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6.1 平面向量的概念
探究点一 向量的基本概念
探究点二 向量的几何表示
探究点三 相等向量与共线向量
【学习目标】
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理
解平面向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量（共线向量）
的意义和两个向量相等的含义.
2.能够在熟悉的实际问题情境中,理解平面向量的几何表示和基
本要素.
知识点一 向量的概念
1.向量：既有______又有______的量叫作向量.
2.数量：只有______没有______的量称为数量.
大小
方向
大小
方向
知识点二 向量的几何表示
1.有向线段
（1）有向线段：具有______的线段叫作有向线段.
方向
（2）表示方法：以为起点，为终点的有向线段记作 ，如图.
（3）有向线段的长度：线段的长度也叫作有向线段 的长度，
记作
（4）有向线段包含三个要素：__________________.
起点、方向、长度
2.向量的表示方法
（1）向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,, ,…表示,书写时,
用带箭头的小写字母,, ,…表示.
长度
方向
3.向量的相关概念
（1）向量的模：向量的大小称为向量 的______（或称模）,记
作_____.
（2）零向量：长度为___的向量叫作零向量,记作___.
（3）单位向量：长度等于_____________的向量叫作单位向量.
长度
0
1个单位长度
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）有向线段可以表示向量.( )
√
（2）在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，
这些向量的终点形成的轨迹是半径为1的圆.( )
√
2.在如图的方格纸上，每个小正方形的边长为1,则 _____.
3.0与 有什么区别和联系？
解：区别：0与不同，0表示数量,表示零向量.联系： .
知识点三 相等向量与共线向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量 与
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量 与
相等,记作 .
3.共线向量：任一组__________都可以平移到同一条直线上,因此，
平行向量也叫作__________.
相同或相反
非零向量
相等
相同
平行向量
共线向量
，，，，，，
【诊断分析】 如图所示，已知四边形与四边形 都是平
行四边形．
（1）图中与向量 共线的向量有_____________________________
____；
（2）图中与向量 相等的向量有_________.
和
探究点一 向量的基本概念
例1（1） 下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.向量的模可以比较大小
C.模为1的向量都是相等向量
D.因为零向量的方向不确定，所以零向量不与任意向量平行
√
[解析] 对于A，向量不能比较大小，故A错误；
对于B，向量的模是一个数量，可以比较大小，故B正确；
对于C，相等向量不但模相等，方向也相同，而模为1的向量的方向
不一定相同，故C错误；
对于D，零向量与任意向量平行，故D错误.故选B.
（2）给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；
⑥路程；⑦密度.其中是向量的有__________.（填序号）
②③④⑤
[解析] 是向量的有②③④⑤，是数量的有①⑥⑦.
变式 （多选题）下列说法正确的是( )
A.向量与向量 长度相等
B.起点相同的单位向量，终点必相同
C.向量的模可以比较大小
D.任一非零向量都可以平行移动
√
√
√
[解析] 和 长度相等，方向相反，故A正确；
单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误；
向量的长度可以比较大小，即模可以比较大小，故C正确；
向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以
平行移动，故D正确.故选 .
［素养小结］
解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度，
如：单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任意向量共
线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
探究点二 向量的几何表示
例2 如图是中国象棋的半个棋盘示意图，“马走日”是象棋中“马”的
走法，“马”可从跳到，也可从跳到，用向量， 表示
“马”走了“一步”，试在图中画出：
（1）“马”从处走到 处的一种情况；
解：“马”从处走到 处的一种情
况如图所示（答案不唯一）.
（2）“马”在 处走了“一步”的所有情况．
解：“马”在 处走了“一步”的情况
一共有8种，如图所示.
变式 某人从点出发向东走了到达 点,然
后改变方向沿东北方向走了到达 点,到
达点后又改变方向向西走了到达 点.
（规定小方格的边长为 ）
（1）在图中作出向量,, ;
解:作出向量,, ,如图所示.
（2）求 的模.
解:连接.由题意得 是直角三角形,
其中 ,, ,所以
是直角三角形,其中 ,, ,
所以,故 .
