第七章 概率（含解析）--2025-2026学年高中数学北师大版必修一单元测试

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第七章 概率--2025-2026学年高中数学北师大版必修一单元测试
一、选择题
1．袋中装有除颜色外其他均相同的2个白球，4个黄球，3个红球，从中任取一球，取到红球的概率为( )
A. B. C. D.
2．有3个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则恰有两个人在同一层离开电梯的概率为( )
A. B. C. D.
3．如图，元件通过电流的概率均为0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在M，N之间通过的概率是( )
A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.9891
4．一个不透明的袋子中装有3个红球，2个黄球，5个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为( )
A. B. C. D.
5．甲、乙两人练习射击,命中目标的概率分别为和,甲、乙两人各射击一次,目标被命中的概率为( )
A. B. C. D.
6．下列说法中正确的是( )
A.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B.在n次随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有确定性
C.随着试验次数n的增大,一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
D.在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
7．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6,现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率P.先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数,指定0,1,2,3,4,5表示击中目标,6,7,8,9表示未击中目标;因为射击3次,所以每3个随机数为一组,代表3次射击的结果.经随机模拟产生了以下20组随机数:
169,966,151,525,271,937,592,408,569,683,
471,257,333,027,554,488,730,863,637,039
据此估计P的值为( )
A.0.5 B.0.55 C.0.6 D.0.65
8．下列事件中属于随机事件的是( )
①太阳从东方升起
②买彩票中奖
③掷一枚骰子出现的点数大于6
④掷一枚硬币正面朝上
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
二、多项选择题
9．抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则事件A与事件B( )
A.相互独立 B.互为对立事件
C.互斥 D.相等
10．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球,那么不互斥的两个事件是
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
11．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A,B,C,D判断正确的有( )
A.A与B是互斥事件但不是对立事件
B.A与C是互斥事件也是对立事件
C.A与D是互斥事件
D.C与D不是对立事件也不是互斥事件
三、填空题
12．在元旦假期甲地的降雨概率是0.3,乙地的降雨概率0.4,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则在这段时间内甲,乙两地都降雨的概率为________.
13．管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘.10天后,又从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有______条鱼.
14．一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号H，H，O，N的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别.从袋子中随机摸出2个小球，所标元素能组成“NO（一氧化氮）”的概率是________.
15．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球，4个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球_________个．
四、解答题
16．一个袋中装有大小和质地相同的4个小球,标号分别为1,2,3,4,从袋中不放回的依次摸出两个小球的标号分别记为x,y.设事件“为偶数”,事件“”,则_________.
17．甲 乙 丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终胜利，比赛结束.经抽签，甲 乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求比赛四场结束且丙获胜的概率；
(2)求甲最终获胜的概率.
18．甲 乙 丙三人独立地作答一道试题,且甲 乙 丙答对该道试题的概率分别为.
（1）求无人答对该道试题的概率;
（2）求至少有两人答对该道试题的概率.
19．下面是某市某年2月1日至14日的空气质量指数趋势图及空气质量指数与空气质量等级对应表.某人随机选择2月1日至2月13日中的某一天到该市出差，第二天返回（往返共两天）.
空气质量指数 空气质量等级
小于或等于100 优良
大于100且小于或等于150 轻度污染
大于150且小于或等于200 中度污染
大于200且小于或等于300 重度污染
大于300 严重污染
（1）观察空气质量指数趋势图，你认为从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（只写出结论，不要求证明）
（2）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（3）求此人出差期间（两天）空气质量至少有一天为中度或重度污染的概率.
20．某中学为宣传《未成年人保护法》，特举行一次《未成年人保护法》知识竞赛，规则如下：两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则获得“优秀小组”称号.已知甲、乙两位同学组成一组，且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为，.
（1）若，，求在第一轮竞赛中，他们获得“优秀小组”称号的概率；
（2）若，且每轮竞赛结果互不影响，如果甲、乙同学想在此次竞赛活动中获得9次“优秀小组”称号，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
参考答案
1．答案：C
解析：由题可得取到红球的概率为.
故选：C
2．答案：C
解析：由已知3个人离开电梯的情况数共有种情况，
其中满足恰有两个人在同一层离开电梯的情况数为种情况，
由古典概型的概率公式可知，
故选：C.
