第五章 函数应用（含解析）--2025-2026学年高中数学北师大版必修一单元测试

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第五章 函数应用--2025-2026学年高中数学北师大版必修一单元测试
一、选择题
1．一元二次方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A. B.且 C. D.且
2．函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
3．已知函数有两个不同的零点,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知函数，则函数的零点个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5．设函数是R上的奇函数,当时,,则的零点个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6．已知函数，则在上的零点个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
7．函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
8．已知函数有4个不同的零点,则a的取值可以为( )
A. B. C. D.0
二、多项选择题
9．若一元二次方程有正实数根,则实数m可以是( )
A. B. C. D.
10．如图，函数的图像与x轴交于，，，四点，则能用二分法求出的零点近似值的是( )
A. B. C. D.
11．下列函数中有零点的是( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．二分法求零点：给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点的初始区间，验证__________；
（2）求区间的中点c；
（3）计算__________，并进一步确定零点所在的区间：
①若（此时），则c就是函数的零点，
②若（此时），则令__________，
③若（此时），则令__________；
（4）判断是否达到精确度：若__________，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）.
13．为了保护水资源,提倡节约用水,某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：
每户每月用水量 水价
不超过的部分 3元/
超过但不超过的部分 6元/
超过的部分 9元/
若某户居民本月交纳水费为66元,则此户居民本月用水量为____________.
14．近年来,黔西南州基础教育质量大幅提升,2024年高考成绩再上新台阶,一方面,得益于各级政府及教育部门的殷切关怀与高度重视：另一方面,与莘莘学子的“聪慧值”密切相关.定义：“聪慧值”=“天赋值”ד年提升值”（“天赋值”具有先天性）,树人中学高一(1)班学生小李和小王开学时的“天赋值”分别为150分和100分,“年提升值”相同,自开学那天起,小王努力学习,刻苦钻研,“年提升值”都在前一年的基础上进步,而小李疏于学习,“年提升值”都在前一年的基础上退步.问：大约经过_________________年,小王的“聪慧值”是小李的2倍.（精确到整数,参考数据：,,）
15．设,函数,当时,函数有______个零点;若函数恰有3个零点,则实数a的取值范围为______.
四、解答题
16．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则a的取值范围为__________.
17．根据某高科技公司多年的经营数据,发现该公司每年的利润（单位:万元）与研发投入x（单位:万元）满足函数关系式,且当时,.
（1）若该公司想要明年的利润为700万元,则明年的研发投入应该为多少万元
（2）若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元,则明年的研发投入相比今年应该怎样变化
18．已知二次函数在上有且只有一个零点，求实数m的取值范围.
19．声强级L（单位：）由公式给出，其中I为声强（单位：）.在一次演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
20．某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
(1)求利润（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
(2)当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.
参考答案
1．答案：B
解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根,所以,解得且.
故选:B.
2．答案：B
解析：由于在上均单调递增,
故在上单调递增,
又,,,
,,
即,故函数的零点所在区间是,
故选：B.
3．答案：B
解析：函数有两个不同的零点,等价于函数与函数的图象有两个交点,
作出函数与的图象,如图所示,
由图可知,当时,函数与函数的图象有两个交点,所以实数m的取值范围是.
故选：B.
4．答案：B
解析：，
设，则，所以，
当时，，所以即为，
解得：，满足；
当时，，所以即为，解得：，满足；
所以或，故或，
如图，与的图象有3个交点，与的图象有1个交点，故有4个零点.
5．答案：C
解析：函数是定义域为R的奇函数,,所以0是函数的一个零点;当时,令,则,分别画出函数,和的图象,如图所示,
有一个交点,所以函数有一个零点,又根据对称性知,当时函数也有一个零点.综上所述,的零点个数为3个,
故选C.
6．答案：B
解析：，作出和在上的图象如图，两图象有3个交点在上有3个零点.
7．答案：A
解析：由题意，，所以在R上，从而最多一个零点，
由题意，，，
注意到在上，且，所以，从而，故的零点所在的区间是.
8．答案：A
解析：由题意可得方程有4个不同的根.
方程的2个根为,,
所以方程有2个不同的根,且,
即函数与函数的图象有两个交点.
当直线与函数的图象相切时,设切点为,
因为,所以解得.
要使函数与函数的图象有两个交点,只需直线的斜率大于,
即.
设（）,则,
由,,
所以在上单调递增,在单调递减,
所以的最大值为.
所以.
故a的取值范围为,
故选:A.
9．答案：ACD
解析：因为方程对应的函数为,开口向上,对称轴为,
所以方程有正实数根,则,即,解得.
故选：ACD.
10．答案：ACD
解析：由题图，可知在两侧，函数的值均大于0，
故的近似值不能用二分法求出.
其他零点两侧函数值符号均相反，可以用二分法求解近似值.
故选:ACD.
11．答案：ABC
解析：对于A,时,,所以有零点,故A正确;
对于B,时,,所以有零点,故B正确;
对于C,时,,所以有零点,故C正确;
对于D,时,,因为,所以方程无解,所以没有零点,故D错误;
故选:ABC.
12．答案：（1）
（3）；；
（4）
解析：
13．答案：
解析：当用水量为时,水费为,而本月交纳的水费为66元,显然用水量超过,
当用水量为时,水费为,
而本月交纳的水费为66元,所以本月用水量不超过,
即有,
因此本月用水量为,
故答案为：.
14．答案：16
解析：设两人的“年提升值”为,经过n年小王的“聪慧值”是小李的2倍.
则经过n年小王的“聪慧值”为,小李的“聪慧值”为,
由题意,即；
取对数可得,
,
所以大约经过16年小王的“聪慧值”是小李的2倍.
故答案为：16.
15．答案：2;
解析：当时,,令,解得,
令,则,故或,此时有2个零点,
设,当时,,此时,
由得,即,解得或,
所以在上有2个零点,
时,若,,对称轴为,
函数的大致图象如下:
此时,即,则,
所以无解,则无零点,无零点,
综上,此时只有两个零点,不符合题意,
若,此时的大致图象如下:
令,解得,
显然令在上存在唯一负解,
要使恰有3个零点,
只需在上除或外不能再有其他解,
即不能再有除或外的其他解,
故,即,解得,所以.
故答案为:2,
16．答案：
解析：由已知得，得.
令得；令
得；令得；
令得；令得，
，即a的取值范围为.
故答案为：.
17．答案：（1）明年的研发投入应该为万元;
（2）明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.
解析：（1）当时,,所以,解得,
所以,
令,可得,解得,
所以明年的研发投入应该为400万元;
（2）设今年的研发投入为万元,利润为万元,明年的研发投入为万元,利润为万元,
所以,,
根据题意可得,
所以,所以,所以,所以.
所以明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.
18．答案：m的取值范围为
解析：①当方程在上有两个相等实数根时，
有此时无解.
②当方程有两个不相等的实数根时，分下列三种情况讨论.
有且只有一根在上时，有，即，得；
当时，，方程化为，根为，，满足题意；
当时，，方程可化为，根为，，满足题意.
综上所述，实数m的取值范围为.
19．答案：女高音的声强是该男低音声强的100倍
解析：设该女高音的声强级为，声强为，该男低音的声强级为，声强为，
由题意知，则，
所以，所以.
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍.
20．答案：(1)
(2)产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.
解析：(1)由题意可知，当，时，；
当，时，
综上，
(2)当，时，
且当时，取得最大值1625；
当，时，
当且仅当时，取得最大值1900
综上，当，即产量为5000台时，
该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元
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