(共62张PPT)
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
探究点一 向量加法的三角形法则与平行
四边形法则
探究点二 向量的加法运算及运算律
探究点三 向量加法的实际应用
【目标认知】
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运
算规则,并理解其几何意义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形
法则作出两个向量的和.
2.能够在数学问题情境中,掌握向量加法的交换律与结合律,并会
用它们进行向量运算.
知识点一 向量加法的定义及运算法则
1.向量加法的定义
求____________的运算，叫作向量的加法.
两个向量和
2.向量加法的运算法则
三角形法则 平行四边形法则
前提 已知非零向量， 已知不共线的两个向量，
作法 在平面内任取一点 ，作 ， ，则 ______ 作，，以，
为邻边作，连接 ，则
三角形法则 平行四边形法则
结论 向量叫作与 的和， 记作 ，即 对角线就是与 的和
图形 __________________________________________ ______________________________________________________________
续表
三角形法则 平行四边形法则
特例 对于零向量与任意向量，我们规定____________ ___
三角 不等 式 ，当且仅当，中有一个是零向量或 , 是方向相同的非零向量时，等号成立
续表
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）两个向量相加的结果可能是一个数量．( )
×
（2）两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
×
（3）任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( )
×
2.已知向量表示“向东航行”，向量表示“向南航行 ”，则
表示什么？
解：表示“向东南航行 ”.
知识点二 向量加法的运算律
运算律 交换律 ______
结合律 ___________
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） .( )
√
（2） .( )
√
（3） .( )
√
（4） .( )
√
探究点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
例1（1） 如图，已知向量, ，用向量加法的三角形法则作出①②
③中的向量 .（不写作法，画出图形即可）
① ② ③
解：①如图.
②如图.
③如图.
（2）已知向量, （如图），请用向量加法的平行四边形法则作出
向量 .（不写作法，画出图形即可）
解：如图.
变式 如图所示,为正六边形 的中心,化简下列各式：
（1） ____;
[解析] 根据向量加法的三角形法则可得 .
（2） ____;
[解析] 由图知,四边形为平行四边形, .
（3） ____;
[解析] 由图知，， .
（4） ____;
[解析] 由图知,, .
（5） ___.
[解析] ，，又 ，
.
［素养小结］
（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即若第
一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点
为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量为两向量的和.
（2）向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向
量是从同一点出发的不共线向量．
拓展 当,满足什么条件时， ？
解：当向量，共线且同向时， .
探究点二 向量的加法运算及运算律
例2 化简：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
变式 如图，在中，，，分别是 ，
，的中点，为，， 的交点，化简
下列各式：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
［素养小结］
解决向量的加法运算问题时应注意两点：
（1）可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．
（2）要灵活应用向量加法的运算律，注意各向量的起、终点及向量
起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将 写成0.
拓展 已知点为外接圆的圆心，且 ，则
的内角 等于____.
[解析] 由得 ，由向量加法的几何
意义知四边形为平行四边形，又 ，所以四边形
为菱形，所以是正三角形，所以 ，所以
.
探究点三 向量加法的实际应用
例3 一条河的宽度为，一艘船从 处出发垂直到达河正对岸的
处，船航行的速度大小为，水流的速度大小为 ，
则船到达 处需要多长时间？
解：设船航行的速度为，水流的速度为，船的实际速度为 ，
则 ，如图所示.
, ，
，
所需时间， 船到达 处需要 .
变式 轮船从港出发，沿北偏东 方向行驶了到达 处，再
从处出发，沿正北方向行驶了到达处，求此时轮船与 港的
相对位置．
解：如图所示，设表示轮船从 港出发沿北偏东
方向行驶到达处，表示从 处出发沿
正北方向行驶到达处，连接 ，则
.
由题意可知 ， ，
所以， ，
故此时轮船位于港北偏东 方向，且距离港 处.
［素养小结］
应用向量解决实际问题的基本步骤
1.向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．
区别：①三角形法则中强调的是“首尾相连”，平行四边形法则中强
调的是“共起点”；②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，
而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．
联系：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形
法则是统一的．
2.向量加法的多边形法则: 个向量经过平移,顺次使前一个向量的终
点与后一个向量的起点重合,组成一组向量折线,这 个向量的和等于
折线起点到终点的向量.向量加法的多边形法则实质就是三角形法则
的连续应用.
3.向量与非零向量, 的模及方向的关系:
①当与不共线时,的方向与,都不相同,且 .
②当与同向时,,,的方向相同,且 .
③当与反向时,若,则与 的方向相同,且
.
