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6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的定义、投影向量
探究点一 向量的夹角
探究点二 平面向量的数量积
探究点三 平面向量的投影向量
探究点四 平面向量数量积的基本性质
【学习目标】
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理
意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，
体会平面向量数量积与投影向量的关系.
知识点一 向量的夹角
1.定义：如图，已知两个__________，， 是平面
上的任意一点，作，，则
____________叫作向量与 的______．
非零向量
夹角
2.特殊情况：
（1）当___时,与同向;当___时,与 反向.
（2）向量垂直:如果与的夹角是__,我们说与 垂直,记作______.
0
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）已知向量与的夹角为,则向量与的夹角为 .( )
√
[解析] 与同向,与反向, 向量与的夹角和与 的
夹角互补, 向量与的夹角为 .
（2）在等边三角形中，设，，则与 的夹角为
.( )
×
[解析] 由向量夹角的定义知，与的夹角为 .
2.向量的夹角的几何意义是什么 向量的夹角的取值范围是什么
解：向量的夹角是指将两个非零向量平移到相同的起点后,它们的正
向所成的角.向量的夹角的取值范围是 .
知识点二 向量的数量积
条件 已知两个非零向量与，它们的夹角为
结论 数量___________叫作向量与 的数量积（或内积）
记法 向量与的数量积记作，即 ___________
规定 零向量与任一向量的数量积为___
0
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）两个向量的数量积仍然是向量．( )
×
（2）若，则与 的夹角为钝角．( )
×
（3）若，则 .( )
×
2.向量的数量积与向量的数乘的区别是什么？
解：向量的数量积是一个实数，不考虑方向；向量的数乘是一个向
量，既有大小，又有方向．
知识点三 向量在 上的投影向量
1.投影与变换：如图，设， 是两个非零向量，
，，过的起点和终点 ，分别作
所在直线的垂线，垂足分别为，，得到 ，
称上述变换为向量向向量______，叫作向量
在向量 上的__________．
投影
投影向量
2.投影向量的定义：如图，在平面内任取一点，作 ，
，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量 在
向量 上的__________.
投影向量
3.计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为 ，则向量
在向量 上的投影向量为__________.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若,,与的夹角为 ,则在 上的投影向量为
.( )
√
[解析] 在上的投影向量为 .
（2）向量在上的投影向量与共线，且模为（ 是与
的夹角）.( )
√
[解析] 向量在上的投影向量为，它与 共线，且模为
（ 是与 的夹角）.
知识点四 数量积的性质
设,是非零向量,它们的夹角是 ,是与 方向相同的单位向量，则
（1） ________.
（2） _________.
（3）当与同向时,______;当与反向时, ________.
特别地,_____或 _______.
（4） ,当且仅当______时等号成立.
（5） _ ____.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）对任意向量，均有 .( )
×
（2）若，则 .( )
√
（3）设非零向量与的夹角为 ,则“ ”的充要条件是“
”.( )
√
探究点一 向量的夹角
例1 已知,且与的夹角为 ,则与 的夹角是多
少 与 的夹角又是多少
解：如图所示，作， ，且 .
以，为邻边作 ，连接
，，则， .
因为， ,所以是等边三角形，
四边形 是菱形，所以与的夹角为 ，与的夹角为，
即 与的夹角是 ，与的夹角是 .
探究点二 平面向量的数量积
例2 已知，，分别求下列条件下与 的数量积.
（1） ；
解：设与的夹角为 .
当时，若与同向，则 ，
；
若与 反向，则 ，
.
（2） ；
解： 当时， ， .
（3）与的夹角为 .
解： 当与的夹角为 时，
.
变式（1） 已知，与的夹角为 ，且，则
___.
3
[解析] 由题知 .
（2）已知,两点在圆上运动，若，则 ___.
1
[解析] 如图，过点作交于点，则是 的中点，故
.
［素养小结］
求平面向量数量积的步骤：（1）求与的夹角 ， ；（2）
分别求和；（3）求数量积，即 ，要特别
注意书写时与 之间用实心圆点“·”连接，不能用“×”连接，也不能
省去.
