(共55张PPT)
6.2 平面向量的运算
6.2.2 向量的减法运算
探究点一 向量的减法及其几何意义
探究点二 向量加减法的基本运算
探究点三 向量减法及其几何意义的应用
【学习目标】
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及运算规
则,并理解其几何意义.
2.会作出两个向量的差.
知识点一 相反向量
定义
性质
零向量的相反向量仍是零向量
相等
相反
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）相反向量就是方向相反的向量．( )
×
（2）向量与 互为相反向量．( )
√
（3）， .( )
√
知识点二 向量减法及其几何意义
1.向量减法的定义
向量加上的__________,叫作与的差,即 _________.求两
个向量差的运算叫作向量的______.
相反向量
减法
2.向量减法的几何意义
如图所示,已知向量, ,在平面内
任取一点,作, ,则
向量的终点
向量的终点
____,即 可以表示为从_____________指向_____
________的向量.
3.与, 之间的关系
（1）对于任意向量,，都有 __________ _________；
（2）当,共线且同向时，有 _________或_________；
（3）当,共线且反向时，有 _________.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）两个向量的差仍是一个向量．( )
√
（2）向量和向量的差与向量和向量 的差互为相反向量．( )
√
2.如图所示, 在四边形中,设, ,
,则向量可用,, 表示为__________.
[解析] 连接 ，则
.
探究点一 向量的减法及其几何意义
例1 如图,已知向量,,不共线,求作向量 .
解：方法一：如图①，在平面内任取一点，作， ，
，连接，则 .
过点作，且，连接，则 ，
所以 .
方法二：如图②，在平面内任取一点，作， ，
连接，则，再作，连接，
则 .
方法三：如图③，在平面内任取一点，作， ，连接
，则，再作，连接，则 .
变式 如图所示，已知向量，，，，求作向量， .
解：如图所示，在平面内任取一点，作 ，
，，，则 ，
.
［素养小结］
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如，可以先作， ，
然后作 即可．
（2）也可以直接用向量减法的几何意义，即使两向量的起点重合，
则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．
探究点二 向量加减法的基本运算
例2（1） 下列不能化简为 的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，故A不符合题意；
对于B， ，故B
不符合题意；
对于C， ，
故C不符合题意；
对于D， ，故D符合题意.故选D.
√
（2）化简：
① ；
解：方法一:原式
.
方法二：原式
.
方法三:设是平面内任意一点，连接，，， ，则原式
.
② ．
解： .
变式 化简：
（1） ___；
[解析]
.
（2） ___；
[解析]
.
（3） _____.
[解析] .
［素养小结］
（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和；
②起点相同且为差．
做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．
探究点三 向量减法及其几何意义的应用
例3 如图所示，在平行四边形中，， 分
别为边和的中点，为与 的交点.
（1）若，则四边形
是什么特殊的平行四边形？说明理由.
解：由条件知 ，
即，又四边形是平行四边形，故四边形 是菱形.
（2）化简 ，并在图中作出表示该化简结果的向量.
解：连接 ，由平行四边形及三角形中位线
的性质可知 ，
所以 .
作出向量 ，如图所示.
变式（1） 已知平面内的四边形和点,设, ,
,,若,试判断四边形 的形状.
解：，即 ，
，即，
且 ，故四边形 是平行四边形.
（2）已知非零向量，满足， ，且
，求 的值．
解：设，，连接，则.以， 为
邻边作，连接，则 .
， ，
， 平行四边形是矩形．
矩形的对角线相等，，即 .
［素养小结］
向量减法的几何意义：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相
同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点字母，以被减
向量的终点字母为终点字母.此类问题要根据图形的几何性质,运用向
量的平行四边形法则和三角形法则解题，若题目中遇到共起点的向
量，则常常创造条件作差，要特别注意向量的方向.
1.向量的减法运算
（1）相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，
相反向量必为平行向量．
（2）向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就
可以把减法化为加法.在用三角形法则作向量减法时,记住“连接两向
量的终点,箭头指向被减向量”即可.向量减法的三角形法则可简记为:
共起点，连终点，指向被减.
（3）以向量,为邻边作平行四边形 ，则
，， .这一结论在以后应用非常广
泛，应该加强理解并记住.
2.，， 三者的大小关系：
.
（1）当向量与 共线时：
①当两个非零向量与同向时， ；
②当两个非零向量与反向时， ；
③当与中至少有一个为零向量时， .
（2）当两个非零向量与不共线时，如在中， ，
，则 ，根据三角形中任意两边之差总
小于第三边，任意两边之和总大于第三边，可得
.