1.利用加法法则求向量的和
（1）在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”.
（2）向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”.
例1 计算：
（1） ____.
[解析] .
（2） ___.
0
[解析] .
解：方法一（三角形法则）：如图①，作， ，则
，再作，则 ，
即 .
2.应用三角形法则与平行四边形法则作向量的和
例2 如图所示，已知向量，，不共线，求作向量 .
方法二（平行四边形法则）：如图②，，， 不共线，
在平面内任取一点，作， ，
以，为邻边作平行四边形 ，
连接，则，再作，以， 为邻边作平行四
边形，连接，则 .
3.用向量证明几何问题
例3 已知在四边形中，，分别为, 的中点，求证：
.
证明：在平面内取点，连接，，，，， ，
则, ,
.
，分别为，的中点，, ,
,得证.
练习册
一、选择题
1.设向量，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由向量,，得 .故选A.
√
2.化简： 等于( )
A. B. C. D.
[解析] .
√
3.某人先向东走，位移记为，接着再向北走，位移记为 ，
则 表示( )
A.向东南走 B.向东北走
C.向东南走 D.向东北走
[解析] 由题意得，表示先向东走，再向北走 ，即向
东北走 .故选B.
√
4.已知四边形是梯形，，对角线与相交于点 ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] .故选B.
√
5.若在中，，，且， ，
则 的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
[解析] 因为，， ，
所以，所以 为等腰直角三角形.故选D.
√
6.已知点为所在平面内一点，当成立时，点
位于( )
A.的边上 B.的 边上
C.的内部 D. 的外部
[解析] 如图，根据向量加法的平行四边形法则
及，可知点在 的外部.故
选D.
√
7.已知四边形的对角线与相交于点,且 ,
,则四边形 一定为( )
A.正方形 B.梯形 C.平行四边形 D.菱形
[解析] ，,且， ，
，且， 四边形 一定为平行四
边形.
√
8.（多选题）设， 是任一非零向量，
则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题意，
，易知A,
正确，B错误；平面向量不能比较大小，故D错误.故选 .
√
√
9.（多选题）已知四边形 为平行四边形，则下列结论正确的是
( )
A. B.
C. D.
[解析] 因为四边形是平行四边形，所以 ，
, ,
.故选 .
√
√
二、填空题
10.化简下列各式：； ；
；.其中结果为 的个数
是___.
2
[解析] 对于①， ；
对于②，
；
对于③，
；
对于④，
.
综上可知，结果为 的为①④，共2个.
11.在边长为2的正六边形中， ___.
4
[解析] 由题意得 ，所以
.
12.一艘船在静水中航行速度的大小为 ，河水的流速大小为
，则船实际航行速度的大小（单位： ）的取值范围是
______.
[解析] 设该船实际航行的速度为 ，因为船的实际航行速度为静水
中的航行速度与水流速度的合速度，所以
，故 ，则
，所以船实际航行速度的大小的取值范围是 .
三、解答题
13.如图所示，求：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
14.如图,已知,,分别为的边,, 的
中点.求证: .
证明:连接,由题意知, ,
, .
由,,分别为的边,, 的中点可知,
,,
.
15.设，，为非零向量，若，则 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] ,,分别为，， 方向上的单位向量，则
，当且仅当，， 方向都相同时，等号成立.
作， ，，
当 时，如图所示.
以，为邻边作平行四边形 ，
连接，则，且四边形为菱形， ，
所以为等边三角形，所以，
又因为， ，所以由图可知，
即 .
综上所述， .故选C.
16.已知桥是南北方向的，受落潮影响，海水以 的速度向东
流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知工作艇
在静水中的速度大小是 ，若工作艇要沿着与桥平行的方向由
南向北航行，则工作艇的航向如何确定？
解：如图，设工作艇在静水中的航行速度为
，水流速度为 ，工作艇的实际航行速度
为，连接， .
由题意知，， ，
四边形 为平行四边形，
，又 ，
在中， ，
则工作艇的航向为北偏西 .6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
【课前预习】
知识点一
1.两个向量和 2.a+b a+0 0+a a
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.解:a+b表示“向东南航行 km”.
知识点二
b+a a+(b+c)
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)①如图.
②如图.
③如图.
(2)如图.
变式 (1) (2) (3) (4) (5)0
[解析] (1)根据向量加法的三角形法则可得+=.
(2)由图知,四边形OABC为平行四边形,∴+=.
(3)由图知,=,∴+=+=.
(4)由图知,=,∴+=+=.
(5)∵=,∴+=+,又=,∴+=+=0.
