(共59张PPT)
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
探究点一 向量的数乘的概念
探究点二 向量的线性运算
探究点三 用已知的向量表示未知的向量
探究点四 向量共线定理及其应用
【学习目标】
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几
何意义.
2.理解两个平面向量共线的含义.
3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
知识点一 向量的数乘运算
1.向量的数乘的定义
一般地,我们规定实数 与向量 的积是一个______,这种运算叫作
____________,记作____，它的长度与方向规定如下:
向量
向量的数乘
（1） ______；
（2）当时,的方向与 的方向______;
当时,的方向与 的方向______;
当时, ___,方向______.
相同
相反
任意
2.向量数乘的运算律
设,为向量, , 为实数,那么
（1） _______;
（2） _________;
（3） ________.
特别地，， .
3.向量的线性运算
（1）向量的______________运算统称为向量的线性运算.
（2）对于任意向量,,以及任意实数 ,,,恒有
_____________.
加、减、数乘
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）的方向与 的方向一致．( )
×
（2）若，则 .( )
×
（3）对于任意实数和向量，，若，则 .( )
×
2. _______.
[解析] 原式 .
知识点二 向量共线定理
向量与共线的充要条件是：__________一个实数 ,使
________.
存在唯一
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若向量与共线，则存在唯一的实数 ，使 .( )
×
（2）若，则与 共线．( )
√
2.向量共线定理中为什么规定
解：若 ,则实数 可以是任意实数;若, ,则不存在
实数 ,使得.为了保证 的唯一性,所以定理中规定 .
探究点一 向量的数乘的概念
例1（1） （多选题）已知， 为两个非零向量，下列说法中正确的
是( )
A.与的方向相同，且的模是 的模的2倍
B.与的方向相反，且的模是的模的
C.与 是一对相反向量
D.与 是一对相反向量
√
√
√
[解析] ，与的方向相同，又， 正确；
，与的方向相同，，与 的方向相反，
与的方向相反，又，， 的模
是的模的， 正确；
由相反向量的定义可知C正确，D不正确.故选 .
（2）已知点在线段的延长线上，且 .
①用 表示；②用 表示 .
解：如图a，因为点在线段的延长线上，且 ，所以
， .
①如图b，向量与的方向相同，所以 .
②如图c，向量与的方向相反，所以 .
探究点二 向量的线性运算
例2（1） 化简：
① ___________；
[解析] .
② ___;
[解析] 原式
.
③ __________.
[解析] .
（2）已知，求 .
解：由已知得 ，所以
，所以 .
变式（1） 化简： ________.
[解析] .
（2）已知向量,,,满足关系式, ,则向量
_________,_________.（用向量, 表示）
[解析] 由题知①,,由 ,得
,代入①得,所以 .
［素养小结］
向量线性运算的方法
（1）向量的线性运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括
号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算
中同样适用．
（2）向量也可以通过列方程来解，即把所求向量当作未知数，利用
解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运
用运算律，简化运算．
探究点三 用已知的向量表示未知的向量
①
例3（1） 如图①，在中，，为边 上的三
等分点，若，，试用，表示 ，
.
解：， ，，
又，为边 上的三 等分点，， ，
故 ，
.
②
（2）如图②，在中， ，
，点是与的交点，点是 的
中点，试用，表示 .
解： 点是与的交点，点是 的中
点， ，
，
.
变式 [2024·温州中学高一期中] 如图，在中，设 ,
,,，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 因为, ，
所以 ，则
，
又 因为，所以 ，
所以 .故选C.
探究点四 向量共线定理及其应用
例4 已知，是平面上两个不共线的向量，且 ，
， .
（1）若，的方向相反，求 的值；
解：若，的方向相反，则存在负数 使得 ，所以
，
所以解得或 （舍去），故 的值为2.
（2）若，，三点共线，求 的值.
解：由，，三点共线，得存在，使得 ，
因为 ，
所以 ，
所以解得或
故的值为 或3.
变式（1） 已知向量,不共线，且， ，
，则一定共线的三点是( )
A.,, B.,, C.,, D.,,
[解析] 由题意可得， ，所以向量
与共线，又与 有公共点B，所以A，B，D三点一定共线.