探究点三 平面向量的投影向量
例3 已知，，向量与向量的夹角为 ，求：
（1）向量在向量 上的投影向量；
解：，为单位向量， 向量在向量 上的投影向量为
.
（2）向量在向量 上的投影向量.
解：，， 向量在向量 上的投影向量为
.
变式（1） 已知等边三角形的边长为2，则向量在向量 上
的投影向量为( )
A. B. C. D.
[解析] 在等边三角形中，
， 向量在向量 上的投影向量为，
向量在向量上的投影向量为 .故选A.
√
（2）已知，若在上的投影向量为，则 ( )
A.3 B. C.2 D.
[解析] 因为在上的投影向量为,所以 .
（3）若,,向量与向量的夹角为 ,与 方向相同
的单位向量为,则向量在向量 上的投影向量为____.
[解析] 由题意得，向量在向量 上的投影向量为
.
√
［素养小结］
求投影向量的方法
（1）向量在向量上的投影向量的计算公式为，其中
为向量与向量的夹角，向量为与向量 同方向的单位向量，即
.
（2）向量在向量上的投影向量为；向量在向量 上的投影
向量为 .
探究点四 平面向量数量积的基本性质
例4 给出以下结论：；②若,共线,则 ；
；④已知,,是三个非零向量,若 ,则
；；⑥若非零向量,满足 ,则
与的夹角为锐角.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 由平面向量数量积的定义知，①正确；
当, 反向共线时，，故②错误；③显然正确；
若,则,又,,是三个非零向量,所以,
所以 ,故④正确；
， ，所以，
故⑤错误；
当与的夹角为 时,也有 ,故⑥错误.综上可知，①③④正确.
故选C.
变式 已知，， 是三个非零向量，则下列说法中正确的个数为
( )
①若，则 ；
②若，反向共线，则 ；
③若，则 ；
④若，则 .
A.1 B.2 C.3 D.4
√
[解析] 对于①，设，的夹角为 ，，
由及，为非零向量，可得， 或 ，
，故①正确；
对于②，若，反向共线，则， 的夹角为 ，
，故②正确；
对于③，当时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，
为邻边作平行四边形，该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长
相等，即有，故③正确；
对于④，当，但 与的夹角和与的夹角不相等时，
，故④错误．综上可知，①②③正确.故选C.
［素养小结］
对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要深刻理解相
关知识，特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘
法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的
性质等．
1.关于平面向量夹角的注意事项:
（1）在向量夹角定义中强调了“非零向量”,而向量又不能避开零向量.
事实上,由于零向量的方向不定,故零向量与任一向量的夹角就没有什
么意义.教材中只是规定零向量与任一向量平行，但不谈零向量与任
一向量的夹角.
（2）在实际解答时对两个向量的夹角经常会因理解不清而导致错误.
求两个向量的夹角应将这两个向量的起点平移到同一点.
（3）根据两个向量的夹角的定义知，两个非零向量与 的夹角的取
值范围是 ，它包括零角、锐角、直角、钝角和平角这些情况，
在实际解答问题时容易出现遗漏或偏差，因此要引起我们的高度重
视.在具体解题时，要根据题意，把不适合的情况加以全面考虑.
2. ,既可以用来证明两向量垂直,也可以由两向量垂
直进行有关计算.
3.可以用来直接计算两个非零向量,的夹角 ,也可利
用夹角的取值情况建立方程（组）或不等式（组）,来求参数的值或
取值范围.
4.对平面向量数量积的理解
（1） 运算结果:两向量与 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值
可以为正（当,, 时）,可以为负当 ,
, 时,还可以为0（当或或
时）.
（2） 写法:两个向量,的数量积与代数中两个数,的乘积 是两
码事,但表面看来又有点相似.
（3）求两个向量的数量积,首先应确定两个向量的模及向量的夹角,
其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
（4）类比实数运算:在实数中,若,且,则 ;但是在数
量积中,若,且,则不能推出,因为其中 有可能
为0.
1.求向量夹角的方法
（1）图形中求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的
起点重合,然后确定夹角,再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程
简记为“一作二证三算”.
（2）求出，，，代入公式 求解.