3．答案：B
解析：电流能通过，的概率为，
电流能通过的概率为0.9，
故电流不能通过，也不能通过的概率为，
所以电流能通过系统，，的概率为，
而电流能通过的概率为0.9，
所以电流能在M，N之间通过的概率为，故选B.
4．答案：A
解析：一个不透明的袋子中装有3个红球，2个黄球，5个白球，
袋子中总共有个球，
白球的个数为5个，
摸出的小球是白球的概率为，
故选：A.
5．答案：A
解析：甲、乙两人各射击一次,目标没被命中的概率为,
甲、乙两人各射击一次,目标被命中的概率为.
所以A选项是正确的.
6．答案：C
解析：频率与概率不是同一个概念,故A错误;
在n次随机试验中,一个随机事件A发生频率具有随机性,故B错误;
随着试验次数n的增大,一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率,故C正确;
在同一次试验中,每个试验结果出现的频率之和一定等于1,故D错误.
故选:C.
7．答案：C
解析：根据题意,3次射击至少击中两次的数为:
151,525,271,592,408,471,257,333,027,554,730,039,共12组,
故3次射击至少2次击中目标的概率为:
.
故选:C.
8．答案：C
解析：①太阳一定会从东方升起,所以太阳从东方升起,是必然事件；
②因为购买一张彩票可能中奖,也可能比中奖,所以购买一张彩票中奖是随机事件；
③因为掷一枚骰子,可能出现的点数最大为6,出现的点数大于6,是不可能事件；
④因为掷一枚硬币,可能正面朝上,也可能背面朝上,所以掷一枚硬币正面朝上,是随机事件,
故随机事件有②④.
故选：C.
9．答案：A
解析:显然事件A和事件B不相等，故D错误；
由于事件A和事件B能同时发生，
所以不为互斥事件，也不为对立事件，故B、C错误；
因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，
故事件A和事件B相互独立，故A正确.
故选：A.
10．答案：AB
解析：“至少有一个黑球”中包含“都是黑球,A正确；
“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生,B正确；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生,C不正确；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生,D不正确.
故选：AB.
11．答案：ABD
解析：抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,
“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,
在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确；
在B中,A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确；
在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误；
在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确.
故选：ABD.
12．答案：0.12
解析：在这段时间内甲,乙两地都降雨的概率为.
故答案为:0.12
13．答案：1500
解析：由题意可得:从池塘内捞出100条鱼,其中有标记的有2条,
所有池塘中有标记的鱼的概率为:,
又因为池塘内具有标记的鱼一共有30条鱼,
所以可以估计该池塘内共有条鱼.
14．答案：
解析：从中摸出2个小球，共有：
；；；；；，6种结果，
能组成“NO（一氧化氮）”的只有1种，故所求概率为.
故答案为：
15．答案：8
解析：因为通过大量重复的摸球实验后，
发现摸到绿球的频率稳定在0.4，所以摸到绿球的概率为0.4，
设不透明的袋中有x个绿球，因为袋中有8个红球，4个白球，
所以，解得：，
故答案为：8.
16．答案：
解析：记摸出两个小球的标号对应的有序数组为,
样本空间,
所以,
所以,
所以.
故答案为:.
17．答案：(1)
(2)
解析：（1）设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，
比赛四场结束且丙获胜的事件为M，
则；
（2）设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，
甲最终获胜事件为N，
则
.
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依题意,无人答对该道试题的概率为.
（2）至少有两人答对该道试题的概率.
19．答案：（1）2月5日
（2）
（3）
解析：（1）从2月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.
（2）设表示事件“此人于2月i日到达该市”.
由题意可知，，且（，）.
设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，
则，
所以
.
（3）设“此人出差期间空气质量至少有一天为中度或重度污染”为事件C，
即“此人出差期间至少有一天的空气质量指数大于150且小于或等于300”，
由题意可知
.
20．答案：（1）
（2）少要进行19轮竞赛
解析：（1）由题可知，所有可能的情况如下：
①甲答对1题，乙答对2题，其概率；
②甲答对2题，乙答对1题，其概率；
③甲答对2题，乙答对2题，其概率.
故所求概率.
（2）他们在每轮竞赛中获得“优秀小组”称号的概率
，
因为，，，
所以，，
所以，，，
由基本不等式知，当且仅当时，等号成立，
所以，
令，，则，，
所以当吋，.
设他们小组在n轮竞赛中获得“优秀小组”称号的次数为，则.
由，得，所以理论上至少要进行19轮竞赛.
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