2.1 有理数的加法与减法 课件（共64张ppt）2025-2026学年数学青岛版（2024）七年级上册

2.1 有理数的加法与减法
2.1 课时1 有理数的加法
1.了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性.（几何直观）
2.能运用法则准确进行有理数的加法运算.(运算能力）
3.经历探索有理数加法法则的过程，理解并掌握有理数加法的法则.（几何直观）
学习目标
观察与发现:
观察章引言中小莹的收支情况记录表.
这两周投放可回收物的总收入如何用算式表示？这两周购买文具的总支出如何用算式表示？每周的结余呢？
这两周投放可回收物的总收入：（+5）+（+3）
这两周购买文具的总支出：（-2）+（-6）
每周的结余：(+5)+(-2)和（+3）+（-6）
活动探究
我们知道 （+5）+（+3）=+8 ①
这个运算可以用数轴表示，如图：
1
2
3
4
6
5
-4
-3
-2
0
-1
-6
-5
8
7
5
3
由此类比，计算两周购买文具的与每周的结余时，列出的算式分别是两个负数相加，正数和负数相加.如何计算呢？
（-2）+（-6）=？
(+5)+(-2)=？ （+3）+（-6）=？
数形结合
观察与发现:
思考与交流:
1、如何计算（-2）+（-6）呢？
数形结合
-2表示第一周支出2元，-6表示第二周支出6元，两周共支出8元.所以（-2）+（-6）的结果为-8.
用算式表示为：（-2）+（-6）= - 8. ②
这个运算可以用数轴表示，如图：
-2
-1
0
1
3
2
-7
-6
-5
-3
-4
-9
-8
5
4
2
6
思考与交流:
2、如何计算(+5)+(-2)和（+3）+（-6）呢？
+5表示第一周收入5元，-2表示第一周支出2元，这周结余3元.
+3表示第二周收入3元，-6表示第二周支出6元，这周结余-3元.
用算式表示为：(+5)+(-2)= +3 ③
（+3）+（-6）= - 3. ④
对于这两个算式，你能用数轴表示吗？
-2
-1
0
1
3
2
-7
-6
-5
-3
-4
-9
-8
5
4
3、如果小莹第三周的收入和支出均为6元，那么这周的结余是多少？用算式表示.
这周结余为0元.
用算式表示为：（+6）+（-6）= 0. ⑤
思考与交流:
4、如果小莹第三周的收入8元，支出0元，那么这周的结余是多少？用算式表示.
这周结余为8元.
用算式表示为：（+8）+0= +8. ⑥
如果小莹第三周的支出8元，收入0元，那么这周的结余是多少？用算式表示.
这周结余为 - 8元.
用算式表示为：（-8）+0= - 8. ⑦
思考与交流:
5、根据算式①~ ⑦，归纳有理数的加法法则.
（+5）+（+3）=+8 ①
（-2）+（-6）= - 8. ②
( +5 )+( -2 )= +3 ③
（+3）+（-6）= - 3. ④
（+6）+（-6）= 0. ⑤
（+8）+0= +8. ⑥
（-8）+0= - 8. ⑦
同号
异号 绝对值不等
互为相反数
和0相加
思考与交流:
概括与表达:
有理数加法法则
① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0.
③一个数与0相加，仍得这个数.
例1、计算
（1）（-5）+（-9）； （2）（+11）+（-12.1）；
（3）（-2.4）+（+2.4）； （4）（-3.8）+0 .
解:（1）（-5）+（-9）
同号两数相加
取相同符号
把绝对值相加
= -（5+9）
= - 14
典例精析
例1、计算
（1）（-5）+（-9）； （2）（+11）+（-12.1）；
（3）（-2.4）+（+2.4）； （4）（-3.8）+0 .
解：（2）（+11）+（-12.1）
异号两数相加
取绝对值较大加数的符号
用较大的绝对值减较小的绝对值
= -（12.1-11）
= -1.1
例1、计算
（1）（-5）+（-9）； （2）（+11）+（-12.1）；
（3）（-2.4）+（+2.4）； （4）（-3.8）+0 .
解:（3）（-2.4）+（+2.4）
= 0
（4）（-3.8）+0 .
= -3.8
互为相反数的两个数相加得0.
一个数与0相加，仍得这个数
1、说出下列各式的和的符号
（1）（+7）+（+3）； （2）（- 1 2）+（+13）；
（3）（-12）+（-4）； （4）（+12）+（-5）.
?
-
+
-
+
当堂检测
2.计算：
(1) (－25)＋(－35)； (2) (－12)＋(＋3)；
(3) (＋8)＋(－7)； (4) 0＋(－7).
解:(1) (－25)＋(－35)＝－(25＋35)＝－60.
(2) (－12)＋(＋3)＝－(12－3)＝－9.