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．
探究点三 相等向量与共线向量
例3 （多选题）下列说法中正确的是( )
A.已知,,为非零向量,若，,则
B.任意两个相等的非零向量的起点与终点总是一个平行四边形的四
个顶点
C.相等的非零向量必是共线向量
D.有相同起点的两个非零向量一定不是平行向量
√
√
[解析] 因为,,为非零向量,且，所以与 方向相同或相反，
又，所以与方向相同或相反，因此与 方向相同或相反，所
以 ，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
故选 .
例4 如图所示,点为正方形 对角线的
交点,四边形, 都是正方形.在图中
所示的向量中:
（1）分别写出与， 相等的向量.
解：, .
（2）写出与 共线的向量.
解：与共线的向量为,, .
（3）写出与 的模相等的向量.
解：与的模相等的向量为,,,,,, .
（4）向量与 是否相等
解：不相等.
变式 如图所示，是正三角形 的中心，
四边形和四边形 均为平行四边形.
（1）与向量 相等的向量有____；
[解析] 因为四边形 为平行四边形，所
以，且 .
由图可知，与向量相等的向量有 .
（2）与向量 相反的向量有_________；
，
[解析] 由已知可得，，且 ，
，且，所以与向量 相反的
向量有， .
，，，，
（3）与向量 的模相等的向量有___________
_____________.（填图中所画出的向量）
[解析] 因为是正三角形 的中心，所以
，
又， ，所以与向量的
模相等的向量有， ，，， .
［素养小结］
判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相
等，与起点和终点的位置无关．判断一组向量是否共线，只需判断
它们是否同向或反向．
向量及向量符号的由来
向量（矢量）这个术语作为现代数学和物理学中的一个重要概
念，首先是由英国数学家哈密顿使用的.“向量”一词来自于力学、解
析几何中的有向线段，最先使用有向线段表示向量的是英国科学家
牛顿.向量的名词虽来自哈密顿，但向量作为一条有向线段的思想却
由来已久.向量的概念萌芽于两千多年前，大约在公元前350年，古希
腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量.
向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出“箭头表
示方向，线段长表示大小”的有向线段来表示它.1806年，瑞士人阿尔
冈以表示有向线段或向量.1827年，默比乌斯以表示起点为 ，
终点为 的向量，这种用法被数学家广泛接受.另外，哈密顿、吉布
斯等人则以小写希腊字母表示向量.后来，字母上加箭头表示向量的
方法逐渐流行，尤其用在手写稿中，为了方便印刷，人们又用粗黑
体小写字母， 等表示向量.这两种符号一直沿用至今.
向量理论的起源与发展主要有三条线索：物理学中的速度和力
的平行四边形法则、位置几何、复数的几何表示.物理学中的速度和
力的平行四边形法则是向量理论的一个重要起源之一.18世纪中叶之
后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作直接导致了在19世
纪中叶向量力学的建立.同时，向量概念是近代数学中重要和基本的
概念之一，有着深刻的几何背景，它始于莱布尼兹的位置几何.现代
向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的，18世纪，由
于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的
热点.哈密顿在做三维复数的模拟物的过程中发现了四元数，随后，
吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为
接受.
1.向量与数量的区别
（1）向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个
代数量，没有方向；
（2）数量可以比较大小，而向量无法比较大小，即使 ，也
不能说 ；
（3）注意数0与零向量 的区别.
2.用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：，， .
3.解决与向量的概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长
度．如：
（1）共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；
（2）相等向量的核心是方向相同且长度相等；
（3）单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；
（4）零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任意
向量共线．
4.向量相等具有传递性，即，，则 .而向量的平行不
具有传递性，若，，则未必有 ，因为零向量平行于任
意向量．
1.向量的概念
（1）大小、方向是向量的两个要素.
（2）注意两个特殊的向量:零向量与单位向量.前者长度为0,方向任
意;后者长度为1.
（3）零向量是非常特殊的一个向量，忽视它极易致误，解题时要多
留心有无非零向量的要求， 与任意向量共线，故在有关向量共线的
概念辨析题中，常以 为背景设置陷阱．
例1 给出下列命题,其中真命题的个数是( )
①单位向量都相等;②单位向量都共线;③共线的单位向量必相等;④
零向量的模为0;⑤零向量没有方向;⑥零向量与任意向量共线.
