人教版高二数学（上）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教版高二数学（上）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 356.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-09 20:26:14 | ||
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文档简介
人教版高二数学（上）选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算【教学设计】
单元课题 空间向量与立体几何
本单元在高考的地位和作用分析 这个单元是高中数学的重要组成部分，也是高考数学的必考考点，其地位至关重要，作用十分突出。一. 地位分析：高考中的“战略要地”1. 分值占比稳定且较高在全国卷及多数省份的高考中，立体几何解答题必有一道分值15分. 此外，在选择题或填空题中，通常还会有1-2道题涉及立体几何的证明、计算等，分值5-10分. 因此，该单元在整张试卷中的总分值通常维持在20-25分之间，是毫无疑问的重点板块.2. 承上启下的枢纽地位承上：它深度融合了平面几何的逻辑推理思想.启下：它是学习高等数学（如空间解析几何、向量分析、线性代数）的重要基础.高考中的考查是为大学选拔具备空间想象能力和代数工具应用能力的人才.3. “传统法”与“向量法”的双轨制该单元最大的特点是提供了两种解题思路：综合几何法（传统法）：依赖空间想象、逻辑推理和几何定理（如线面平行的判定、三垂线定理等）.这是培养直观想象素养的核心.空间向量法（坐标法）：通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为代数运算（向量坐标的运算）.这是培养数学运算素养的工具. 在高考中，尤其是解答题，通常会明确要求“用向量法求解”或“用传统几何法证明”，或者同时给出两种方法的空间.这要求考生必须两种方法都要掌握，并能灵活选择。二.作用分析：多维能力的“试金石”高考不仅是知识的考查，更是核心素养的考查.该单元在此方面扮演着不可替代的角色.1. 对核心素养的考查直观想象：这是本单元最核心的素养.要求学生能够从图形或模型中抽象出几何要素的位置关系，构建空间模型.这是选择综合法解题的基础.数学运算：向量法将复杂的空间位置关系（平行、垂直、角度、距离）转化为纯粹的向量坐标运算（如点乘、叉乘）.这极大地考查了学生准确、熟练的代数运算能力.逻辑推理：无论是用综合法进行步步有据的证明，还是用向量法时逻辑严谨地建系、设点、推导，都深刻考查了学生的逻辑推理能力.2. 对关键能力的区分“基础题”与“压轴题”的分水岭：立体几何解答题的前两问（如证明线线垂直、线面平行）通常属于基础题和送分题，大多数学生通过系统训练都能掌握.而最后一问（通常是求二面角、线面角或点到面的距离）往往计算复杂，成为中等生和尖子生的分水岭.这里综合考查了学生的建系技巧、运算能力和心理素质.一个点的坐标设错，可能导致全盘皆输.3. 提供多种解题路径，考查思维灵活性如前所述，存在“传统法”和“向量法”两种路径.善于空间想象的学生可能用传统法更快；善于计算的学生可能用向量法更稳.甚至在向量法中，如何建立坐标系（以哪个点为原点，坐标轴如何选择）也有多种选择，最优的建系方式可以大大简化计算.这充分考查了学生的思维灵活性和策略选择能力.
单元课时计划 14
课程标准要求 空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量;② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
单元知识结构（思维导图）
单元教学重难点分析 总体难点本单元最大的难点在于空间想象能力与严密代数运算能力的双重挑战。学生不仅要在脑中构建几何模型，还要将其精准地转化为坐标和向量，并进行一系列有时相当复杂的计算.分项重难点分析一.概念与基础部分重点：1. 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘）及其几何意义.2. 共线向量与共面向量定理及其应用.3. 空间向量基本定理：理解空间中任意向量都可以由三个不共面的基向量唯一表示.这是建立空间直角坐标系的理论基础.4. 数量积（点乘）的定义、公式和几何意义.难点：1.共面向量定理的应用：证明四个点（或三个向量）共面.学生容易与平面几何中的共线问题混淆.2.数量积几何意义的理解.二. 核心应用部分（高考主战场）这部分是绝对的重点和难点，主要集中在解答题.1. 建立空间直角坐标系重点：这是向量法的第一步，也是最关键的一步.坐标系建得好，后续计算事半功倍.难点：如何寻找或构造“三垂直”：理想情况下，坐标系的三条轴应尽可能落在几何体的垂直线段上。在规则几何体（柱、锥、台）中找现成的“三垂直”关系. 处理不规则图形：当几何体没有明显的垂直关系时，需要通过添加辅助线来构造垂直关系，这对空间想象能力要求很高. 点的坐标表示：这是最常出错的地方。特别是当点的位置不确定（如动点、棱中点）时，如何正确、简洁地表示其坐标.2. 法向量的求解重点：法向量是求解角度和距离的核心工具.求线面角、二面角、点到面的距离都离不开它。难点：计算过程繁琐易错：法向量求解这个过程计算量大，容易出错. 法向量的方向不唯一：只要方向正确，法向量可以无限缩放，这有时会让学生感到困惑.但要注意，求二面角时，两个法向量的方向关系会影响最终结果的符号判断.角度问题重点与难点线线角，线面角，二面角，这是高考立体几何大题的最高频考点和最大难点.4. 距离问题重点与难点点到平面的距离公式及公式的推导和理解.