(3) (＋8)＋(－7)＝＋(8－7)＝1.
(4) 0＋(－7)＝－7.
学了本节课你有什么收获？
有理数加法法则
① 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0.
③一个数与0相加，仍得这个数.
课堂总结
2.1 课时2
有理数的加法运算律
1.理解加法运算律在有理数范围内推广的合理性；
2.能用加法运算律简化计算，发展运算能力.
学习目标
(1)同号两数相加，（ ）
(2)绝对值不相等的异号两数相加，（
)
(3)互为相反数的两个数相加得（ ）
(4)一个数与0相加，仍得（ ）
取相同的符号，并把绝对值相加
取绝对值较大的加数的符号，并用较大的
绝对值减去较小的绝对值
0
这个数
1、有理数加法法则:
2、在小学学习的加法交换律和加法结合律是什么？
新课导入
在小学阶段，我们学过加法交换律和加法结合律，它们在有理数范围内还成立吗？
活动1.（1)比较每组中两个加数的位置及运算结果，能得到什么结论？
① (－1)＋(－2)＝_________， (－2)＋(－1)＝_________；
② (－3)＋(＋6.5)＝_______ ， (＋6.5)＋(－3)＝_________；
新知：有理数的加法交换律和加法结合律
再任取两个数相加，并交换加数的位置，还能得到相同的结论吗？
－3
－3
3.5
3.5
活动探究
活动2.（1）任取3个有理数a,b,c，如a=-2，b=5,c=-8,分别计算（a+b)+c与a+(b+c)
（2）再任取三个有理数a、b、c，分别计算（a+b)+c与 a+(b+c),还能得到相同的结论吗？
通过探究你能用简洁的语言描述活动1、活动2得到的结论吗？
新知：有理数的加法交换律和加法结合律
有理数加法运算律
在有理数范围内，加法交换律和加法结合律仍然成立.
加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变. 即a＋b=b＋a.
加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. 即(a＋b)＋c=a＋(b＋c).
活动探究
三个以上有理数相加，既可以根据需要交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加.
1．下列变形中，运用运算律正确的是 ( )
A．2+?1=1+2
B．3+?2+5=?2+5?3
C．6+?3+5=6+?5+3
D．13+?2++23=13+23+?2
?
D
练一练
2．运用加法的运算律计算：(＋613)＋(－18)＋(＋423)＋(－6.8)＋18＋ (－3.2)最适当的是 ( )
A．[(＋613)＋(＋423)＋18]＋[(－18)＋(－6.8)＋(－3.2)]
B．[(＋613)＋(－6.8)＋(＋423)]＋[(－18)＋18＋(－3.2)]
C．[(＋613)＋(－18)]＋[(＋423)＋(－6.8)]＋[18＋(－3.2)]
D．[(＋613)＋(＋423)]＋[(－18)＋18]＋[(－3.2)＋(－6.8)]
?
D
例1 计算：
（1）(＋23)＋(－12)＋(＋7)；
解：（1）(＋23)＋(－12)＋(＋7)
＝(＋23)＋(＋7)＋(－12)
＝[(＋23)＋(＋7)]＋(－12)
＝(＋30)＋(－12)
＝18
(加法交换律)
(加法结合律)
(有理数加法法则)
(有理数加法法则)
在使用加法交换律交换加数的位置时，要连同加数的符号一起交换.
典例精析
（2）(－13)＋(－52)＋(－23)＋(＋12).
?
解：（2）(－13)＋(－52)＋(－23)＋(＋12)
＝(－13)＋(－23)＋(－52)＋(＋12)
＝[(－13)＋(－23)]＋[(－52)＋(＋12)]
＝(－1)＋(－2)
＝－3
?
(加法交换律)
(加法结合律)
(有理数加法法则)
(有理数加法法则)
例1 计算：
例2 在一次机器人测试中，机器人要从起点开始连续移动6次，移动要求依次为：前进0.6m，前进2.2m，后退1.6m，后退2.4m，前进2.8m，后退1.8m.机器人经过6次移动后，从起点前进(或后退)了多少米？
(＋0. 6)＋(＋2.2)＋(－1. 6)＋(－2. 4)＋(＋2.8)＋(－1. 8)
＝[(＋0. 6)＋(－1. 6)]＋[(＋2. 2)＋(＋2.8)]＋[(－2. 4)＋(－1.8)]
＝(－1)＋(＋5)＋(－4. 2)
＝－0.2
解：规定前进为正，后退为负. 由题意，得
所以，经过6次移动后，机器人从起点后退了0.2m.
我们在哪些情况下考虑使用加法运算律呢？
1.互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
2.符号相同的数先相加——“同号结合法”；
3.分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
4.几个数相加得到整数的数先相加——“凑整结合法”；
5.整数与整数，小数与小数相加——“同形结合法”；
6.带分数可拆成整数和真分数两部分来相加——“拆项结合法”.