拓展 解:当向量a,b共线且同向时,|a+b|=|a|+|b|.
探究点二
例2 解:(1)+=+=.
(2)++=++=+=0.
(3)(+)+(+)=(+)+(+)=+=.
(4)+(+)+=(+)+(+)=+=0.
变式 解:(1)++=+=.
(2)++=(+)+=+=.
(3)++=++=+=.
拓展 30° [解析] 由++=0得+=,由向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形,又OA=OB=OC,所以四边形OACB为菱形,所以△OAC是正三角形,所以∠CAO=60°,所以∠CAB=∠CAO=30°.
探究点三
例3 解:设船航行的速度为v1,水流的速度为v2,船的实际速度为v实际,
则v实际=v1+v2,如图所示.
∵|v1|=20 km/h,|v2|=12 km/h,∴|v实际|==
=16(km/h),∴所需时间t==0.05(h),∴船到达B处需要0.05 h.
变式 解:如图所示,设表示轮船从A港出发沿北偏东60°方向行驶40 km到达B处,表示从B处出发沿正北方向行驶40 km到达C处,连接AC,则=+.由题意可知||=||=40 km,∠ABC=120°,
所以||=40 km,∠CAB=30°,故此时轮船位于A港北偏东30°方向,且距离A港40km处.6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
1.A [解析] 由向量=a,=b,得=+=a+b.故选A.
2.D [解析] ++=+=.
3.B [解析] 由题意得,a+b表示先向东走3 km,再向北走3 km,即向东北走3 km.故选B.
4.B [解析] +++=+++=++=+=.故选B.
5.D [解析] 因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,所以||2+||2=||2,所以△ABC为等腰直角三角形.故选D.
6.D [解析] 如图,根据向量加法的平行四边形法则及+=,可知点P在△ABC的外部.故选D.
7.C [解析] ∵=+,=+,且=,=,∴=,∴AB∥CD且AB=CD,∴四边形ABCD一定为平行四边形.
8.AC [解析] 由题意,a=+++=++=+=0,易知A, C正确,B错误;平面向量不能比较大小,故D错误.故选AC.
9.AC [解析] 因为四边形ABCD是平行四边形,所以+=,+≠,+=+==,+=++=+2≠.故选AC.
10.2 [解析] 对于①,++=+=0;对于②,(+)++=+++=+=;对于③,+++=(+)+(+)=+0=;对于④,+++=(+)+(+)=+=0.综上可知,结果为0的为①④,共2个.
11.4 [解析] 由题意得++=++=,所以|++|=||=4.
12.[3,7] [解析] 设该船实际航行的速度为v,因为船的实际航行速度为静水中的航行速度与水流速度的合速度,所以||v静|-|v水||≤|v|≤|v静|+|v水|,故5-2≤|v|≤5+2,则3≤|v|≤7,所以船实际航行速度的大小的取值范围是[3,7].
13.解:(1)a+d=d+a=+=.
(2)c+b=+=.
(3)e+c+b=e+(c+b)=+=.
(4)c+f+b=c+b+f=+=.
14.证明:连接EF,由题意知,=+,=+,=+.
由D,E,F分别为△ABC的边BC,AC,AB的中点可知,=,=,∴++=(+)+(+)+(+)=(+++)+(+)=(++++)+0=++=++=+=0.
15.C [解析] ,,分别为a,b,c方向上的单位向量,则|p|=≤3,当且仅当a,b,c方向都相同时,等号成立.作=,=,=,当∠AOB=∠BOC=∠COA=时,如图所示.以OA,OB为邻边作平行四边形OAEB,连接OE,则+=,且四边形OAEB为菱形,∠AOE=,所以△AOE为等边三角形,所以||=1,又因为∠AOC=,||=1,所以由图可知+=0,即|p|=|++|=0.综上所述,0≤|p|≤3.故选C.
16.解:如图,设工作艇在静水中的航行速度为,水流速度为,工作艇的实际航行速度为,连接AD,BD.
由题意知,||=12.5,||=25,
∵四边形OADB为平行四边形,
∴||=||,又∵OD⊥BD,
∴在Rt△OBD中,∠BOD=30°,
则工作艇的航向为北偏西30°.6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
【目标认知】
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则,并理解其几何意义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和.
2.能够在数学问题情境中,掌握向量加法的交换律与结合律,并会用它们进行向量运算.
◆ 知识点一 向量加法的定义及运算法则
1.向量加法的定义
求 的运算,叫作向量的加法.
