2.4.2 二次函数的性质 学案3（含答案）

2.4.2
二次函数的性质
学案
1．理解二次函数的性质．
2．会判断二次函数的单调性．
3．掌握二次函数最值的求法．
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质
(1)定义域：R.
(2)图像：当a＞0时，图像开口向________，顶点坐标为，对称轴为__________；当a＜0时，图像开口向________，顶点坐标为，对称轴为x＝______.
(3)值域：当a＞0时，值域为____________；当a＜0时，值域为____________．
(4)单调性：当a＞0时，减区间是________，增区间是；当a＜0时，减区间是____________，增区间是.
(5)最值：当a＞0时，有最小值____________，没有最大值；当a＜0时，有最大值________，没有最小值．
(6)f(0)＝________________.
【做一做1－1】
抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是(
)．
A．(2，－2)
B．(1，－2)
C．(1，－3)
D．(－1，－3)
【做一做1－2】
函数y＝x2－x＋1的值域是(
)．
A．R
B．[1，＋∞)
C.
D.
【做一做1－3】
求函数y＝5x2－4x－1的图像与x轴的交点坐标和对称轴，并判断它在哪个区间上是增加的，在哪个区间上是减少的．
答案：(2)上　x＝　下　
(3)　
(4)　
(5)　
　(6)c
【做一做1－1】
D　y＝x2＋2x－2＝(x＋1)2－3，故顶点坐标为(－1，－3)．故选D.
【做一做1－2】
C　y＝x2－x＋1＝，故值域为.
【做一做1－3】
解：令y＝0，即5x2－4x－1＝0，
解得x1＝，x2＝1.
故函数图像与x轴的交点坐标为，(1,0)．
因为y＝5x2－4x－1＝，
所以，函数图像的对称轴是直线x＝，函数在区间上是减少的，在区间上是增加的．
如何求二次函数在闭区间上的最值？
剖析：对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论．
对称轴x＝h与[m，n]的位置关系
最大值
最小值
h＜m
f(n)
f(m)
h＞n
f(m)
f(n)
m≤h≤n
m≤h＜
f(n)
f(h)
h＝
f(m)或f(n)
f(h)
＜h≤n
f(m)
f(h)
题型一
二次函数的单调性
【例1】
函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增加的，求f(1)的取值范围．
分析：f(1)＝9－m，求f(1)的取值范围就是求一次函数y＝9－m的值域，利用已知条件先求其定义域．
反思：利用二次函数的单调区间与对称轴的关系，求m的范围是解此题的关键．不要认为f(x)的增区间是[－2，＋∞)，实际上它只是增区间的子区间．
题型二
二次函数图像的对称性
【例2】
已知函数f(x)＝x2－3x－.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴；
(2)已知f＝－，不计算函数值，求f；
(3)不直接计算函数值，试比较f
与f
的大小．
分析：解答本题可先将f(x)配方，进而确定顶点坐标及对称轴，然后根据f(x)图像的对称性求f
的值及比较f
与f
的大小．
反思：(1)已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h.
(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．
题型三
二次函数的最值问题
【例3】
求函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值和最小值，并写出单调区间．
分析：画出图像来分析．
反思：讨论二次函数的性质时，常借助于图像来解决，特别是最值问题，利用图像可以简洁地求出，否则易出现错误．本题中易错认为最小值是f(3)，其原因是没有结合图像分析．
【例4】
求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．
分析：因为f(x)＝(x－a)2－a2－1，其图像的对称轴为直线x＝a，由对称轴相对于区间[0,2]的可能位置分别求其最值．
反思：求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值，要根据其图像的对称轴相对于所给区间的位置来确定．一般地，当a＞0，即抛物线开口向上时，在距对称轴较远的区间的端点处取得最大值；在抛物线的顶点处(当对称轴在所属区间内)或在距对称轴较近(当对称轴在所给区间外侧时)的区间的端点处取得最小值．当a＜0，即抛物线开口向下时，可相应地得出结论．
【例5】
设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]的最小值为g(t)，求g(t)的解析式．
分析：本题按抛物线对称轴x＝1在区间[t，t＋1]之内和之外分类讨论．
反思：二次函数求最值问题，首先要采用配方法，化为y＝a(x－m)2＋n的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，可分为三个类型：
(1)顶点固定，区间也固定；
(2)顶点变动，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；
(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．
题型四
二次函数的实际应用
【例6】
渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；
(2)求鱼群的年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件．
反思：二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题．
答案：【例1】
解：∵二次函数f(x)＝4x2－mx－5在区间[－2，＋∞)上是增加的，且对称轴是x＝，
∴≤－2，即m≤－16.