有理数加法运算律的应用技巧：
1.计算：
（1）?20.75?+29+?414+1979?? （2） 314+?235+534+(?825)
?
解：(1)原式= [?20.75?+?414]+(?29+1979?)?
?
= ?25+20
= ?5
?
(2)原式= 314+534+[?235+?825]
?
= 9+(?11)
= ?2
?
当堂检测
2.计算：
解：原式
解：原式
3. 10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
2， -4， 2.5， 3， -0.5, 1.5, 3， -1, 0， -2.5.
问这10筐苹果总共重多少千克？
=8+(-4)
解:根据题意得：
2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5)
=(2+3+3)+(-4)+[2.5+(-2.5)]+[(-0.5)+(-1)+1.5]
=4
30×10+4=304（千克）
答：这10筐苹果总重量为304千克.
1、有理数加法交换律和加法结合律；
2、有理数加法运算律的应用技巧.
课堂总结
2.1 课时3 有理数的减法
1.会将有理数的减法运算转化为加法运算，感悟转化思想；
2.掌握有理数的减法法则，能熟练进行有理数的减法运算.
学习目标
1、有理数的加法法则
2、在小学学习减法运算时，不能用较小的数减去较大的数.引入负数后呢？
新课导入
甲地某天最低气温是 7 ℃.当天发布大风降温预报,第二天气温将下降10 ℃.第二天的最低气温是多少?
第二天的最低气温可以 用以下算式表示: 7-10
如何计算7-10呢?
活动探究
减法是加法的逆运算,
计算7-10,就是求一个数使它与10相加得7.
因为 ( -3) +10=7,
所以 另一方面, 7-10=-3. ①
7+( -10) =-3 ②
(1)比较①和②,有什么发现?
7-10=-3 ①
7+(-10)=-3 ②
7 －10 ＝ 7 ＋（-10）
有何变化？
有何关系？
减号变加号
变为相反数
(2)算一算下列各式，能得到什么结论？
6－(－3)＝_______；
6＋3＝________；
(－2)－5＝_______；
(－2)＋(－5)＝________；
9
－7
－7
(－12.5)－(－3)＝_______；
(－12.5)＋3＝________；
0－43＝_______；
?
0＋(－43)＝________.
?
－9.5
－9.5
?43
?
?43
?
9
你能归纳出有理数的减法法则吗？
有理数的减法法则
减去一个数，等于加这个数的相反数.
a－b＝a＋(－b)
注意：
（1）- +
（2）减数 相反数
在有理数范围内,不仅可以用较大的数减去较小的数,也可以用两个相等的数相减,还可以用较小的数减去较大的数.
(3)(-7)-6=(-7)+( )
下列括号内各应填什么数?
(1)(+2)-(-7)=(+2)+( )
(2)0-(-9)=0+( )
(4)(-1)-(-33)=(-1)+( )
(5)6-28=6+( )
+7
+9
-6
+33
-28
练一练
例：计算.
(1)12-17
(2)(-3.2)-(-5.8)
(4)0-（-37.5）
计算指导：要进行减法运算，根据减法法则，先把减法变为_______,再根据____________进行运算.
加法
加法法则
典例精析
（3）(?32)－(+14)
?
解：(1)(12)-17
=12+（-17）
=-5
(2)-3.2-(-5.8)
=-3.2+5.8
=2.6
(4)0-（-37.5）
=0+37.5
=37.5
在小学，只有当a大于或等于b时，我们才会做a－b.
现在，当a小于b时，你会做a－b吗?
一般地，较小的数减去较大的数，所得的差的符号是什么？
（3）(?32)－(＋14)
＝(?32)＋(?14)
＝?74.
?
1.根据有理数减法法则，将相同结果的算式连线.
(-3)-(-4)
3-(-4)
3-4
(-3)-4
(-3)＋(-4)
3＋(-4)
(-3)＋4
3＋4
当堂检测
2.选择题.
(1)较小的数减去较大的数，所得的数一定是（ ）
A.0 B.正数 C.负数 D.0或负数
(2)下列说法正确的是（ ）
A.减去一个负数，差一定大于被减数
B.减去一个正数，差不一定小于被减数
C.0减去任何数，差都是负数
D.两个数之差一定小于被减数
C
A
3.计算：
(1) (-8)-8 =_______； 　 (2)(-8)-(-8) =_______；
(3)8-(-8) =_______； (4)8-8 =_______；
(5)0-6 =_______； (6)0-(-6) =_______；
(7)16-47 =_______； (8)28-(-74) =_______；
(9)(-3.8)-(+7) =_______； (10)(-5.9)-(-6.1) =_______.
-16
16
-6
0
0
6
- 31
102
-10.8
0.2
1.有理数的减法法则
减去一个数，等于加这个数的相反数.