A.0 B.1 C.2 D.3
[解析] 因为不同的单位向量有不同的方向,所以①和②是假命题；
因为共线的单位向量可能方向相反,它们不一定相等,所以③是假命题；
因为零向量的模为0,所以④是真命题；
因为零向量的方向是任意的,所以⑤是假命题；
因为零向量与任意向量共线,所以⑥是真命题.综上，④⑥是真命题，
故选C.
√
2.相等向量与共线向量
（1）长度相等方向相同的向量是相等向量.寻找相等向量要把握住向
量的两个要素:大小和方向.
（2）对于非零向量,共线向量只需把握向量的方向要素,与向量的大
小无关.故判断两个非零向量是否共线时,只需判断两个向量所在的直
线是否平行或者重合.
例2 给出下列说法：
①若，则 ；
②若，，则 ；
③“”的充要条件是“且 ”；
④若，，则 ；
⑤若，，，是不共线的四个点，则“”是“四边形
为平行四边形”的充要条件.
其中，正确说法的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
√
[解析] 对于①，因为，但，的方向不确定，所以， 不
一定相等，故①错误.
对于②，若，，则 ，故②正确.
对于③，且或，所以“ 且
”是“”的必要不充分条件，故③错误.
对于④，若 ，则， 不一定共线，故④错误.
对于⑤，若A，B，C，D是不共线的四个点，则当时，
可得且 ，此时四边形为平行四边形；
当四边形 为平行四边形时，由相等向量的定义可知 .
所以若A，B，C，D是不共线的四个点，则“”是“四边形
为平行四边形”的充要条件，故⑤正确.综上可知，②⑤正确，共2个.
故选A.
练习册
一、选择题
1.下列说法中正确的是( )
A.两个单位向量一定相等
B.物理学中的重力是向量
C.向量就是有向线段
D.若向量与平行，则与 的方向相同或相反
√
[解析] 两个单位向量可能方向不同，不一定相等，所以选项A不正确；
重力既有大小又有方向，是向量,所以选项B正确;
向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向线段表示,但不能说向量就是
有向线段,所以选项C不正确;
若或为零向量，则满足与平行，但与 的方向不一定相同或相反，
所以选项D不正确.故选B.
2.如图，在平行四边形中，， 分别是
，的中点，则图中所示的向量中与 平行
的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
[解析] 与平行的向量有，， ，共3个．
√
3.[2024·广州实验外语学校高一月考]下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若，则
C.对任意非零向量， 是和它同向的单位向量
D.零向量没有方向
[解析]对于A，当时，任意向量都与共线，则, 不一定共线，A错误；
对于B，向量不能比较大小，B错误；
对于C，对任意非零向量， 是和它同向的单位向量，C正确；
对于D，零向量有方向，其方向是任意的，D错误.故选C.
√
4.如图，在单位圆中，向量,, 是( )
A.有相同起点的向量 B.共线向量
C.模相等的向量 D.相等向量
√
[解析] 对于A，由图可知，,的起点为 ，
的起点为A，故A错误；
对于B，共线向量是方向相同或相反的非零向量，
显然，, 不是共线向量，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，,,的方向不同，所以,, 不是相等向量，
故D错误.故选C.
5.[2024·茂名高新中学高一月考]一架飞机向西飞行 ，再向东
飞行，如果记飞机飞行的路程为，位移为，那么
( )
A. B. C. D.
[解析] 因为一架飞机向西飞行，再向东飞行 ，所以飞
机飞行的路程，位移为向东 ，所以
，所以 .故选A.
√
6.在四边形中,若且,则四边形 一定是
( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
[解析] 因为,所以四边形 是平行四边形,又因为
,所以四边形 一定是菱形.
√
7.民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方
形切割为五个等腰直角三角形、一个正方形和一
个平行四边形，如图所示，则图中与 的模相等
的向量的个数是( )
A.2 B.9 C.5 D.7
[解析] 与的模相等的向量有,,,, ,,,， ，共
9个.