故选A.
√
（2）已知,,三点共线,为直线 外任意一点,若
,则 ( )
A.1 B. C.2 D.
[解析] 因为A,B,三点共线,所以向量与共线,所以存在实数 ,
使,即,所以 ,
故 , ,即 .
√
［素养小结］
1.证明或判断三点共线的方法
（1）一般来说，要判断，， 三点是否共线，只需看是否存在实
数 ，使得（或 等）．
（2）利用结论：若，，三点共线， 为直线外一点，则存在实
数，，使且 .
2.利用向量共线求参数的方法
解决判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一
的实数 ，使得．而已知向量共线求 ，常根据向量
共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，则必
有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程（组），从而解方程
（组）求得 的值．
拓展 在中，已知，，在边 上，且
，是边上的动点.若，是 的中点，求
证：，， 三点共线.
证明：因为，所以 ，即
，
又因为是的中点，所以 .
连接，，因为，所以 ，
又因为 ，
所以，因此，， 三点共线.
1.向量数乘运算的理解
（1）向量的数乘运算，其结果是一个向量，不是实数.
（2）对任意非零向量，向量是与向量 同向的单位向量.
2.平面向量的线性运算
向量的加法、减法以及向量的数乘运算,统称为向量的线性运算,又称
为向量的初等运算,它们的运算法则在形式上很像实数的加、减法与
乘法满足的运算法则,当然向量的运算与实数的运算在具体含义上是
不同的,但是由于它们在形式上类似,因此,实数运算中的去括号、移项、
合并同类项等变形手段在向量的线性运算中都可以使用.
3.对平面向量共线定理的理解
（1）向量共线的条件:当时,与任一向量都共线;当 时,对
于向量,如果有一个实数 ,使,那么与 共线.
反之,已知向量与共线且向量的长度是向量 长度的
倍,即,那么当与同方向时,，当与 反方
向时, .
（2）如果向量与不共线,且,那么 .
4.从数与形的角度理解向量数乘的定义：
（1）对于,从代数角度来看: 是实数, 是向量,它们的积仍然是
向量;或 .
（2）对于,从形的角度来看:①当时,有 ,
表示向量的有向线段在原方向或反方向上伸长 倍;
②当时,表示向量的有向线段在原方向 或反方向
上缩短为原来的 .
（3）实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如无法运算 ,
.
1.对向量共线定理的理解
（1）定理中的“”不能漏掉．若，则实数 可以是任
意实数；若，，则不存在实数 ，使得 .
（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数 ，
，使，则与共线；若两个非零向量与 不共线，且
，则必有 .
2.平面向量共线定理及其应用
用向量法证明三点共线时,关键是能否找到一个实数 ,使得
,为这三点构成的其中任意两个向量 .证明步骤是先证明两
个向量共线,再由两个向量有公共点,证得三点共线.
例 如图，在中，，分别是，的中点， ，
， .
（1）用，表示，，，， ；
解:如图，延长到点，使，连接，，
易证四边形 是平行四边形，则 ，
所以，所以 .
因为是的中点，所以 ，
，
.
（2）求证：，， 三点共线.
证明：由（1）知，， ，
所以，所以， 共线，
又，有公共点，所以，， 三点共线.
练习册
一、选择题
1. ( )
A. B. C. D.
[解析] 由向量数乘的运算律，可得 ，故选D.
√
2.在平行四边形中， ( )
A. B. C. D.
[解析] 设与交于点，则 ,
故选C.
√
3.已知，是实数，， 是向量，给出下列说法：
； ；
③若，则；④若，则 .
其中正确说法的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ①②显然正确；对于③，若，则无法得到 ，故③
错误；对于④，若，则无法得到 ，故④错误.所以只有①
②正确.故选B.
√
4.已知不共线的两个非零向量与，若 ，
， ，则一定共线的三点是( )
A.，， B.，， C.，， D.，，
[解析] ，
，又与有公共点B， ，B，D三点共线.故选A.
