第六章 统计（含解析）--2025-2026学年高中数学北师大版必修一单元测试

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第六章 统计--2025-2026学年高中数学北师大版必修一单元测试
一、选择题
1．某校开展“阅读经典”的调查研究,高一、高二、高三的人数比例为.现采用按比例分配分层随机抽样的方法从各年级中抽取人员进行调研.已知从高一抽取的人数为30,则从高三抽取的人数为( )
A.45 B.60 C.90 D.135
2．用分层抽样的方法,从某中学3000人(其中高一年级1200人,高二年级1000人,高三年级800人)中抽取若干人.已知从高一抽取了18人,则从高二和高三年级共抽取的人数为( )
A.24 B.27 C.30 D.32
3．有一组样本数据,,,…,的平均数为3,方差为3,则,,,…,,3的方差为( )
A.3 B. C. D.
4．某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是( )
成绩 24 25 26 27 28 29 30
人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9
A.平均数，众数 B.中位数，众数 C.平均数，方差 D.中位数，方差
5．已知某地区中小学生人数如图所示,用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查,则抽取的高中生人数为
A.10 B.40 C.30 D.20
6．某校举行数学竞赛，现将100名参赛学生的成绩（单位：分）整理如下：
成绩
频数 5 25 30 20 10 10
根据表中数据，下列结论正确的是( )
A.100名学生成绩的极差为60分
B.100名学生成绩的中位数大于70分
C.100名学生成绩的平均数大于60分
D.100名学生中成绩大于60分的人数所占比例超过
7．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，则从高一年级抽取的学生人数为( )
A.60 B.80 C.100 D.50
8．学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：
将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是
A.抽样表明，该校有一半学生为阅读霸
B.该校只有50名学生不喜欢阅读
C.该校只有50名学生喜欢阅读
D.抽样表明，该校有50名学生为阅读霸
二、多项选择题
9．港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径.某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由港珠澳大桥实现内地前往香港的老中青年旅客的比例为，现使用分层随机抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若抽到青年旅客40人，则( )
A.抽到老年旅客100人
B.抽到中年旅客20人
C.
D.被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和不超过200
10．某同学抽取一个学习小组统计这些同学本学期的用笔情况，结果如下表：
用笔数（支） 4 5 6 8 9
学生数 4 4 7 3 2
则关于这20名学生本学期的用笔数量，下列说法正确的是( )
A.中位数是6支 B.平均数是5支 C.众数是6支 D.方差是2.5
11．抽样调查得到10个样本数据，记作，计算得平均数，方差，现去掉一个最大值10，和一个最小值4后，对新数据下列说法正确的是( )
A.极差变大 B.中位数不变 C.方差变大 D.平均数不变
三、填空题
12．已知某地区有小学生12000人，初中生11000人，高中生9000人，现在要了解该地区学生的近视情况，准备抽取320人进行调查，则按比例分配的分层抽样应该抽取高中生________人.
13．已知样本数据的平均数与方差分别是a和b，若，且样本数据的平均数与方差分别是b和a，则________.
14．某新闻机构想了解全国人民对2024年巴黎奥运会开幕式的评价，决定从某市2个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若2个区人口数之比为2∶7，且人口较少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为______________.
15．一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中______.
四、解答题
16．一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表所示（单位：辆）：
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．
(1)求z的值；
(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，应如何抽取？
17．一种公共卫生事件传染病的突然发生,严重影响公众健康和人民生命安全某市防疫中心为了掌控疫情,要求下属各地区每天上报疑似病例人数.该市统计本月1日至30日每天疑似病例的人数,按,,,,分组,绘制频率分布直方图,如图所示.
(1)求a的值；
(2)求该市本月30天疑似病例人数的中位数及平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(3)现从该市本月疑似病例人数大于等于60的天数中任抽2天进行疫情分析,求抽到的2天疑似病例人数都不低于80的概率.
18．2025年4月19日，全球首个“人形机器人”半程马拉松在北京举行，某机构调查了1000名观众，将这1000名观众对“人形机器人”的评分数据分成，，，，，六组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中评分的中位数；
(2)已知评分在，这两区间内数据的方差分别为，，且每组以该组的中间值作为该组的平均值，现将评分在，这两区间内的数据合在一起得到一组新的数据，求这组新数据的方差（结果用分数表示）.
19．某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示.
组号 分组 频数 频率
第1组 5 0.050
第2组 m 0.350
第3组 n p
第4组 20 0.200
第5组 10 0.100
合计 100 1.000
（1）求频率分布表中m，n，p的值，并补充完整相应的频率分布直方图.
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，则第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
20．某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量，，，，，（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图：
(1)经计算估计这组数据的中位数：
(2)某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用样本估计总体，该种植园巾还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：
A：所有芒果以0.01元/克收购：
B：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购.
通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多
参考答案
1．答案：B
解析：设高三抽取的人数为x,则由分层抽样可知,解得:.
故选:B.
2．答案：B
解析：设从三个年级中共抽取x人,则,解得,
则从高二和高三年级共抽取的人数为,
故选:B
3．答案：C
解析：由题可知:,
所以.