√
8.（多选题）下列说法正确的是( )
A.若与都是单位向量，则
B.只有零向量的模等于0
C.若与是平行向量，则
D.若向量与不共线，则与 都是非零向量
√
√
[解析] 对于A，若与都是单位向量，则与 的模相等，但是方向
不一定相同，故A错误；
对于B，模等于0的向量只有零向量，故B正确；
对于C，若与是平行向量，则，，， 的方向相
同或相反，且,的模不一定相等，故C错误；
对于D，假设与 中至少有一个为零向量，因为零向量与任意向量
都共线，所以与 共线，与题意不符，故假设不成立，故D正确.故选 .
9.（多选题）如图所示,四边形,, 是
全等的菱形,与相交于点 ,则下列结论一定成
立的是( )
A. B.与 共线
C.与共线 D.与 共线
[解析] 三个四边形是全等的菱形,, ,故
与共线,又D,C,三点共线,与共线, ,B,D中的结论一
定成立.故选 .
√
√
√
二、填空题
10.已知，，是不共线的三点，向量与向量 是平行向量，与
是共线向量，则 ___.
[解析] 因为向量与向量是平行向量，所以向量与向量 方向
相同或相反.
因为向量与是共线向量，所以向量与向量 方向相同或相反.
又由，，是不共线的三点，可知向量与向量 不共线，则 .
11.某人从点出发向正东方向行进后到达点 ，再向正南方向
行进后到达点 ，则此人位移的方向是__________.
南偏东
[解析] 如图所示，连接 ，则
，
是 的内角， ，
此人位移的方向是南偏东 .
12.已知四边形是矩形，设点集,,, ，集合
,且，不重合，用列举法表示集合 _________
_________________________________.
,,,,,,,,,,,}
[解析] ,,,，,且，不重合 ，
,,,,,,,,,,, }.
三、解答题
13.如图，，，，分别是四边形 各边的中点，分别指出图中：
（1）与向量 相等的向量；
（2）与向量 平行的向量；
（3）与向量 模相等的向量；
（4）与向量 模相等、方向相反的向量.
解:，，，分别是四边形 各边的中点，
，， ，
， 四边形 是平行四边形.
（1）与向量相等的向量是 .
（2）与向量平行的向量是,,,, .
（3）与向量模相等的向量是,, .
（4）与向量模相等、方向相反的向量是, .
14.一辆汽车从点出发向西行驶了到达 点, 然后改变方向，
沿北偏西 方向行驶了到达 点, 最后又改变方向, 向东行
驶了到达 点．
（1）作出向量，， ;
解：作出向量，， ，如图所示.
（2）求 .
解：由题意知与的方向相反，故，又 ，
四边形 为平行四边形，
.
15.已知在四边形中，且 ，则
该四边形内切圆的面积是____.
[解析] 由可知四边形 为平行四边形，由
，可知四边形为菱形， 为等边三角形.
菱形的内切圆圆心为的中点，设内切圆的半径为 ，则
，所以内切圆的面积 .
16.一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针转
变，继续按直线向前行进1米，再逆时针转变 ，
按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．
（1）作示意图说明当 时，操作几次后赛车的位移为零向量；
解：如图所示，操作8次后赛车的位移为零向量.
（2）按此操作方法使赛车行进一周后能回到出发点， 应满足什么
条件？
解：要使赛车行进一周后能回到出发点，只需赛车的位移为零向量，
按（1）的方式作图，则所作图形是内角为 的正 边形，故
有，得， 为不小于3的整数. 第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.1.1 向量的实际背景与概念
6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量
【课前预习】
知识点一
1.大小 方向 2.大小 方向
知识点二
1.(1)方向 (4)起点、方向、长度 2.(1)长度 方向
3.(1)长度 || (2)0 0 (3)1个单位长度
诊断分析
1.(1)√ (2)√ 2.3
3.解:区别:0与0不同,0表示数量,0表示零向量.联系:|0|=0.
知识点三
1.相同或相反 非零向量 a∥b
2.相等 相同 3.平行向量 共线向量
诊断分析
(1),,,,,, (2)和
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)②③④⑤ [解析] (1)对于A,向量不能比较大小,故A错误;对于B,向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;对于C,相等向量不但模相等,方向也相同,而模为1的向量的方向不一定相同,故C错误;对于D,零向量与任意向量平行,故D错误.故选B.