综上可知，对任意的向量与都有 .
当与同向或与中至少有一个为零向量时，
中的等号成立；当与反向或与 中至少有一个为零向量时，
中的等号成立.
3.成立的充要条件是与同向或与 中至少有
一个为零向量;
成立的充要条件是与反向或与 中至少有
一个为零向量;
成立的充要条件是与反向或与 中至少有一
个为零向量;
成立的充要条件是与同向或与 中至少有
一个为零向量.
1.向量的减法运算
向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算,可以灵活转化,减去一
个向量等于加上这个向量的相反向量.
例1 化简下列各式:
（1） ；
解： .
（2） .
解： .
2.利用已知向量表示其他向量
解决此类题目要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和
三角形法则，要将向量运算的平行四边形法则、三角形法则与向量
加减法运算的几何意义相结合,运算过程中要注意向量的起点与终点.
例2 如图所示，已知平行四边形内有一点 ，
若，，，试用向量，，
表示 .
解：在中， .
在中， .
在平行四边形中，因为 ，
所以，即 .
3.向量，的模与 的模之间满足
，应用此结论时要注意等号成立的条件．
例3 已知，，求 的取值范围．
解： ，
且，， .
故的取值范围是 ．
练习册
一、选择题
1.若,, 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 易知 ,只有选项B符合题意,故选B.
√
2.如图，已知平行四边形的对角线 和
交于点，设，，则 可
以表示为( )
A. B. C. D.
[解析] 在平行四边形中，依题意得 ，而
，所以 .故选D.
√
3.[2024·湖南衡阳高一期中] ( )
A. B. C. D.
[解析] 原式
.故选A.
√
4.若，，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为 ，所以
，即 .故选C.
√
5.如图，记向量，， ，则
向量可以用，， 表示为( )
A. B.
C. D.
[解析] 由题图可知，
.故选C.
√
6.如图所示，，是的边 上的两个
点，且，则化简
的结果为( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
.故
选A.
√
7.已知任意两个非零向量, ,则( )
A. B.
C. D.
[解析] 若, 为共线向量且方向相同,则；
若, 为共线向量且方向相反, 则.
若,不共线,令 , ,如图所示，连接，
则, .
故 .故选D.
√
8.（多选题）[2024·山东泰安高一期中] 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] 对于A， ，所以A正确；
对于B， ，所以B错误；
对于C， ，所以C正确；
对于D， ，
所以D错误. 故选 .
√
√
9.（多选题）已知为等腰直角三角形，且 ，则有
( )
A.
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 由题可知且，则以， 为邻边的平行四
边形是正方形，其对角线相等，根据向量加、减法的运算法则可知
，故A正确；
， ，所以，故B正确；
，，所以 ，故C正确；
，， ，由条件
可知，即 ，
故D错误.故选 .
二、填空题
10. ____.
[解析] .
11.如图所示，已知为平行四边形内一点，， ,
，则 __________.
[解析] 由题意，在平行四边形中，， ,
，, ，
.
12.已知，，则 的取值范围为 _______，
的取值范围为_______.
[解析] 因为，且 ,
，所以，所以 的取值范围为
.
因为，且 , ，
所以，所以 的取值范围为 .
三、解答题
13.化简：
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） .
解： .
14.如图,在五边形中,若四边形是平行四边形,且 ,
,,试用,,表示向量,,,及 .
解： 四边形为平行四边形, ,
, ,
, .
15.若是 所在平面内一点，且满足
，则 是______三角形.
直角
[解析] 因为 ，
，且 ，
所以，所以以， 为邻边的平行四边形的
两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以 ，
所以 是直角三角形.
16.已知是等腰直角三角形， ，是斜边 的中
点，设， .求证：
（1） ；
证明：因为是等腰直角三角形， ，所以 ，
又是斜边的中点，所以 .
因为，且，所以 .
（2） .
证明： 因为是斜边的中点，所以 ，所以
，又
，所以 .6.2.2 向量的减法运算
【课前预习】
知识点一
相等 相反 a 0 -b -a 0
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
知识点二
1.相反向量 a+(-b) 减法
2. 向量b的终点 向量a的终点
3.(1)||a|-|b|| |a|+|b| (2) |a|-|b| |b|-|a|
(3)|a|+|b|
诊断分析
1.(1)√ (2)√
2.a+c-b [解析] 连接AC,则=-=+-=a+c-b.
【课中探究】
探究点一
例1 解:方法一:如图①,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,连接BC,则=b-c.
过点A作AD∥BC,且AD=BC,连接OD,则=b-c,
所以=+=a+b-c.