例1 已知两个非零向量与的夹角为 ,试求下列向量的夹角:
（1）与 ;
解：根据向量夹角的定义,作出与的夹角.由图可知向量与 的夹
角为 .
（2）与 .
解：向量与的夹角为 .
2.求向量数量积的步骤
进行向量数量积的运算,需分三步走:求模 求夹角 求数量积.
涉及图形的数量积的运算,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,
这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
例2（1） 在等腰三角形中， ， ，则
( )
A.8 B. C.16 D.
[解析] 由题意可知 ，则
.
故选A.
√
（2）已知在中，，，则 的形
状是____________， ____.
等边三角形
[解析] 由题意得 ，即
，所以，
又因为 ，所以 ，
又因为，所以 是等边三角形，
则 .
3.向量数量积的性质
（1）非零向量,共线的充要条件是 ，因此，当
时，与的夹角有 和 两种可能；
（2）对于非零向量,， ；
（3）两个向量的数量积 与它们的夹角 有关，
夹角 的取值范围是 ．
4.向量的投影向量
向量在向量上的投影向量与向量在向量 上的投影向量不相同，
尽管都是向量，但是向量在向量上的投影向量一定与向量 共线，
向量在向量上的投影向量一定与向量 共线.
例3 如图，在等腰三角形中，， ，
为 的中点.
（1）求在 上的投影向量；
解：如图，连接 .
为的中点，， .
设与同方向的单位向量为 ,
由题可知，且与的夹角为 ，
在 上的投影向量为
.
（2）求在 上的投影向量.
解：如图，延长至点，使，过点 作
延长线的垂线，交的延长线于点 .
易知，，则在上的投影向量即为在 上的投
影向量.
，，在上的投影向量为 ，
即在上的投影向量为 .
练习册
一、选择题
1.在正六边形中，向量与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 如图，连接，设与交于点 ，由
正六边形的性质可知 为等边三角形，所以
，则向量与的夹角为 .故选B.
√
2.[2024·重庆八中高一月考]在中，， ，
，则 ( )
A.12 B.6 C. D.
[解析] 在中， ，与的夹角为 ，
则, .故选C.
√
3.下列说法中错误的是( )
A.对于任意向量，都有
B.若，则或
C.对于任意向量,，都有
D.若,共线，则
√
[解析] A中说法显然正确；
当,都是非零向量，且 时，也成立，故B中说法错误；
若, 都是非零向量，则,，
若或 ，则，故C中说法正确；
当, 都是非零向量，且共线时，,或, ，
则,，所以 ，
当或时，，也满足 ，
故D中说法正确.故选B.
4.已知,,，则向量与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设向量与的夹角为 ， ，则
，所以 .故选B.
√
5.在中，“为钝角三角形”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 若,则,所以 ，又因为
，所以B为钝角， 为钝角三角形，必要性成立；
若为钝角三角形，则B不一定为钝角，无法推出 ，
充分性不成立.故“为钝角三角形”是“ ”的必要不充
分条件.故选B.
√
6.[2024·淄博高一期中]已知是 的外心，满足
，，则向量在向量 上的投影向量
为( )
A. B. C. D.
[解析] 由，可知点为的中点，又是 的
外心，所以，又，所以 为等边三角形，
则 ，则, ，所以向量在向量 上
的投影向量为 .故选C.
√
7.如图，是圆 的一条弦，则下列条件中能得出
的是( )
A.圆的半径为2 B.圆 的半径为1
C.弦的长为2 D.弦 的长为1
[解析] 如图所示，过点C作交于点 ，
则是 的中点，所以
，所以. 故选C.
√
8.（多选题）已知两个单位向量,的夹角为 ,则下列说法正确的
是( )
A.在上的投影向量为
B.
C.
D.
√
√
√
[解析] 在上的投影向量为 ,故A正确;
,故B不正确;
， ，且,故C正确;
由题知以向量, 为邻边的平行四边形为菱形，其两条对角线互相垂直，
所以 ，故D正确.故选 .
9.（多选题）如图，，分别为， 的中
点，四边形、四边形 和四边形
均为正方形，则( )
A.