即 a - b = a +（-b）
2.有理数的减法法则是一个转化法则，减号转化为加号，同时要注意减数变为它的相反数，这样就可以用加法来解决减法问题.
课堂总结
2.1 课时4
有理数的加减混合运算
1、理解加减法混合运算统一为加法运算的意义，学会把加减法统一成加法．
2、会正确熟练地进行有理数加减混合运算，发展学生的运算能力．
3、提高学生的学习积极性与学习数学的兴趣，以及学好数学的信心．
学习目标
(1)同号两数相加，（ ）
(2)绝对值不相等的异号两数相加，（
)
(3)互为相反数的两个数相加得（ ）
(4)一个数与0相加，仍得（ ）
取相同的符号，并把绝对值相加
取绝对值较大的加数的符号，并用较大的
绝对值减去较小的绝对值
0
这个数
1、有理数加法法则:
2、有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数
新课导入
思考与交流：
1、如何把有理数的加减法统一成进行有理数的加法运算 ？
2、如何计算(+12)-(-7)+(-5)-(+30) ?
温馨提示：
按照有理数减法法则，可以把减法运算转化成加法运算，这样就可以把有理数的加减混合运算统一成加法运算.
活动探究
解：(+12)-(-7)+(-5)-(+30)
=(＋12)＋(+7)＋(-5)+(-30)
（ 有理数减法法则 )
=(＋19)＋(-35)
（ 加法结合律)
=-16
（ 有理数加法法则 )
3、在上面计算过程的第一步，将原算式转换成了求有理数和的算式，这个求和的算式中各个加数分别是哪些数？
思考与交流：
算式(＋12)＋(+7)＋(-5)+(-30)是+12，+7，-5，-30的和.
为了书写简便，通常把括号及括号前的加号省略不写，变成下面的形式：
12+7-5-30
这个式子读作 “正12、正7、负5、负30的和”.
也可读作 “12加7减5减30”.
思考与交流：
算式(＋12)＋(+7)＋(-5)+(-30)是+12，+7，-5，-30的和.
概括与表达：
有理数的加减混合运算的一般步骤是先将有理数加减混合运算统一成加法运算，省略括号和括号前的加号后，再按照有理数的加法运算律和加法法则进行运算.
(+7)?(+8)+(?3)?(?6)+2
?
计算
解：原式=(+7)+(?8)+(?3)+(+6)+2
?
=+7?8?3+6+2
?
=15?11
?
=4
=（+7+6+2）+（?8?3）
?
统一成加法运算
省略括号和加号
利用加法交换律
和结合律简便计算
练一练
自己尝试完成（2）
还可以读作: 负4.2加上5.7减去8.4加上10.
例5 计算：
（1）－4.2－(－5.7)＋(－8.4)－(－10)；
解：(1) －4.2－(－5.7)＋(－8.4)－(－10)
＝－4.2＋5.7－8.4＋10
＝5.7＋10－4.2－8.4
＝15.7－12.6
＝3.1
（2） 23?38+13?218
?
典例精析
（2） 23?38+13?218
?
解： 23?38+13?218
＝23+13?38?218
＝1－3
＝－2
?
1.（1）不改变原式的值，将6 ?（+3)?(?7)+（?2）中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（ ）
A.?6?3＋7?2 B. 6?3?7?2
C. 6?3＋7?2 D. 6＋3?7?2
?
C
B
（2） ?17?8?16＋7的不正确读法是（ ）
A.负17、负8、负16、正7的和 B.减17减8减16加7
C.负17减8减16加7 D.负17加上负8加上负16加上7
?
当堂检测
2.计算：（1）23+(?27)+6+(?22)
?
＝(23+6)+[(?27)+(?22)]
?
＝29?49
?
＝?20
?
＝(3+1+2)+[(?2)+(?3)+(?4)]
?
＝6?9
?
＝?3
?
（2）(?2)+3+1+(?3)+2+(?4)
?
3.一天上午，一辆警车从M车站出发在一条笔直的公路上来回巡逻，行驶的路程情况如下(向M车站右侧方向行驶为正，单位：km)：
?7，+4，+8，?3，+10，?3，?6，?12，+9，?3.
(1)这辆警车在完成上述来回巡逻后在M车站的哪一侧，距M车站多少千米？
(2)如果这辆警车每行驶100 km的耗油量为11 L，这天上午共消耗汽油多少升？
?
解： (1)因为?7＋4＋8?3＋10?3?6?12＋9?3＝?3(km)，所以警车最后位于M车站左侧，距M车站3 km.
(2)总路程为65 km(即各数绝对值的和)，共耗油为11× ＝7.15(L)．
?
1、有理数加减混合运算要统一成加法运算，省略括号及加号后，再按照有理数的加法运算律和加法法则进行运算；
2、有理数加法运算律的应用技巧.
课堂总结