方法二:如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,
连接OB,则=a+b,再作=c,连接CB,则=a+b-c.
方法三:如图③,在平面内任取一点O,作=a,=b,连接OB,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c.
变式 解:如图所示,在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d,则a-b=,c-d=.
探究点二
例2 (1)D [解析] 对于A,-+=+=,故A不符合题意;对于B,+(+)=++=+=,故B不符合题意;对于C,(+)+(-)=+++=,故C不符合题意;对于D,+-=-,故D符合题意.故选D.
(2)解:①方法一:原式=--+=+++=(+)+(+)=+=0.
方法二:原式=--+=(-)-+=-+=+=0.
方法三:设O是平面内任意一点,连接OA,OB,OC,OD,则原式=--+=(-)-(-)-(-)+(-)=--+-++-=0.
②(++)-(--)=(+)-(-)=-=0.
变式 (1)0 (2)0 (3) [解析] (1)-+-=(+)-(+)=-=0.
(2)++-=(+)+(-)=+=0.
(3)-++=++-=.
探究点三
例3 解:(1)由条件知||=|++|=||,
即AB=AD,又四边形ABCD是平行四边形,故四边形ABCD是菱形.
(2)连接EF,由平行四边形及三角形中位线的性质可知=,
所以--=--=-(+)=-=.
作出向量,如图所示.
变式 解:(1)∵a+c=b+d,即+=+,∴-=-,即=,∴BA∥CD且BA=CD,故四边形ABCD是平行四边形.
(2)设=a,=b,连接AB,则||=|a-b|.以OA,OB为邻边作 OACB,连接OC,则||=|a+b|.∵(+1)2+(-1)2=42,∴||2+||2=||2,∴OA⊥OB,∴平行四边形OACB是矩形.∵矩形的对角线相等,∴||=||=4,即|a+b|=4.6.2.2 向量的减法运算
1.B [解析] 易知=+=-,只有选项B符合题意,故选B.
2.D [解析] 在平行四边形ABCD中,依题意得=-=-a,而=b,所以=-=-a-b.故选D.
3.A [解析] 原式=--+=-+=+=.故选A.
4.C [解析] 因为||=|-|,所以|||-|||≤||≤||+||,即3≤||≤13.故选C.
5.C [解析] 由题图可知,=+=-+=b-a+c.故选C.
6.A [解析] ∵=,∴+=0,∴+--=(-)+(-)=+=0.故选A.
7.D [解析] 若a,b为共线向量且方向相同,则|a-b|<|a|+|b|;若a,b为共线向量且方向相反,则|a-b|=|a|+|b|.若a,b不共线,令a=,b=,如图所示,连接AB,则a-b=,∴|a-b|<|a|+|b|.故|a-b|≤|a|+|b|.故选D.
8.AC [解析] 对于A,+=,所以A正确;对于B,-=,所以B错误;对于C,-+=+=0,所以C正确;对于D,--=-(+)=-=2,所以D错误.故选AC.
9.ABC [解析] 由题可知AB=AC且AB⊥AC,则以AB,AC为邻边的平行四边形是正方形,其对角线相等,根据向量加、减法的运算法则可知|+|=|-|,故A正确;-=,-=,所以|-|=|-|,故B正确;-=,-=,所以|-|=|-|,故C正确;|-|=||,|-|=||,|-|=||,由条件可知||<||+||,即|-|<|-|+|-|,故D错误.故选ABC.
10. [解析] (+)+(-)=+++=+++=.
11.a-b+c [解析] 由题意,在平行四边形ABCD中,∵=a,=b,=c,∴=-=a-b,∴==a-b,∴=+=a-b+c.
12.[3,15] [3,15] [解析] 因为|||-|||≤|-|≤||+||,且||=6,||=9,所以3≤|-|≤15,所以|-|的取值范围为[3,15].因为|||-|||≤|+|≤||+||,且||=6,||=9,所以3≤|+|≤15,所以|+|的取值范围为[3,15].
13.解:(1)+-=+=.
(2)+-++=++=-=0.
(3)(-)-=-=.
14.解:∵四边形ACDE为平行四边形,∴==c,=-=b-a,=-=c-a,=-=c-b,∴=+=b-a+c.
15.直角 [解析] 因为-+-=+,-==-,且|-|=|-+-|,所以|+|=|-|,所以以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等,所以该平行四边形为矩形,所以AB⊥AC,所以△ABC是直角三角形.
16.证明:因为△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CA=CB,又M是斜边AB的中点,所以CM=AM=BM.
(1)因为-=,且||=||,所以|a-b|=|a|.