√
5.[2024·金华高一期中]在中，点是边上靠近点 的三等分
点，点是边的中点，则 ( )
A. B.
C. D.
[解析] .故选A.
√
6.已知是正六边形外一点，为正六边形 的中心，
则 等于( )
A. B. C. D.
[解析] 连接， 在中，是 边上的中线，
,同理可得 ②,
,
可得 ,即
,故选C.
√
7.在中，是边上一点，且，为 上一点，若
向量，则 ， 满足的关系式为
( )
A. B. C. D.
[解析] 由可得 ，
所以，
因为 ，B，D三点共线，所以 ，故选C.
√
8.（多选题）[2024·泰安一中高一月考] 已知，， 均为非零向
量，则一定能推出 的是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
√
√
√
[解析] 对于A，，，可得，所以 ，故A
符合题意；
对于B，，，可得，所以 ，故B符合题意；
对于C，， ，可得，
所以，故C符合题意；
对于D， ，，
只有当或 时，才有，故D不符合题意.故选 .
9.（多选题）在中，，，分别是边，， 的中点，
点为 的重心，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
[解析] ，故A错误；
因为点 为的重心，所以
，故B正确；
，故C正确；
连接，因为，所以 ，
即，故D正确.故选 .
√
√
√
二、填空题
10.[2024·福建厦门双十中学高一期中] 已知，是实数，向量, 不
共线，若，则 ___.
3
[解析] 因为向量,不共线，所以由 ，得
即所以 .
11.在四边形中，若，，且 ，则
四边形 的形状为__________．
等腰梯形
[解析] 由已知可得，所以，且 ，又
，所以四边形 为等腰梯形．
12.[2024·衡阳一中高一月考] 已知点是 内一点且
，若，则 的面积为__.
[解析] 如图，取的中点，连接，因为 ，
所以，即，可得 ，所以点
为的中点，所以 .
三、解答题
13.（1）化简： ；
解：原式 .
（2）已知，为非零向量，设向量, ，求
.
解： .
14.已知两个非零向量,不共线，且， ，
.
（1）若，求 的值；
解：，且， .
（2）若，，三点共线，求 的值.
解：，，三点共线，，共线， 存在实数 ，使
，即 ，
，又, 不共线，
解得故 .
15.[2024·安徽芜湖高一期中]如图，，为平行四边形的边
的两个三等分点，连接，并延长，交于点，连接， ，
则 ( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题意知， .
由，得，所以, .
在中， ，
即 ，
即，整理得 .故选C.
16.已知是所在平面内一点，为 的中点.
（1）若，试判断向量与
的关系，并说明理由；
解：.
理由如下：为的中点， ，
又，， .
（2）若为的中点，在线段 上，且
， 的面积为2，
求 的面积.
解：由题意得
，
，，又， ，
，即 的面积为12.6.2.3 向量的数乘运算
【课前预习】
知识点一
1.向量 向量的数乘 λa (1)|λ||a|
(2)相同 相反 0 任意
2.(1)(λμ)a (2)λa+μa (3)λa+λb
3.(1)加、减、数乘 (2)λμ1a±λμ2b
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.2b-a [解析] 原式=(4a+16b-16a+8b)=(-12a+24b)=2b-a.
知识点二
存在唯一 b=λa
诊断分析
1.(1)× (2)√
2.解:若a=b=0,则实数λ可以是任意实数;若a=0,b≠0,则不存在实数λ,使得b=λa.为了保证λ的唯一性,所以定理中规定a≠0.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)ABC [解析] ∵2>0,∴2a与a的方向相同,又|2a|=2|a|,∴A正确;∵5>0,∴5a与a的方向相同,∵-2<0,∴-2a与a的方向相反,∴5a与-2a的方向相反,又|5a|=5|a|,|-2a|=2|a|,∴-2a的模是5a的模的,∴B正确;由相反向量的定义可知C正确,D不正确.故选ABC.
(2)解:如图a,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.
①如图b,向量与的方向相同,所以=2.
②如图c,向量与的方向相反,所以=-3.
