第一章　预备知识（含解析）--2025-2026学年高中数学北师大版必修一单元测试

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第一章　预备知识--2025-2026学年高中数学北师大版必修一单元测试
一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A. B. C. D.
2．命题“，”的否定是( )
A.， B.，
C.， D.，
3．设集合,,,若,,则( )
A. B. C.1 D.2
4．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5．若集合,集合,则集合( )
A. B. C. D.
6．“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若集合，，，则( )
A. B. C. D.
8．已知集合,下列式子错误的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若,,且满足,则m的值为( )
A. B. C. D.
10．已知,则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
11．下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题
12．设集合，，，则集合C的真子集个数为________.
13．已知关于x的不等式对恒成立,则实数a的取值范围是______________.
14．二次函数的顶点坐标为________.
15．学校举办运动会时,高一某班共有30名同学参加,有15人参加游泳比赛,有9人参加田径比赛,有13人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有2人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.只参加球类一项比赛的有__________________人.
四、解答题
16．已知，求证.某同学解这道题时，注意到结论中的三个量，，.由已知条件得到，，.进一步发现三者的关系：.又观察左边式子的结构发现就是两个数的倒数和，从而联想到以前做过的题目“已知，，求证”，类比其解法得到题目的解法：，当且仅当时取等号.所以.求的最小值.
17．比较下列各组中两式的大小：
(1)设,,比较M,N大小；
(2)当时,比较与值的大小．
18．（1）解不等式:;
（2）比较大小:与1.
19．已知集合,且,且.求实数k的取值范围.
20．已知函数，.
(1)若在上单调递增，求t的取值范围；
(2)若，设函数在区间上的最大值为，求的表达式，并求出的最小值.
参考答案
1．答案：C
解析：全集,集合,,则,
因此,.
故选:C
2．答案：B
解析：由特称命题的否定是全称命题可得，
“，”的否定为“，”.
故选：B
3．答案：C
解析：由,,
得且,
当时,无解；
当时,解得.
经检验,满足题意.
故选：C.
4．答案：D
解析：，
又，则，
故选：D．
5．答案：C
解析：对于给定的两个集合A,B,由既属于A又属于B的所有元素组成的集合叫做A与B的交集.
,.
所以.
故选：C.
6．答案：C
解析：由“三角形的三条边相等”可得三角形是等边三角形,
反之,三角形是等边三角形,则三角形的三条边相等,
故“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的充要条件.
故选：C.
7．答案：D
解析：由，，则，
又，所以.
故选：D
8．答案：B
解析：,
,,.
与A是两个集合,不能用“”表示它们之间的关系,故B错误.
故选：B.
9．答案：ABC
解析：因为,所以；
若,则,时,,不符合集合元素的互异性,舍去；时,,,满足,故A正确；
若,则,时,,,满足,故B正确；时,,,满足,故C正确；
若,则,不符合集合元素的互异性,舍去；
若,则或0,时,,,满足；
所以或或,
故选：ABC.
10．答案：AD
解析：对于A,,因为,
所以,,,即,所以,故A正确;
对于B,取,此时,故B错误;
对于C,取,则,故C错误,
对于D,若,则显然成立,
若,则成立,
若,则成立,
综上所述,只要,就一定有,故D正确.
故选:AD.
11．答案：AB
解析：对于选项A,两集合中元素完全相同,它们为同一集合,则,A正确；
对于选项B,空集是任意集合的子集,故,B正确；
对于选项C,两个集合所研究的对象不同,故,为不同集合,C错误；
对于选项D,元素与集合之间只有属于、不属于关系,故D错误．
故选：AB．
12．答案：7
解析：，，
有3个元素，
集合C的真子集个数为个.
故答案为：7.
13．答案：
解析：当时,,符合题意；
当时,.
综上：.
故答案为：.
14．答案：
解析：，
，
即顶点坐标为，
故答案为：.
15．答案：8
解析：不妨设同时参加球类比赛和田径比赛的有x人,
结合已知条件可知,只参加游泳比赛的有10人,只参加球类比赛的有人,只参加田径比赛的有人,
故,解得,
从而只参加球类一项比赛的有8人.
故答案为：8.
16．答案：4
解析：因为,
所以
即
解方程得，
当时取等号，所以的最小值为4.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1),
则.
(2),
则
18．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依题意,,即,解得;
（2）,因为,,所以,即（时,等号成立）.
19．答案：
解析：因为,
当,即时,,满足条件;
当,即时,
有,解得,此时;
综上所述,实数k的取值范围为,故k的范围为.
20．答案：(1)
(2)，
解析：(1)当时，，
则在上单调递增，满足条件；
当时，的对称轴为，
要使在上单调递增，
则，解得：，
综上，若在上单调递增，
则t的取值范围为
(2)当时，的
对称轴为，所以在上单调递减，
在上单调递增；
当，即时，，
当，即时，，
当，即时，，，
当时，即时，；
当时，即，，
当时，即，，
综上，，
所以当时，
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