∴f(1)＝4－m＋5＝－m＋9≥25，∴f(1)≥25.
【例2】
解：(1)∵f(x)＝x2－3x－＝(x－3)2－，
∴函数的顶点坐标为，对称轴为x＝3.
(2)∵f＝－，
又＝，＝，
结合二次函数图像的对称性，
∴有f＝f＝－.
(3)由f(x)＝(x－3)2－可知，
f(x)在(－∞，3]上是减少的，
又－＜－＜3，∴f＞f.
【例3】
解：画出函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的图像，如图所示．
观察图像，得函数f(x)＝x2－2x在区间[－2,1]上是减少的，则此时最大值是f(－2)＝8，最小值是f(1)＝－1；函数f(x)＝x2－2x在区间[1,3]上是增加的，则此时最大值是f(3)＝3，最小值是f(1)＝－1.
则函数f(x)＝x2－2x，x∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1.
增区间是[1,3]，减区间是[－2,1]．
【例4】
解：f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，
∴f(x)的图像是开口向上，对称轴为直线x＝a的抛物线，如图所示．
当a＜0时(如图(1))，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；
当0≤a≤1时(如图(2))，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；
当1＜a＜2时(如图(3))，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；
当a≥2时(如图(4))，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(2)＝3－4a.
【例5】
解：∵f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
当t＋1＜1，即t＜0时，函数在[t，t＋1]上是减少的，
∴g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1；
当t＋1≥1且t＜1，即0≤t＜1时，g(t)＝f(1)＝1；
当t≥1时，函数在[t，t＋1]上是增加的，
g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
∴g(t)＝
【例6】
解：(1)由题意，知空闲率为，
∴y＝kx(0＜x＜m)．
(2)y＝－x2＋kx＝－2＋，
∵－＜0且0＜x＜m，
∴当x＝时，ymax＝.
(3)∵当x＝时，ymax＝，又实际养殖量不能达到最大养殖量，
∴此时，需要＋＜m，解得k＜2.
又∵k＞0，∴0＜k＜2.
1
函数y＝x2＋4的最大值和最小值情况是(
)．
A．有最小值0，无最大值
B．有最大值4，无最小值
C．有最小值4，无最大值
D．有最大值4，有最小值0
2
函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上是增加的(
)．
A．R
B．[2，＋∞)
C.
D.
3
函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是减少的，则a的取值范围是(
)．
A．[－3,0]
B．(－∞，－3]
C．[－3,0)
D．[－2,0]
4
抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝__________.
5
将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？
答案：1．C　2.D　函数y＝－2x2＋x＝的图像的对称轴是直线，图像的开口向下，所以函数在对称轴的左边是增加的．
3．A　(1)当a＝0时，显然正确．
(2)当a≠0时，f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在(－2，＋∞)上是减少的，应满足解得－3≤a＜0.
由(1)(2)可知，a的取值范围是[－3,0]．
4．9或25　∵抛物线的顶点在x轴上，
∴＝0，即b2－4ac＝0.
∴(m－1)2－4×8(m－7)＝0.
解得m＝9或m＝25.
5．分析：设售价及利润，建立利润与售价的函数关系式．
解：设售价为x元时，利润为y元，单个涨价为(x－50)元，销量减少10(x－50)个，50≤x＜100.
∴y＝(x－40)[500－10(x－50)]
＝－10(x－70)2＋9
000.
当x＝70时，ymax＝9
000，
即售价为70元时，利润最大为9
000元．