B.在上的投影向量为
C.
D.在上的投影向量为
√
√
√
[解析] 对于A，由题意可知
，则 ，所以
，故A正确；
对于B，如图，设，分别为，的中点，
连接， ，则在上的投影向量为 ，故B正确；
对于C，因为与的夹角为，所以 ，故C错误；
对于D，在上的投影向量为，故D正确.故选 .
二、填空题
10.若，，则 _____.
[解析] 由题意得，且与反向，， ，
.
11.[2024·重庆巴蜀中学高一期中] 已知非零向量和单位向量 满足
，且向量与的夹角为 ，则 ____.
[解析] 因为 ，所以根据向量加法的平行四边形法则可得向量
如图所示，又因为向量与的夹角为 ，所以
.
12.已知是边长为2的菱形 内一点（不包括边界），若
，则 的取值范围是_______.
[解析] ，所以当点与点 重合时，
，当点与点重合时，，又是菱形
内一点（不包括边界），所以的取值范围是 .
三、解答题
13.如图，在平行四边形中， ，
， ，求：
（1） ；
解：在平行四边形中，，， ,
, .
（2） ；
解：, .
（3） ；
解： .
（4） .
解： ，
.
14.若向量，，满足，且，， ，
求 .
解：由已知得，，
向量与 同向，而向量 与它们反向，
.
15.对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 .若平面向量
，满足，与的夹角，且和 都在集
合中，则 ( )
A. B.2 C. D.3
√
[解析] 因为，所以，而 ，
且，可得，
又因为在集合 中，所以，即 ，所以
，
又因为 ，所以，
又因为也在集合中，所以 ，所以
.故选B.
16.如图，在梯形中，，若点 在阴
影区域内（含边界）运动，求 的取值范围.
解：如图，作，垂足为，记 的中
点为，连接，则 .
由可知，梯形
为等腰梯形， ，
所以 ， ，则 ，
所以 ， ，
所以 .
由图可知，当点在线段上时，在 上
的投影向量为，此时 取得最小值，
最小值为 ;
当点与点重合时，在 上的投影向量为
，此时 取得最大值，最大值为
.
综上所述， ，
即 .6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的定义、投影向量
【课前预习】
知识点一
1.非零向量 (0≤θ≤π) 夹角 2.(1)0 π (2) a⊥b
诊断分析
1.(1)√ (2)× [解析] (1)∵a与2a同向,b与-3b反向,∴向量2a与-3b的夹角和a与b的夹角互补,∴向量2a与-3b的夹角为.
(2)由向量夹角的定义知,a与b的夹角为120°.
2.解:向量的夹角是指将两个非零向量平移到相同的起点后,它们的正向所成的角.向量的夹角的取值范围是[0,π].
知识点二
|a||b|cos θ |a||b|cos θ 0
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)×
2.解:向量的数量积是一个实数,不考虑方向;向量的数乘是一个向量,既有大小,又有方向.
知识点三
1.投影 投影向量 2.投影向量 3.|a|cos θ e
诊断分析
(1)√ (2) √ [解析] (1)a在e上的投影向量为|a|cos 30°e=4×cos 30°e=2e.
(2)向量a在b上的投影向量为|a|cos θ,它与b共线,且模为|acos θ|(θ是a与b的夹角).
知识点四
(1)|a|cos θ (2)a·b=0 (3)|a||b| -|a||b| |a|2 (4)a∥b (5)
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√
【课中探究】
探究点一
解:如图所示,作=a,=b,且∠AOB=60°.以OA,OB为邻边作 OACB,连接AB,OC,则=a+b,=a-b.因为|a|=|b|=2,∠AOB=60°,所以△ABO是等边三角形,四边形OACB是菱形,所以与的夹角为30°,与的夹角为60°,即a+b与a的夹角是30°,a-b与a的夹角是60°.
探究点二
例2 解:设a与b的夹角为θ.
(1)当a∥b时,若a与b同向,则θ=0°,∴a·b=|a|·|b|cos 0°=4×5×1=20;若a与b反向,则θ=180°,∴a·b=|a|·|b|cos 180°=4×5×(-1)=-20.