(2)是向量的有②③④⑤,是数量的有①⑥⑦.
变式 ACD [解析] 和长度相等,方向相反,故A正确;单位向量的方向不确定,故起点相同时,终点不一定相同,故B错误;向量的长度可以比较大小,即模可以比较大小,故C正确;向量只与长度和方向有关,与位置无关,故任一非零向量都可以平行移动,故D正确.故选ACD.
探究点二
例2 解:(1)“马”从A处走到B处的一种情况如图所示(答案不唯一).
(2)“马”在C处走了“一步”的情况一共有8种,如图所示.
变式 解:(1)作出向量,,,如图所示.
(2)连接BD.由题意得△BCD是直角三角形,其中∠BDC=90°,BC=5 m,CD=5 m,所以BD==5(m).△ABD是直角三角形,其中∠ABD=90°,AB=3 m,BD=5 m,所以AD==(m),故||= m.
探究点三
例3 AC [解析] 因为a,b,c为非零向量,且a∥b,所以a与b方向相同或相反,又b∥c,所以b与c方向相同或相反,因此a与c方向相同或相反,所以a∥c,故A正确;两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上,故B不正确;易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量,故D不正确.故选AC.
例4 解:(1)=,=.
(2)与共线的向量为,,.
(3)与的模相等的向量为,,,,,,.
(4)不相等.
变式 (1) (2), (3),,,,
[解析] (1)因为四边形AOCD为平行四边形,所以AD∥OC,且AD=OC.由图可知,与向量相等的向量有.
(2)由已知可得,OA∥CD,且OA=CD,OA∥BE,且OA=BE,所以与向量相反的向量有,.
(3)因为O是正三角形ABC的中心,所以OA=OB=OC,又OA=CD=BE,OC=AD,所以与向量的模相等的向量有,,,,. 第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.1.1 向量的实际背景与概念
6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量
1.B [解析] 两个单位向量可能方向不同,不一定相等,所以选项A不正确;重力既有大小又有方向,是向量,所以选项B正确;向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线段,所以选项C不正确; 若a或b为零向量,则满足a与b平行,但a与b的方向不一定相同或相反,所以选项D不正确.故选B.
2.C [解析] 与平行的向量有,,,共3个.
3.C [解析] 对于A,当b=0时,任意向量都与b共线,则a,c不一定共线,A错误;对于B,向量不能比较大小,B错误;对于C,对任意非零向量a,是和它同向的单位向量,C正确;对于D,零向量有方向,其方向是任意的,D错误.故选C.
4.C [解析] 对于A,由图可知,,的起点为O,的起点为A,故A错误;对于B,共线向量是方向相同或相反的非零向量,显然,,不是共线向量,故B错误;对于C,||=||=||=1,故C正确;对于D,,,的方向不同,所以,,不是相等向量,故D错误.故选C.
5.A [解析] 因为一架飞机向西飞行400 km,再向东飞行500 km,所以飞机飞行的路程s=400+500=900(km),位移为向东100 km,所以|a|=100 km,所以s-|a|=900-100=800(km).故选A.
6.C [解析] 因为=,所以四边形ABCD是平行四边形,又因为||=||,所以四边形ABCD一定是菱形.
7.B [解析] 与的模相等的向量有,,,,,,,,,共9个.
8.BD [解析] 对于A,若a与b都是单位向量,则a与b的模相等,但是方向不一定相同,故A错误;对于B,模等于0的向量只有零向量,故B正确;对于C,若a与b是平行向量,则a≠0,b≠0,a,b的方向相同或相反,且a,b的模不一定相等,故C错误;对于D,假设a与b中至少有一个为零向量,因为零向量与任意向量都共线,所以a与b共线,与题意不符,故假设不成立,故D正确.故选BD.
9.ABD [解析] ∵三个四边形是全等的菱形,∴||=||,AB∥CD∥FH,故与共线,又D,C,E三点共线,∴与共线,∴A,B,D中的结论一定成立.故选ABD.
10.0 [解析] 因为向量m与向量是平行向量,所以向量m与向量方向相同或相反.因为向量m与是共线向量,所以向量m与向量方向相同或相反.又由A,B,C是不共线的三点,可知向量与向量不共线,则m=0.
