系如图所示。
（1）写出销售与售价的函数关系式；
（2）当售价定为多少时，月利润最多？
（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？
解：
（1）根据函数图象得
（2）设月利润为W（万元），则
当时，
故时，
当时，，故时，
∴
当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元。
（3）设最早个月后还清转让费，则，
∴
企业乙最早可望20个月后还清转让费。
[例6]
是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数？
解法1：设，则原函数转化为
那么问题就等价于是否存在常数，使函数在上是减函数且在上是增函数，根据二次函数的性质知，只需，故
解法2：任取，则
由在上是减函数可知，对任意的（
）恒成立
所以有恒成立，即恒成立
∵
∴
因此，当时，（
）恒成立
即当时，函数在上是减函数
仿上可得当时，函数在上是增函数
故存在常数，使函数在上是减函数，且在上是增函数。
[例7]
已知函数，
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，试求实数的取值范围
解：
（1）当时，，先证在区间上为增函数（略）
∴
在区间上的最小值为
（2）解法1：在区间上，恒成立
恒成立，在上递增
∴
当时，
于是当且仅当时，函数恒成立，故
解法2：，，当时，函数的值恒为正
当时，函数递增，故当时，
于是当且仅当时，函数恒成立
故，综上，的取值范围是
[例8]
已知函数（）的图象上有两点A（，）、B（，），且满足，。
（1）求证：
（2）求证：的图象被轴所截得的线段长的取值范围是
证明：
（1）
即
∴
或
∴
或是
即的实根
于是即
∵
∴
将代入上述不等关系，得，即，又
∴
必有，（否则与矛盾）
∴
∴
（2）设两根为、，则一个根为1（∵
），另一根为，∵
且由上知，∴
，∴
，
【模拟试题】
一.
选择题：
1.
设二次函数（），如果（其中），则等于（
）
A.
B.
C.
D.
2.
二次函数的图象的顶点在轴上，且、、为的三边长，则为（
）
A.
锐角三角形
B.
直角三角形
C.
钝角三角形
D.
等腰三角形
3.
已知函数在区间上是增函数，则的范围是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
如图所示，是二次函数的图象，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
无法确定
5.
与（）的图象只可能是（
）
6.
若为偶函数，则在区间（，）上（
）
A.
是增函数
B.
是减函数
C.
增减性随的变化而改变
D.
无单调性
二.
填空：
1.
已知函数，给出下列命题：
①
必为偶函数
②
当时，的图象必关于直线对称
③
若，则在区间上是增函数
④
有最大值
其中正确命题的序号是
。
2.
若，的图象关于直线对称，则
。
3.
函数（）的反函数的定义域是
。
4.
函数，当时是减函数，当时是增函数，则
。
三.
解答题：
1.
已知二次函数的图象与直线有公共点，且不等式的解是，求、、的取值范围。
2.
已知函数在区间[0，2]上有最小值3，求的值。
3.
已知函数
（1）当时，；当时，求、的值及的表达式；
（2）设，取何值时，函数的值恒为负值？
4.
设函数（），，且方程有实根。
（1）证明：，
（2）若是方程的一个实根，判断的正负并加以证明。
5.
已知函数（，、），设关于的方程的两根为、，的两实根为、。
（1）若，求、关系式；
（2）若、均为负整数，且，求解析式；
（3）若，求证：
【试题答案】
一.
1.
D
2.
B
3.
A
4.
B
5.
D
6.
A
二.
1.
③
2.
6
3.
4.
19
三.
1.
解：依题意有解，故，又不等式的解是，∴
且有，，∴
，，∴
，代入得，∴
，故得、、的取值范围为，，
2.
解：
∵
①
当时，即时，函数在上是增函数
∴
，由，得
∵
∴
②
当，即时，
由，得，舍去
③
当，即时，函数在上是减函数，
由，得
∵
∴
综上所述，或
3.
解：
（1）由题意知，，即
两式相减并注意到，解得，∴
，∴
（2）要使
恒小于零
必须
∴
时，恒为负数
4.
证明：
（1）
又，故
方程有实根，即有实根，故
即或
∴
，由知
（2）
∵
∴
（如图）
∴
∴
∴
的符号为正
5.
解：
（1）由条件，（，、）有两实根为、
则，，
∵
∴
∴
∴
（，、）
（2）由（1）得，因、均为负整数
则或或
∴
∴
（3）由已知易得，
由
且，故