(2)当a⊥b时,θ=90°,∴a·b=|a|·|b|cos 90°=0.
(3)当a与b的夹角为30°时,a·b=|a|·|b|cos 30°=4×5×=10.
变式 (1)3 (2)1 [解析] (1)由题知|b|===3.
(2)如图,过点C作CD⊥AB交AB于点D,则D是AB的中点,故·=||·||cos∠CAD=||×||=||2=1.
探究点三
例3 解:(1)∵|b|=1,∴b为单位向量,∴向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·b=3×b=-b.
(2)∵|a|=3,∴=a,∴向量b在向量a上的投影向量为|b|cos 120°·=1××a=-a.
变式 (1)A (2)B (3)-e [解析] (1)在等边三角形ABC中,∵∠BAC=60°,∴向量在向量上的投影向量为,∴向量在向量上的投影向量为-.故选A.
(2)因为a在b上的投影向量为·=b,所以a·b=|b|2=.
(3)由题意得,向量a在向量b上的投影向量为|a|cos 120°·e=2×·e =-e.
探究点四
例4 C [解析] 由平面向量数量积的定义知,①正确;当a,b反向共线时,a·b=-|a||b|,故②错误;③显然正确;若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,故④正确;|a·b|=|a||b|·|cos θ|,a·b=|a||b|cos θ,所以|a·b|≥a·b,故⑤错误;当a与b的夹角为0°时,也有a·b>0,故⑥错误.综上可知,①③④正确.故选C.
变式 C [解析] 对于①,设a,b的夹角为θ,∵a·b=|a||b|cos θ,∴由a·b=±|a||b|及a,b为非零向量,可得cos θ=±1,∴θ=0或π,∴a∥b,故①正确;对于②,若a,b反向共线,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a||b|·cos π=-|a||b|,故②正确;对于③,当a⊥b时,将向量a,b的起点确定在同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,该平行四边形必为矩形,于是它的两条对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|,故③正确;对于④,当|a|=|b|,但a与c的夹角和b与c的夹角不相等时,|a·c|≠|b·c|,故④错误.综上可知,①②③正确.故选C.6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的定义、投影向量
1.B [解析] 如图,连接BE,设AD与BE交于点O,由正六边形的性质可知△AOB为等边三角形,所以∠OAB=,则向量与的夹角为.故选B.
2.C [解析] 在△ABC中,∵∠ABC=60°,∴与的夹角为120°,则·=||||cos<,>=3×4×cos 120°=-6.故选C.
3.B [解析] A中说法显然正确;当a,b都是非零向量,且a⊥b时,a·b=0也成立,故B中说法错误;若a,b都是非零向量,则|a·b|=||a||b|cos
|≤|a||b|,若a=0或b=0,则|a·b|=|a||b|=0,故C中说法正确;当a,b都是非零向量,且共线时,=0或=π,则cos=±1,所以a·b=±|a||b|,当a=0或b=0时,a·b=|a||b|=0,也满足a·b=±|a||b|,故D中说法正确.故选B.
4.B [解析] 设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ===-,所以θ=.故选B.
5.B [解析] 若·>0,则·<0,所以cos B<0,又因为B∈(0,π),所以B为钝角,△ABC为钝角三角形,必要性成立;若△ABC为钝角三角形,则B不一定为钝角,无法推出·>0,充分性不成立.故“△ABC为钝角三角形”是“·>0”的必要不充分条件.故选B.
6.C [解析] 由+=2,可知点O为BC的中点,又O是△ABC的外心,所以AB⊥AC,又||=||,所以△OAB为等边三角形,则∠ABC=60°,则cos<,>=120°,所以向量在向量上的投影向量为||×cos 120°×=×=-.故选C.
7.C [解析] 如图所示,过点C作OC⊥AB交AB于点O,则O是AB的中点,所以·=||||cos∠CAB=||||=||2=2,所以||=2.故选C.