11.南偏东30° [解析] 如图所示,连接AC,则tan∠BAC===,∵∠BAC是△ABC的内角, ∴∠BAC=60°,∴此人位移的方向是南偏东30°.
12.{,,,,,,,,,,,} [解析] ∵M={A,B,C,D},T={|P,Q∈M且P,Q不重合},∴T={,,,,,,,,,,,}.
13.解:∵E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,
∴AC=2EF=2HG,BD=2HE=2FG,AC∥EF∥HG,BD∥HE∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.
(1)与向量相等的向量是.
(2)与向量平行的向量是,,,,.
(3)与向量模相等的向量是,,.
(4)与向量模相等、方向相反的向量是,.
14.解:(1)作出向量,,,如图所示.
(2)由题意知与的方向相反,故∥,又||=||,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∴||=||=200 km.
15.π [解析] 由=可知四边形ABCD为平行四边形,由||=||=||,可知四边形ABCD为菱形,△ABD为等边三角形.菱形ABCD的内切圆圆心为BD的中点,设内切圆的半径为r,则r=||sin 60°=,所以内切圆的面积S=πr2=π.
16.解:(1)如图所示,操作8次后赛车的位移为零向量.
(2)要使赛车行进一周后能回到出发点,只需赛车的位移为零向量,按(1)的方式作图,则所作图形是内角为180°-α的正n边形,故有n(180°-α)=(n-2)180°,得α=,n为不小于3的整数.第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.1.1 向量的实际背景与概念
6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量
【学习目标】
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量(共线向量)的意义和两个向量相等的含义.
2.能够在熟悉的实际问题情境中,理解平面向量的几何表示和基本要素.
◆ 知识点一 向量的概念
1.向量:既有 又有 的量叫作向量.
2.数量:只有 没有 的量称为数量.
◆ 知识点二 向量的几何表示
1.有向线段
(1)有向线段:具有 的线段叫作有向线段.
(2)表示方法:以A为起点,B为终点的有向线段记作,如图.
(3)有向线段的长度:线段AB的长度也叫作有向线段的长度,记作||.
(4)有向线段包含三个要素: .
2.向量的表示方法
(1)向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的 表示向量的大小,有向线段的 表示向量的方向.如,.
(2)向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母a,b,c,…表示,书写时,用带箭头的小写字母,,,…表示.
3.向量的相关概念
(1)向量的模:向量的大小称为向量的 (或称模),记作 .
(2)零向量:长度为 的向量叫作零向量,记作 .
(3)单位向量:长度等于 的向量叫作单位向量.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)有向线段可以表示向量. ( )
(2)在同一平面内,把所有长度为1的向量的起点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹是半径为1的圆. ( )
2.在如图的方格纸上,每个小正方形的边长为1,则||= .
3.0与0有什么区别和联系
◆ 知识点三 相等向量与共线向量
1.平行向量:方向 的 叫作平行向量.向量a与b平行,记作 .规定:零向量与任意向量平行.
2.相等向量:长度 且方向 的向量叫作相等向量.向量a与b相等,记作a=b.
3.共线向量:任一组 都可以平移到同一条直线上,因此,平行向量也叫作 .
【诊断分析】 如图所示,已知四边形ABCD与四边形ABDE都是平行四边形.
(1)图中与向量共线的向量有 ;
(2)图中与向量相等的向量有 .
◆ 探究点一 向量的基本概念
例1 (1)下列说法正确的是 ( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.向量的模可以比较大小
C.模为1的向量都是相等向量
D.因为零向量的方向不确定,所以零向量不与任意向量平行
(2)给出下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中是向量的有 .(填序号)
变式 (多选题)下列说法正确的是 ( )
A.向量与向量长度相等
B.起点相同的单位向量,终点必相同
C.向量的模可以比较大小
D.任一非零向量都可以平行移动
[素养小结]
解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度;零向量的核心是方向没有限制,长度是0;规定零向量与任意向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
◆ 探究点二 向量的几何表示
例2 如图是中国象棋的半个棋盘示意图,“马走日”是象棋中“马”的走法,“马”可从A跳到A1,也可从A跳到A2,用向量,表示“马”走了“一步”,试在图中画出:
(1)“马”从A处走到B处的一种情况;
(2)“马”在C处走了“一步”的所有情况.