探究点二
例2 (1)①-2a-24b ②0 ③a-b [解析] ①4(a-3b)+6(-2b-a)=4a-12b-12b-6a=-2a-24b.
②原式=a-b-a-b+a+b=
a+b=0.
③===a-b.
(2)解:由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.
变式 (1)-a-c (2)3a+2b 4a+3b [解析] (1)(5a-4b+c)-2(3a-2b+c)=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
(2)由题知3x-2y=a①,-4x+3y=b②,由①×3+②×2,得x=3a+2b,代入①得3(3a+2b)-2y=a,所以y=4a+3b.
探究点三
例3 解:(1)∵=3a,=2b,∴=-=2b-3a,又D,E为边AB上的三等分点,∴=,=,故=+=+=3a+b-a=2a+b,=+=+=3a+b-2a=a+b.
(2)∵点O是AC与BD的交点,点G是DO的中点,∴==(-),
∴=+=+(-)=+,
∴=a+b.
变式 C [解析] 因为=-=b-a,=2,所以==(b-a),则=+=a+(b-a)=b+a,又因为=4,所以==-=-b-a,所以=+=(b-a)-b-a=-a+b.故选C.
探究点四
例4 解:(1)若,的方向相反,则存在负数λ使得=λ,所以ke1-4e2=λ(-e1+ke2)=-λe1+kλe2,
所以解得或(舍去),
故k的值为2.
(2)由A,C,D三点共线,得存在μ∈R,使得=μ,
因为=++=(ke1-4e2)-(e1+2e2)+(-e1+ke2)=(k-2)e1+(k-6)e2,
所以(k-2)e1+(k-6)e2=μ(-e1+ke2)=-μe1+kμe2,
所以解得或
故k的值为-2或3.
变式 (1)A (2)A [解析] (1)由题意可得,=+=2a+8b=2,所以向量与共线,又与有公共点B,所以A,B,D三点一定共线.故选A.
(2)因为A,B,P三点共线,所以向量与共线,所以存在实数λ,使=λ,即-=λ(-),所以=(1-λ)+λ,故x=1-λ,y=λ,即x+y=1.
拓展 证明:因为=,所以-=-,即=+,
又因为O是AP的中点,所以==+.
连接QC,OC,因为=,所以=-=-+,又因为=-=-+,
所以=,因此C,O,Q三点共线.6.2.3 向量的数乘运算
1.D [解析] 由向量数乘的运算律,可得3(2a-4b)=6a-12b,故选D.
2.C [解析] 设BD与AC交于点O,则-=-==,故选C.
3.B [解析] ①②显然正确;对于③,若m=0,则无法得到a=b,故③错误;对于④,若a=0,则无法得到m=n,故④错误.所以只有①②正确.故选B.
4.A [解析] ∵=+=-5a+6b+7a-2b=2a+4b,∴=2,又与有公共点B,∴A,B,D三点共线.故选A.
5.A [解析] =-=-=--(-)=--.故选A.
6.C [解析] 连接AD,∵在△PAD中,PO是AD边上的中线,∴=(+)①,同理可得=(+)②,=(+)③,①+②+③可得3=(+++++),即+++++=6,故选C.
7.C [解析] 由AC=4AD可得4=,所以=λ+μ=λ+4μ,因为P,B,D三点共线,所以λ+4μ=1,故选C.
8.ABC [解析] 对于A,a=-3e,b=2e,可得b=-a,所以a∥b,故A符合题意;对于B,a=-e,b=e,可得b=-2a,所以a∥b,故B符合题意;对于C,a=e1-e2,b=-e1=-e1+e2,可得b=-a,所以a∥b,故C符合题意;对于D,a=e1-e2,b=e1+e2+=(e1+e2),只有当e1=0或e2=0时,才有a∥b,故D不符合题意.故选ABC.
9.BCD [解析] -=+=2≠,故A错误;因为点G为△ABC的重心,所以==×(+)=(+),故B正确;++=(++)=0,故C正确;连接GD,因为=(+),所以=-2=-2×(+),即++=0,故D正确.故选BCD.