(2)因为M是斜边AB的中点,所以=,所以a+(a-b)=+(-)=+=+=,又||=||,所以|a+(a-b)|=|b|.6.2.2 向量的减法运算
【学习目标】
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及运算规则,并理解其几何意义.
2.会作出两个向量的差.
◆ 知识点一 相反向量
定义 与向量a长度 ,方向 的向量,叫作a的相反向量,记作-a
性质 -(-a)=
零向量的相反向量仍是零向量
a+(-a)=(-a)+a=
如果a,b互为相反向量,那么a= ,b= ,a+b=
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量. ( )
(2)向量与互为相反向量. ( )
(3)-=,-(-a)=a. ( )
◆ 知识点二 向量减法及其几何意义
1.向量减法的定义
向量a加上b的 ,叫作a与b的差,即a-b= .求两个向量差的运算叫作向量的 .
2.向量减法的几何意义
如图所示,已知向量a,b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则-= =a-b,即a-b可以表示为从 指向 的向量.
3.|a-b|与|a|,|b|之间的关系
(1)对于任意向量a,b,都有 ≤|a-b|≤ ;
(2)当a,b共线且同向时,有|a-b|= 或 ;
(3)当a,b共线且反向时,有|a-b|= .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的差仍是一个向量. ( )
(2)向量a和向量b的差与向量b和向量a的差互为相反向量. ( )
2.如图所示, 在四边形ABCD中,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为 .
◆ 探究点一 向量的减法及其几何意义
例1 如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
变式 如图所示,已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
[素养小结]
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行,如a-b,可以先作a,-b,然后作a+(-b)即可.
(2)也可以直接用向量减法的几何意义,即使两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量.
◆ 探究点二 向量加减法的基本运算
例2 (1)下列不能化简为的是 ( )
A.-+
B.+(+)
C.(+)+(-)
D.+-
(2)化简:
①(-)-(-);
②(++)-(--).
变式 化简:(1)-+-= ;
(2)++-= ;
(3)-++= .
[素养小结]
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和;
②起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用.
◆ 探究点三 向量减法及其几何意义的应用
例3 如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.
(1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形 说明理由.
(2)化简--,并在图中作出表示该化简结果的向量.
变式 (1)已知平面内的四边形ABCD和点O,设=a,=b,=c,=d,若a+c=b+d,试判断四边形ABCD的形状.
(2)已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值.
[素养小结]
向量减法的几何意义:两向量相减,表示两向量起点的字母必须相同,这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点字母,以被减向量的终点字母为终点字母.此类问题要根据图形的几何性质,运用向量的平行四边形法则和三角形法则解题,若题目中遇到共起点的向量,则常常创造条件作差,要特别注意向量的方向.6.2.2 向量的减法运算
一、选择题
1.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )
A.=+ B.=-
C.=-+ D.=--
2.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O,设=a,=b,则可以表示为 ( )
A.a+b
B.a-b
C.b-a
D.-a-b
3.[2024·湖南衡阳高一期中] (-)-(-)= ( )
A. B.
C. D.
4.若||=5,||=8,则||的取值范围是( )
A.[3,8] B.(3,8)
C.[3,13] D.(3,13)
5.如图,记向量=a,=b,=c, 则向量可以用a,b,c表示为 ( )
A.a+b-c
B.a-b+c
C.b-a+c
D.b-a-c
6.如图所示,P,Q是△ABC的边BC上的两个点,且=,则化简+--的结果为 ( )
A.0 B. C. D.
7.已知任意两个非零向量a,b,则 ( )
A.|a-b|=|a|+|b|
B.|a-b|=|a|-|b|
C.|a-b|≤|a|-|b|
D.|a-b|≤|a|+|b|
8.(多选题)[2024·山东泰安高一期中] 下列运算正确的是 ( )
A.+= B.-=
C.-+=0 D.--=0
9.(多选题)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠BAC=90°,则有 ( )
A.|+|=|-|
B.|-|=|-|
C.|-|=|-|
D.|-|>|-|+|-|
二、填空题
10.(+)+(-)= .
11.如图所示,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= .
12.已知||=6,||=9,则|-|的取值范围为 ,|+|的取值范围为 .
三、解答题
13.化简:
(1)+-;
(2)+-++;
(3)(-)-.
14.如图,在五边形ABCDE中,若四边形ACDE是平行四边形,且=a,=b,=c,试用a,b,c表示向量,,,及.
15.若O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|-+-|,则△ABC是 三角形.
16.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,设=a,=b.求证:
(1)|a-b|=|a|;
(2)|a+(a-b)|=|b|.