2.向量加法的运算法则
三角形法则 平行四边形法则
前提 已知非零向量a,b 已知不共线的两个向量a,b
作法 在平面内任取一点A,作=a,=b,则= 作=a,=b,以OA,OB为邻边作 OACB,连接OC,则=+=a+b
结论 向量叫作a与b的和,记作a+b,即a+b=+= 对角线就是a与b的和
图形
特例 对于零向量与任意向量a,我们规定 = =
三角 不等式 |a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量相加的结果可能是一个数量. ( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. ( )
2.已知向量a表示“向东航行1 km”,向量b表示“向南航行1 km”,则a+b表示什么
◆ 知识点二 向量加法的运算律
运算律 交换律 a+b=
结合律 (a+b)+c=
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)0+a=a+0=a.( )
(2)(a+b)+c=a+(c+b). ( )
(3)+=0. ( )
(4)+=. ( )
◆ 探究点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
例1 (1)如图,已知向量a,b,用向量加法的三角形法则作出①②③中的向量a+b.(不写作法,画出图形即可)
① ② ③
(2)已知向量a,b(如图),请用向量加法的平行四边形法则作出向量a+b.(不写作法,画出图形即可)
变式 如图所示,O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列各式:
(1)+= ;
(2)+= ;
(3)+= ;
(4)+= ;
(5)+= .
[素养小结]
(1)在使用向量加法的三角形法则时,要注意“首尾相接”,即若第一个向量的终点与第二个向量的起点重合,则以第一个向量的起点为起点,并以第二个向量的终点为终点的向量为两向量的和.
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”,即两个向量是从同一点出发的不共线向量.
拓展 当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a|+|b|
◆ 探究点二 向量的加法运算及运算律
例2 化简:(1)+;
(2)++;
(3)(+)+(+);
(4)+(+)+.
变式 如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,O为AD,BE,CF的交点,化简下列各式:
(1)++;
(2)++;
(3)++.
[素养小结]
解决向量的加法运算问题时应注意两点:
(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.
(2)要灵活应用向量加法的运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0.
拓展 已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于 .
◆ 探究点三 向量加法的实际应用
例3 一条河的宽度为800 m,一艘船从A处出发垂直到达河正对岸的B处,船航行的速度大小为20 km/h,水流的速度大小为12 km/h,则船到达B处需要多长时间
变式 轮船从A港出发,沿北偏东60°方向行驶了40 km到达B处,再从B处出发,沿正北方向行驶了40 km到达C处,求此时轮船与A港的相对位置.
[素养小结]
应用向量解决实际问题的基本步骤6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
一、选择题
1.设向量=a,=b,则= ( )
A.a+b B.a-b
C.-a-b D.-a+b
2.化简:++等于 ( )
A. B.
C.0 D.
3.某人先向东走3 km,位移记为a,接着再向北走3 km,位移记为b,则a+b表示 ( )
A.向东南走3 km B.向东北走3 km
C.向东南走3 km D.向东北走3 km
4.已知四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与 BD相交于点 O,则+++= ( )
A. B.
C. D.
5.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是 ( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
6.已知点P为△ABC所在平面内一点,当+=成立时,点P位于 ( )
A.△ABC的AB边上
B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部
D.△ABC的外部
7.已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且=,=,则四边形ABCD一定为 ( )
A.正方形 B.梯形
C.平行四边形 D.菱形
8.(多选题)设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则下列结论中正确的是 ( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.a+b<|a|+|b|
9.(多选题)已知四边形ABCD为平行四边形,则下列结论正确的是 ( )
A.+=
B.+=
C.+=
D.+=
二、填空题
10.化简下列各式:①++;②(+)++;③+++;④+++.其中结果为0的个数是 .
11.在边长为2的正六边形ABCDEF中,|++|= .
12.一艘船在静水中航行速度的大小为5 km/h,河水的流速大小为2 km/h,则船实际航行速度的大小(单位:km/h)的取值范围是 .
三、解答题
13.如图所示,求:
(1)a+d;(2)c+b;(3)e+c+b;(4)c+f+b.
14.如图,已知D,E,F分别为△ABC的边BC,AC,AB的中点.求证:++=0.
15.设a,b,c为非零向量,若p=++,则|p|的取值范围为 ( )
A.[0,1] B.[1,2]
C.[0,3] D.[1,3]
16.已知桥是南北方向的,受落潮影响,海水以12.5 km/h的速度向东流,现有一艘工作艇,在海面上航行检查桥墩的状况,已知工作艇在静水中的速度大小是25 km/h,若工作艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行,则工作艇的航向如何确定