10.3 [解析] 因为向量a,b不共线,所以由(y-2)a+(x-1)b=0,得即所以x+y=3.
11.等腰梯形 [解析] 由已知可得=-, 所以∥, 且||≠||,又||=||,所以四边形ABCD为等腰梯形.
12. [解析] 如图,取AC的中点D,连接MD,因为+2=,所以+=-2,即2=-2,可得=,所以点M为BD的中点,所以S△MBC=S△BCD=S△ABC=.
13.解:(1)原式=a+b-b+a-a=+=a+b.
(2)-+2b-a=-a+b=-(3i+2j)+(2i-j)=-i-5j.
14.解:(1)∵2-3+=2(2a-3b)-3(a+2b)+ka+12b=(1+k)a=0,且a≠0,∴k=-1.
(2)∵A,B,C三点共线,∴,共线,∴存在实数λ,使=λ,即-=λ(-),
∴(k-1)a+10b=λ(-a+5b),又a,b不共线,
∴解得故k=-1.
15.C [解析] 由题意知,=+=+=+-.由△OEF∽△OBC,得===,所以=,=.在△OED中,=+,即=×+=+,即(+-)=+,整理得=-2+.故选C.
16.解:(1)=.理由如下:∵D为BC的中点,∴+=2,
又2++=0,∴2+2=0,∴=.
(2)由题意得+2+3=(+)+2(+)=2+4=0,∴=2,∴DE=3DO,又AB=2DE,∴AB=6DO,∴S△ABC=6S△BOC=12,即△ABC的面积为12.6.2.3 向量的数乘运算
【学习目标】
1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.
2.理解两个平面向量共线的含义.
3.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
◆ 知识点一 向量的数乘运算
1.向量的数乘的定义
一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个 ,这种运算叫作 ,记作 ,它的长度与方向规定如下:
(1)|λa|= ;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 ;
当λ<0时,λa的方向与a的方向 ;
当λ=0时,λa= ,方向 .
2.向量数乘的运算律
设a,b为向量,λ,μ为实数,那么
(1)λ(μa)= ;
(2)(λ+μ)a= ;
(3)λ(a+b)= .
特别地,(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
3.向量的线性运算
(1)向量的 运算统称为向量的线性运算.
(2)对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)= .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致. ( )
(2)若λa=0,则a=0. ( )
(3)对于任意实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b.( )
2.[2(2a+8b)-4(4a-2b)]= .
◆ 知识点二 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是: 一个实数λ,使 .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若向量b与a共线,则存在唯一的实数λ,使b=λa. ( )
(2)若b=λa,则a与b共线. ( )
2.向量共线定理中为什么规定a≠0
◆ 探究点一 向量的数乘的概念
例1 (1)(多选题)已知a,b为两个非零向量,下列说法中正确的是 ( )
A.2a与a的方向相同,且2a的模是a的模的2倍
B.-2a与5a的方向相反,且-2a的模是5a的模的
C.-2a与2a是一对相反向量
D.a-b与-(b-a)是一对相反向量
(2)已知点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3.
①用 表示;②用 表示.
◆ 探究点二 向量的线性运算
例2 (1)化简:
①4(a-3b)+6(-2b-a)= ;
②(a-b)-(2a+4b)+(2a+13b)= ;
③= .
(2)已知3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,求x.
变式 (1)化简: (5a-4b+c)-2(3a-2b+c)= .
(2)已知向量a,b,x,y满足关系式3x-2y=a,-4x+3y=b,则向量x= ,y= .(用向量a,b表示)
[素养小结]
向量线性运算的方法
(1)向量的线性运算类似于多项式的代数运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的线性运算中同样适用.
(2)向量也可以通过列方程来解,即把所求向量当作未知数,利用解代数方程的方法求解,同时在运算过程中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
◆ 探究点三 用已知的向量表示未知的向量
例3 (1)如图①,在△ABC中,D,E为边AB上的三等分点,若=3a,=2b,试用a,b表示,.
(2)如图②,在 ABCD中,=a,=b,点O是AC与BD的交点,点G是DO的中点,试用a,b表示.