单元拓展知识 法向量的快速求法
单元备课使用资料计划 人教A版课本必修一；高中同步测控《优化设计》
备注
课题 1.1.1空间向量及其线性运算
课型 新授课 课时 2
学习目标 ㈠知识目标：⒈空间向量的概念；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．
学习重点 空间向量的加减与数乘运算及运算律．
学习难点 空间向量加减法和数乘运算律的灵活应用．
学情分析 （1）空间向量是平面向量的推广，在学习空间向量之前，学生应该可以较好地进行平面向量的线性运算，但对于将空间中平移到同一起点即同一平面上后利用平面向量中的三角形法则和平行四边形法则计算这两个向量的线性计算，学生可能很难理解或想象空间向量进行平移到同一平面上，因此在教学中可以适当利用教学设备，展示向量移动的动画，加强学生的理解.（2）在说明共面向量时，学生可能会疑惑：既然空间中向量可以平移至同一平面上，那么空间中的所有向量应该都是共面向量不是吗。所以在教学时应区分这两个概念：在进行空间线性运算时，可以将向量平移至同一平面上利用平面向量的计算来计算空间向量，但空间中的向量不是所有的向量都能平移到同一个平面内来，两者有本质区别.
核心知识 空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
情景引入已知=10N, =15N，F=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的合力的大小为多少N？这需要进一步来认识空间中的向量.平面向量是什么？如何表示平面向量？你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？定义：既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：．研探新知一.空间向量的有关概念零向量：单位向量：相等向量：相反向量：共线向量：二.空间向量的线性运算及其运算律空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：=a+b（指向被减向量）λa 空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb,(λ+u)a =λa +ub．几点注意 ：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．共线向量与共面向量1.共线(平行)向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.共面向量平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(，)，使P=a+b.方向向量4.与直线、平面平行的向量5.推论例题及练习课堂小结1.类比平面向量得到空间向量有关概念、运算及运算律2.四点共面的证明方法
板书设计6.1.1空间量及其线性运算空间向量的有关概念空间向量的线性运算及其运算律共线向量与共面向量例题及联系课堂总结
作业设计课本第5页 1-5题
教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
单元课题 空间向量与立体几何
本单元在高考的地位和作用分析 这个单元是高中数学的重要组成部分，也是高考数学的必考考点，其地位至关重要，作用十分突出。一. 地位分析：高考中的“战略要地”1. 分值占比稳定且较高在全国卷及多数省份的高考中，立体几何解答题必有一道分值15分. 此外，在选择题或填空题中，通常还会有1-2道题涉及立体几何的证明、计算等，分值5-10分. 因此，该单元在整张试卷中的总分值通常维持在20-25分之间，是毫无疑问的重点板块.2. 承上启下的枢纽地位承上：它深度融合了平面几何的逻辑推理思想.启下：它是学习高等数学（如空间解析几何、向量分析、线性代数）的重要基础.高考中的考查是为大学选拔具备空间想象能力和代数工具应用能力的人才.3. “传统法”与“向量法”的双轨制该单元最大的特点是提供了两种解题思路：综合几何法（传统法）：依赖空间想象、逻辑推理和几何定理（如线面平行的判定、三垂线定理等）.这是培养直观想象素养的核心.空间向量法（坐标法）：通过建立空间直角坐标系，将几何问题转化为代数运算（向量坐标的运算）.这是培养数学运算素养的工具. 在高考中，尤其是解答题，通常会明确要求“用向量法求解”或“用传统几何法证明”，或者同时给出两种方法的空间.这要求考生必须两种方法都要掌握，并能灵活选择。二.作用分析：多维能力的“试金石”高考不仅是知识的考查，更是核心素养的考查.该单元在此方面扮演着不可替代的角色.1. 对核心素养的考查直观想象：这是本单元最核心的素养.要求学生能够从图形或模型中抽象出几何要素的位置关系，构建空间模型.这是选择综合法解题的基础.数学运算：向量法将复杂的空间位置关系（平行、垂直、角度、距离）转化为纯粹的向量坐标运算（如点乘、叉乘）.这极大地考查了学生准确、熟练的代数运算能力.逻辑推理：无论是用综合法进行步步有据的证明，还是用向量法时逻辑严谨地建系、设点、推导，都深刻考查了学生的逻辑推理能力.2. 对关键能力的区分“基础题”与“压轴题”的分水岭：立体几何解答题的前两问（如证明线线垂直、线面平行）通常属于基础题和送分题，大多数学生通过系统训练都能掌握.而最后一问（通常是求二面角、线面角或点到面的距离）往往计算复杂，成为中等生和尖子生的分水岭.这里综合考查了学生的建系技巧、运算能力和心理素质.一个点的坐标设错，可能导致全盘皆输.3. 提供多种解题路径，考查思维灵活性如前所述，存在“传统法”和“向量法”两种路径.善于空间想象的学生可能用传统法更快；善于计算的学生可能用向量法更稳.甚至在向量法中，如何建立坐标系（以哪个点为原点，坐标轴如何选择）也有多种选择，最优的建系方式可以大大简化计算.这充分考查了学生的思维灵活性和策略选择能力.
