人教版高二数学（上）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理 教学设计(表格式)
文档属性
| 名称 | 人教版高二数学（上）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理 教学设计(表格式) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 395.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-09 20:27:57 | ||
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文档简介
人教版高二数学（上）选择性必修第一册1.2空间向量基本定理教学设计
课题 1.2空间向量基本定理
课型 新授课 课时 1
学习目标 1.掌握空间向量基本定理.2.了解空间向量正交分解的含义.3.会用空间向量基本定理解决有关问题.
学习重点 空间向量基本定理及其应用.
学习难点 空间向量基本定理及其应用．
学情分析 在进入空间向量基本定理这一章节的学习之前，我们需要对学生的学情有一个清晰的认识.首先，从学生层次来看，本节课的学生主要处于高中阶段，他们已经具备了一定的数学基础，包括平面几何和向量的基本知识.然而，由于空间几何的概念相对抽象，部分学生可能在空间想象力和几何直观能力上存在不足.在知识方面，学生已经学习了向量的基本运算和性质，对平面几何中的定理和证明方法有所了解。但在能力方面，学生的逻辑推理能力和空间想象能力可能还未完全成熟，这对于理解空间向量基本定理的内涵和证明过程可能构成挑战.在素质方面，学生的行为习惯和学习态度对课程学习有着直接的影响.一些学生可能对数学学习缺乏兴趣，容易在遇到困难时产生挫败感，这可能会影响他们对空间几何概念的理解和应用。此外，学生在合作学习、探究学习等方面的能力也有待提高，这对于在课堂上通过小组讨论和实验活动来深入理解空间向量基本定理至关重要.
核心知识 空间向量基本定理及其应用．
教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
情景引入我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？研探新知知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？ 如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（,,），使得.我们称分别为向量p在上的分向量.如图1.2-1， 设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则,又向量，共线，因此存在唯一实数，使得，从而，而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得,故设是空间中任意三个不共面的向量，有类似的结论吗？ 空间向量基本定理1.定理:如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x+y+zc.2.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.例题及练习[例1] 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝ ，＝2 .设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.[例2] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？[例3] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且(1)证明:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值.(3)设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C. [练习1] 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )A．－a＋b＋c B.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c【答案】A[练习2] 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．[练习3] 已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.课堂小结1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．
板书设计空间向量基本定理空间向量基本定理应用
作业设计课本12页 1-3题课本14页 1-3题
教学反思教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理.二是运用类比学习法，通过对平面向量基本定理的温习，来学习空间向量基本定理.教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学.注意在探究问题时留给学生充分的时间， 使数学教学成为数学活动的教学.从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养.
课题 1.2空间向量基本定理
课型 新授课 课时 1
学习目标 1.掌握空间向量基本定理.2.了解空间向量正交分解的含义.3.会用空间向量基本定理解决有关问题.
学习重点 空间向量基本定理及其应用.
学习难点 空间向量基本定理及其应用．
学情分析 在进入空间向量基本定理这一章节的学习之前，我们需要对学生的学情有一个清晰的认识.首先，从学生层次来看，本节课的学生主要处于高中阶段，他们已经具备了一定的数学基础，包括平面几何和向量的基本知识.然而，由于空间几何的概念相对抽象，部分学生可能在空间想象力和几何直观能力上存在不足.在知识方面，学生已经学习了向量的基本运算和性质，对平面几何中的定理和证明方法有所了解。但在能力方面，学生的逻辑推理能力和空间想象能力可能还未完全成熟，这对于理解空间向量基本定理的内涵和证明过程可能构成挑战.在素质方面，学生的行为习惯和学习态度对课程学习有着直接的影响.一些学生可能对数学学习缺乏兴趣，容易在遇到困难时产生挫败感，这可能会影响他们对空间几何概念的理解和应用。此外，学生在合作学习、探究学习等方面的能力也有待提高，这对于在课堂上通过小组讨论和实验活动来深入理解空间向量基本定理至关重要.
核心知识 空间向量基本定理及其应用．
教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
情景引入我们所在的教室即是一个三维立体图,如果以教室的一个墙角为始点,沿着三条墙缝作向量可以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？研探新知知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？ 如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序实数组（,,），使得.我们称分别为向量p在上的分向量.如图1.2-1， 设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量设为在所确定的平面上的投影向量，则,又向量，共线，因此存在唯一实数，使得，从而，而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得,故设是空间中任意三个不共面的向量，有类似的结论吗？ 空间向量基本定理1.定理:如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=x+y+zc.2.基底:我们把定理中的叫做空间的一个基底,都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用表示.由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.例题及练习[例1] 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝ ，＝2 .设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.[例2] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？[例3] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且(1)证明:EF⊥B1C;(2)求EF与C1G所成角的余弦值.(3)设这个正方体中线段A1B的中点为M,证明:MF∥B1C. [练习1] 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )A．－a＋b＋c B.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c【答案】A[练习2] 如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．[练习3] 已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形.课堂小结1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题．3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键．
板书设计空间向量基本定理空间向量基本定理应用
作业设计课本12页 1-3题课本14页 1-3题
教学反思教学中主要突出了几个方面：一是创设问题情景，充分调动学生求知欲，并以此来激发学生的探究心理.二是运用类比学习法，通过对平面向量基本定理的温习，来学习空间向量基本定理.教学设计尽量做到注意学生的心理特点和认知规律，触发学生的思维，使教学过程真正成为学生的学习过程，以思维教学代替单纯的记忆教学.注意在探究问题时留给学生充分的时间， 使数学教学成为数学活动的教学.从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养.