②
变式 [2024·温州中学高一期中] 如图,在△ABC中,设=a,=b,=2,=4,则= ( )
A.a-b B.a-b
C.-a+b D.-a+b
◆ 探究点四 向量共线定理及其应用
例4 已知e1,e2是平面上两个不共线的向量,且=ke1-4e2,=-e1+ke2,=e1+2e2.
(1)若,的方向相反,求k的值;
(2)若A,C,D三点共线,求k的值.
变式 (1)已知向量a,b不共线,且=a+4b,=-a+9b,=3a-b,则一定共线的三点是( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
(2)已知A,B,P三点共线,O为直线AB外任意一点,若=x+y,则x+y= ( )
A.1 B. C.2 D.
[素养小结]
1.证明或判断三点共线的方法
(1)一般来说,要判断A,B,C三点是否共线,只需看是否存在实数λ,使得=λ(或=λ等).
(2)利用结论:若A,B,C三点共线,O为直线外一点,则存在实数x,y,使=x+y且x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
解决判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,则必有向量的系数为零,利用待定系数法建立方程(组),从而解方程(组)求得λ的值.
拓展 在△ABC中,已知AB=2,AC=3,P在边BC上,且=,Q是边AB上的动点.若=,O是AP的中点,求证:C,O,Q三点共线.6.2.3 向量的数乘运算
一、选择题
1.3(2a-4b)= ( )
A.5a+7b B.5a-7b
C.6a+12b D.6a-12b
2.在平行四边形ABCD中,-= ( )
A. B.
C. D.
3.已知m,n是实数,a,b是向量,给出下列说法:
①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;
③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.
其中正确说法的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知不共线的两个非零向量a与b,若=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是 ( )
A.A,B,D B.A,B,C
C.B,C,D D.A,C,D
5.[2024·金华高一期中] 在△ABC中,点D是AC边上靠近点A的三等分点,点E是AB边的中点,则= ( )
A.-- B.-+
C.-- D.-
6.已知P是正六边形ABCDEF外一点,O为正六边形ABCDEF的中心,则+++++等于 ( )
A. B.3 C.6 D.0
7.在△ABC中,D是AC边上一点,且AC=4AD,P为BD上一点,若向量=λ+μ(λ>0,μ>0),则λ,μ满足的关系式为 ( )
A.λ+μ=1 B.λ+=1
C.λ+4μ=1 D.4λ+μ=1
8.(多选题)[2024·泰安一中高一月考] 已知e,e1,e2均为非零向量,则一定能推出a∥b的是 ( )
A.a=-3e,b=2e
B.a=-e,b=e
C.a=e1-e2,b=-e1
D.a=e1-e2,b=e1+e2+
9.(多选题)在△ABC中,D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,点G为△ABC的重心,则下列结论中正确的是 ( )
A.-=
B.=(+)
C.++=0
D.++=0
二、填空题
10.[2024·福建厦门双十中学高一期中] 已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(y-2)a+(x-1)b=0,则x+y= .
11.在四边形ABCD中,若=3e,=-5e,且||=||,则四边形ABCD的形状为 .
12.[2024·衡阳一中高一月考] 已知点M是△ABC内一点且+2=,若S△ABC=3,则△MBC的面积为 .
三、解答题
13.(1)化简:(a+b)-(b-a)+(0-a);
(2)已知i,j为非零向量,设向量a=3i+2j,b=2i-j,求-+2b-a.
14.已知两个非零向量a,b不共线,且=2a-3b,=a+2b,=ka+12b.
(1)若2-3+=0,求k的值;
(2)若A,B,C三点共线,求k的值.
15.[2024·安徽芜湖高一期中] 如图,E,F为平行四边形ABCD的边AD的两个三等分点,连接BE,CF并延长,交于点O,连接OA,OD,则= ( )
A.-+ B.-+2
C.-2+ D.-2
16.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点.
(1)若2++=0,试判断向量与的关系,并说明理由;
(2)若E为AC的中点,O在线段DE上,且+2+3=0,△BOC的面积为2,求△ABC的面积.