单元课时计划 14
课程标准要求 空间向量及其运算① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;② 了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.空间向量的应用① 理解直线的方向向量与平面的法向量;② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
单元知识结构（思维导图）
单元教学重难点分析 总体难点本单元最大的难点在于空间想象能力与严密代数运算能力的双重挑战。学生不仅要在脑中构建几何模型，还要将其精准地转化为坐标和向量，并进行一系列有时相当复杂的计算.分项重难点分析一.概念与基础部分重点：1. 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘）及其几何意义.2. 共线向量与共面向量定理及其应用.3. 空间向量基本定理：理解空间中任意向量都可以由三个不共面的基向量唯一表示.这是建立空间直角坐标系的理论基础.4. 数量积（点乘）的定义、公式和几何意义.难点：1.共面向量定理的应用：证明四个点（或三个向量）共面.学生容易与平面几何中的共线问题混淆.2.数量积几何意义的理解.二. 核心应用部分（高考主战场）这部分是绝对的重点和难点，主要集中在解答题.1. 建立空间直角坐标系重点：这是向量法的第一步，也是最关键的一步.坐标系建得好，后续计算事半功倍.难点：如何寻找或构造“三垂直”：理想情况下，坐标系的三条轴应尽可能落在几何体的垂直线段上。在规则几何体（柱、锥、台）中找现成的“三垂直”关系. 处理不规则图形：当几何体没有明显的垂直关系时，需要通过添加辅助线来构造垂直关系，这对空间想象能力要求很高. 点的坐标表示：这是最常出错的地方。特别是当点的位置不确定（如动点、棱中点）时，如何正确、简洁地表示其坐标.2. 法向量的求解重点：法向量是求解角度和距离的核心工具.求线面角、二面角、点到面的距离都离不开它。难点：计算过程繁琐易错：法向量求解这个过程计算量大，容易出错. 法向量的方向不唯一：只要方向正确，法向量可以无限缩放，这有时会让学生感到困惑.但要注意，求二面角时，两个法向量的方向关系会影响最终结果的符号判断.角度问题重点与难点线线角，线面角，二面角，这是高考立体几何大题的最高频考点和最大难点.4. 距离问题重点与难点点到平面的距离公式及公式的推导和理解.
单元拓展知识 法向量的快速求法
单元备课使用资料计划 人教A版课本必修一；高中同步测控《优化设计》
备注
课题 1.1.1空间向量及其线性运算
课型 新授课 课时 2
学习目标 ㈠知识目标：⒈空间向量的概念；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．
学习重点 空间向量的加减与数乘运算及运算律．
学习难点 空间向量加减法和数乘运算律的灵活应用．
学情分析 （1）空间向量是平面向量的推广，在学习空间向量之前，学生应该可以较好地进行平面向量的线性运算，但对于将空间中平移到同一起点即同一平面上后利用平面向量中的三角形法则和平行四边形法则计算这两个向量的线性计算，学生可能很难理解或想象空间向量进行平移到同一平面上，因此在教学中可以适当利用教学设备，展示向量移动的动画，加强学生的理解.（2）在说明共面向量时，学生可能会疑惑：既然空间中向量可以平移至同一平面上，那么空间中的所有向量应该都是共面向量不是吗。所以在教学时应区分这两个概念：在进行空间线性运算时，可以将向量平移至同一平面上利用平面向量的计算来计算空间向量，但空间中的向量不是所有的向量都能平移到同一个平面内来，两者有本质区别.
核心知识 空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
情景引入已知=10N, =15N，F=15N，这三个力两两之间的夹角都为90度，它们的合力的大小为多少N？这需要进一步来认识空间中的向量.平面向量是什么？如何表示平面向量？你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？定义：既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：．研探新知一.空间向量的有关概念零向量：单位向量：相等向量：相反向量：共线向量：二.空间向量的线性运算及其运算律空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：=a+b（指向被减向量）λa 空间向量加法与数乘向量有如下运算律： ⑴加法交换律：a + b = b + a⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb,(λ+u)a =λa +ub．几点注意 ：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．共线向量与共面向量1.共线(平行)向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.共面向量平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(，)，使P=a+b.方向向量4.与直线、平面平行的向量5.推论例题及练习课堂小结1.类比平面向量得到空间向量有关概念、运算及运算律2.四点共面的证明方法
板书设计6.1.1空间量及其线性运算空间向量的有关概念空间向量的线性运算及其运算律共线向量与共面向量例题及联系课堂总结
作业设计课本第5页 1-5题
教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．