8.ACD [解析] e1在e2上的投影向量为|e1|·cos θ e2=cos θ e2,故A正确;e1·e2=|e1||e2|cos θ=cos θ,故B不正确;=|e1|2,=|e2|2,且|e1|2=|e2|2=1,故C正确;由题知以向量e1,e2为邻边的平行四边形为菱形,其两条对角线互相垂直,所以(e1+e2)⊥(e1-e2),故D正确.故选ACD.
9.ABD [解析] 对于A,由题意可知∠ACB=∠FCB=,则∠ACF=,所以·=0,故A正确;对于B,如图,设M,N分别为AB,HG的中点,连接IM,CN,则在上的投影向量为=,故B正确;对于C,因为与的夹角为,所以·<0,故C错误;对于D,在上的投影向量为=2,故D正确.故选ABD.
10.-12 [解析] 由题意得|b|=3|a|=6,且b与a反向,∴=180°,∴a·b=|a||b|cos 180°=2×6×(-1)=-12.
11. [解析] 因为a⊥b,所以根据向量加法的平行四边形法则可得向量a+b如图所示,又因为向量a+b与a的夹角为30°,所以|a|=|b|=.
12.(-2,4) [解析] ·=||||cos∠BAP,所以当点P与点B重合时,·=4,当点P与点D重合时,·=-2,又P是菱形ABCD内一点(不包括边界),所以·的取值范围是(-2,4).
13.解:(1)在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,∵=,∴·==9.
(2)∵=-,∴·=-=-16.
(3)·=||||cos∠DAB=4×3×=6.
(4)∵=-,∴·=-·=-||||cos∠DAB=-3×4×cos 60°=-6.
14.解:由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,∴向量a与b同向,而向量c与它们反向,∴a·b+b·c+c·a=3cos 0°+4cos 180°+12cos 180°=3-4-12=-13.
15.B [解析] 因为θ∈,所以0,可得016.解:如图,作AF⊥CD,垂足为F,记BD的中点为E,连接AE,则AE⊥BD.
由DA=AB=BC=CD=1可知,梯形ABCD为等腰梯形,DF=,
所以∠ADF=60°,∠DAF=30°,则∠DAB=120°,
所以∠ABD=∠ADB=30°,∠CBD=90°,
所以BD=2×1×cos 30°=.
由图可知,当点P在线段BC上时,在上的投影向量为,此时·取得最小值,最小值为·;
当点P与点D重合时,在上的投影向量为,此时·取得最大值,最大值为·.
综上所述,·≤·≤·,
即-≤·≤.6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的定义、投影向量
【学习目标】
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义,体会平面向量数量积与投影向量的关系.
◆ 知识点一 向量的夹角
1.定义:如图,已知两个 a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ 叫作向量a与b的 .
2.特殊情况:(1)当θ= 时,a与b同向;当θ= 时,a与b反向.
(2)向量垂直:如果a与b的夹角是 ,我们说a与b垂直,记作 .
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知向量a与b的夹角为,则向量2a与-3b的夹角为. ( )
(2)在等边三角形ABC中,设=a,=b,则a与b的夹角为60°. ( )
2.向量的夹角的几何意义是什么 向量的夹角的取值范围是什么
◆ 知识点二 向量的数量积
条件 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ
结论 数量 叫作向量a与b的数量积(或内积)
记法 向量a与b的数量积记作a·b,即a·b=
规定 零向量与任一向量的数量积为
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量. ( )
(2)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角. ( )
(3)若a·b=0,则a⊥b. ( )
2.向量的数量积与向量的数乘的区别是什么
◆ 知识点三 向量a在b上的投影向量
1.投影与变换:如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,称上述变换为向量a向向量b ,叫作向量a在向量b上的 .
2.投影向量的定义:如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的 .
3.计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为 .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若|a|=4,|e|=1,a与e的夹角为30°,则a在e上的投影向量为2e. ( )
(2)向量a在b上的投影向量与b共线,且模为|acos θ|(θ是a与b的夹角). ( )
◆ 知识点四 数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则
(1)a·e=e·a= .
(2)a⊥b .
(3)当a与b同向时,a·b= ;当a与b反向时,a·b= .
特别地,a·a=a2= 或|a|= .
(4)|a·b|≤|a||b|,当且仅当 时等号成立.
(5)cos θ= .