故选:C
4．答案：B
解析：，
被遮盖的两个数据之和为，
这组数据中，30出现的次数最多，
这组数据的众数是30，不受被遮盖的两个数据的影响，
将30位同学的成绩按从小到大进行排序后，第15个数和第16个数的平均数即为中位数，且，，
这组数据的中位数是，不受被遮盖的两个数据的影响，
故选：B.
5．答案：B
解析：由扇形图可得学生总人数为人,
设抽取的高中生人数为n,则,解得,
故选：B.
6．答案：C
解析：对于A，由表格可知，100名学生成绩的极差可能为60，故A错误；
对于B，由表格可知，100名学生成绩的中位数位于之间，故B错误；
对于C，平均数为，
故C正确；
对于D，100名学生中成绩大于60分的人数所占比例为
，
故D错误；
故选：C
7．答案：A
解析：已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为，
那么高一年级学生人数占三个年级总人数的比例为：
现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取容量为200的样本，
根据分层抽样的计算方法，从高一年级抽取的学生人数为：（人）
从高一年级抽取的学生人数为60人.
故选：A.
8．答案：A
解析：根据频率分布直方图可列下表：
阅读时间（分）
抽样人数（名） 10 18 22 25 20 5
抽样100名学生中有50名为阅读霸，占一半，据此可判断该校有一半学生为阅读霸.
故选A.
9．答案：AD
解析：设抽到老年旅客、中年旅客的人数分别为a、b，
则，
解得，，故，
被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和为
，AD对，BC错.
故选：AD.
10．答案：ACD
解析：将20名学生本学期的用笔数量从小到大排列可得4，4，4，4，5，5，5，5，6，6，6，6，6，6，6，8，8，8，9，9，
排在第10位的数为6，排在第11位的数为6，
所以这20名学生本学期的用笔数量的中位数为，A正确；
这20名学生本学期的用笔数量的平均数为，B错误，
这20名学生本学期的用笔数量的众数为6，C正确；
这20名学生本学期的用笔数量的方差为
，D正确；
故选：ACD.
11．答案：BD
解析：由于10个数据已经确定，
故不妨设，由题意不妨取，，
A项，原极差为，
去掉最高与最低分后，极差为，
所以去掉最高和最低分，极差有可能减小，极差变大是不可能的，故A项错误；
B项，中位数的定义知：数据从小到大排列，中间两个数的平均值是中位数，去掉最高和最低不影响中间两个数，B项正确；
D项，由题意原平均数，
则，则去掉最高与最低分后，
平均数变为，平均数不变，故D正确；
C项，去掉最高和最低分后，又平均数不变，数据移除这两个极端值后，数据的波动性减小，故方差会变小，故C项错误.
故选：BD.
12．答案：90
解析：由题意，应该抽取高中生的人数为：
.
故答案为：90.
13．答案：10110
解析：，
，
由，
可得
，则，
，
则，联立，解之得
由
可得
故答案为：10110
14．答案：450
解析：设样本容量为n，则，解得，
所以样本容量为450，
故答案：450．
15．答案：21
解析：因为，
所以，
由平方运算的特点可知，
所以.
故答案为：21.
16．答案：(1)400；
(2)抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.
解析:(1)设该厂本月生产轿车n辆，依题意，得，解得n=2000，
则z=2000-100-300-150-450-600=400，
所以z的值是400.
(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车，
因用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，则，解得m＝2，
所以在C类轿车中抽取2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
17．答案：(1)；
(2)中位数48,平均数为48；
(3).
解析：(1)由各频率之和为1可得,
,解得
(2)该市本月30天疑似病例人数的中位数48,
平均数.
故该市本月30天疑似病例人数的中位数48,平均数为48.
(3)该市本月疑似病例人数在的天数为,不妨设为,,.
疑似病例人数在的天数为,不妨设为,,.
从大于等于60的天数中任抽2天,所有可能的情况有：,,,,,,,,,,,,,,,
共有15种；
其中疑似病例人数都不低于80的情况有,,,共3种,
所以任抽2天,抽到的2天的疑似病例人数都不低于80的概率为
18．答案：(1)70分
(2)
解析：(1)由图可知，前3个小矩形对应的频率之和为，所以中位数为70分.
(2)对应的平均数为65分，对应的平均数为85分，
因为评分在这两组数据对应的频率为2:1，
所以可以求出整体的平均数为分，
故所求评分的方差
.
19．答案：（1），，；图见解析
（2）第3，4，5组每组各抽学生人数为3，2，1
解析：（1）由已知得，
，，则，
补充频率分布直方图如图所示.
（2）由（1）知，笔试成绩高的第3，4，5组的人数之比为，
现用分层抽样的方法抽取6名学生，
故第3，4，5组每组各抽学生人数为3，2，1.
20．答案：(1)中位数为268.75；
(2)应选B方案.
解析：（1）由频率分布直方图可得，
前3组的频率和为
前4组的频率和为，
所以中位数在内，设中位数为x，
则有，解得.
故中位数为268.75.
（2）方案A：
元.
方案B：
由题意得低于250克：元；
高于或等于250克元，
故的总计元，
由于，
B方案获利更多，应选B方案.
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