变式 某人从A点出发向东走了3 m到达B点,然后改变方向沿东北方向走了5 m到达C点,到达C点后又改变方向向西走了5 m到达D点.(规定小方格的边长为1 m)
(1)在图中作出向量,,;
(2)求的模.
[素养小结]
在画图时,向量是用有向线段来表示的,用有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.应该注意的是有向线段是向量的表示,并不是说向量就是有向线段.
◆ 探究点三 相等向量与共线向量
例3 (多选题)下列说法中正确的是 ( )
A.已知a,b,c为非零向量,若a∥b,b∥c,则a∥c
B.任意两个相等的非零向量的起点与终点总是一个平行四边形的四个顶点
C.相等的非零向量必是共线向量
D.有相同起点的两个非零向量一定不是平行向量
例4 如图所示,点O为正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形.在图中所示的向量中:
(1)分别写出与,相等的向量.
(2)写出与共线的向量.
(3)写出与的模相等的向量.
(4)向量与是否相等
变式 如图所示,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形.
(1)与向量相等的向量有 ;
(2)与向量相反的向量有 ;
(3)与向量的模相等的向量有 .(填图中所画出的向量)
[素养小结]
判断一组向量是否相等,关键是看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终点的位置无关.判断一组向量是否共线,只需判断它们是否同向或反向.第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
6.1.1 向量的实际背景与概念
6.1.2 向量的几何表示
6.1.3 相等向量与共线向量
一、选择题
1.下列说法中正确的是 ( )
A.两个单位向量一定相等
B.物理学中的重力是向量
C.向量就是有向线段
D. 若向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
2.如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则图中所示的向量中与平行的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3.[2024·广州实验外语学校高一月考] 下列说法正确的是 ( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a=b,则2a<3b
C.对任意非零向量a,是和它同向的单位向量
D.零向量没有方向
4.如图,在单位圆O中,向量,,是 ( )
A.有相同起点的向量
B.共线向量
C.模相等的向量
D.相等向量
5.[2024·茂名高新中学高一月考] 一架飞机向西飞行400 km,再向东飞行500 km,如果记飞机飞行的路程为s,位移为a,那么s-|a|= ( )
A.800 km B.700 km
C.600 km D.500 km
6.在四边形ABCD中,若||=||且=,则四边形ABCD一定是 ( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
7.民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形,如图所示,则图中与的模相等的向量的个数是 ( )
A.2 B.9
C.5 D.7
8.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.若a与b都是单位向量,则a=b
B.只有零向量的模等于0
C.若a与b是平行向量,则a=b
D.若向量a与b不共线,则a与b都是非零向量
9.(多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,DCGH是全等的菱形,HE与CG相交于点M, 则下列结论一定成立的是 ( )
A.||=||
B.与共线
C.与共线
D.与共线
二、填空题
10.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .
11.某人从点A出发向正东方向行进100 m后到达点B,再向正南方向行进100 m后到达点C,则此人位移的方向是 .
12.已知四边形ABCD是矩形,设点集M={A,B,C,D},集合T={|P,Q∈M且P,Q不重合},用列举法表示集合T=
.
三、解答题
13.如图,E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,分别指出图中:
(1)与向量相等的向量;
(2)与向量平行的向量;
(3)与向量模相等的向量;
(4)与向量模相等、方向相反的向量.
14.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点, 然后改变方向,沿北偏西40°方向行驶了200 km到达C点, 最后又改变方向, 向东行驶了100 km到达D点.
(1) 作出向量,,;
(2) 求||.
15.已知在四边形ABCD中,=且||=||=||=2,则该四边形内切圆的面积是 .
16.一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米,逆时针转变α(0°<α<180°),继续按直线向前行进1米,再逆时针转变α,按直线向前行进1米,按此方法继续操作下去.
(1)作示意图说明当α=45°时,操作几次后赛车的位移为零向量;
(2)按此操作方法使赛车行进一周后能回到出发点,α应满足什么条件