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对任意向量a,b均有|a·b|=|a||b|. ( )
(2)若|a|=2,则a2=4. ( )
(3)设非零向量a与b的夹角为θ,则“a·b>0”的充要条件是“cos θ>0”. ( )
◆ 探究点一 向量的夹角
例1 已知|a|=|b|=2,且a与b的夹角为60°,则a+b与a的夹角是多少 a-b与a的夹角又是多少
◆ 探究点二 平面向量的数量积
例2 已知|a|=4,|b|=5,分别求下列条件下a与b的数量积.
(1)a∥b;
(2)a⊥b;
(3)a与b的夹角为30°.
变式 (1)已知|a|=1,a与b的夹角为60°,且a·b=,则|b|= .
(2)已知A,B两点在圆C上运动,若AB=,则·= .
[素养小结]
求平面向量数量积的步骤:(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0,π];(2)分别求|a|和|b|;(3)求数量积,即a·b=|a||b|·cos θ,要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接,不能用“×”连接,也不能省去.
◆ 探究点三 平面向量的投影向量
例3 已知|a|=3,|b|=1,向量a与向量b的夹角为120°,求:
(1)向量a在向量b上的投影向量;
(2)向量b在向量a上的投影向量.
变式 (1)已知等边三角形ABC的边长为2,则向量在向量上的投影向量为 ( )
A.- B.
C.2 D.2
(2)已知|b|=3,若a在b上的投影向量为b,则a·b= ( )
A.3 B.
C.2 D.
(3)若|a|=2,|b|=4,向量a与向量b的夹角为120°, 与b方向相同的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为 .
[素养小结]
求投影向量的方法
(1)向量a在向量b上的投影向量的计算公式为|a|cos θ e,其中θ为向量a与向量b的夹角,向量e为与向量b同方向的单位向量,即e=.
(2)向量a在向量b上的投影向量为·;向量b在向量a上的投影向量为·.
◆ 探究点四 平面向量数量积的基本性质
例4 给出以下结论:①0·a=0;②若a,b共线,则a·b=|a||b|;③a2=|a|2;④已知a,b,c是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;⑤|a·b|≤a·b;⑥若非零向量a,b满足a·b>0,则a与b的夹角为锐角.其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
变式 已知a,b,c是三个非零向量,则下列说法中正确的个数为 ( )
①若a·b=±|a|·|b|,则a∥b;
②若a,b反向共线,则a·b=-|a|·|b|;
③若a⊥b,则|a+b|=|a-b|;
④若|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|.
A.1 B.2 C.3 D.4
[素养小结]
对于这类概念、性质、运算律的问题的解答,关键是要深刻理解相关知识,特别是那些易与实数运算相混淆的运算律,如消去律、乘法结合律等,当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等.6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量数量积的定义、投影向量
一、选择题
1.在正六边形ABCDEF中,向量与的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
2.[2024·重庆八中高一月考] 在△ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=60°,则·=( )
A.12 B.6
C.-6 D.-12
3.下列说法中错误的是 ( )
A.对于任意向量a,都有0·a=0
B.若a·b=0,则a=0或b=0
C.对于任意向量a,b,都有|a·b|≤|a||b|
D.若a,b共线,则a·b=±|a||b|
4.已知|a|=3,|b|=4,a·b=-6,则向量a与b的夹角为 ( )
A. B.
C. D.
5.在△ABC中,“△ABC为钝角三角形”是“·>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.[2024·淄博高一期中] 已知O是△ABC的外心,满足+=2,||=||,则向量在向量上的投影向量为 ( )
A. B.
C.- D.-
7.如图,AB是圆C的一条弦,则下列条件中能得出·=2的是 ( )
A.圆C的半径为2
B.圆C的半径为1
C.弦AB的长为2
D.弦AB的长为1
8.(多选题)已知两个单位向量e1,e2的夹角为θ,则下列说法正确的是 ( )
A.e1在e2上的投影向量为cos θ e2
B.e1·e2=1
C.=
D.(e1+e2)⊥(e1-e2)
9.(多选题)如图,I,J分别为CD,CE的中点,四边形ABCD、四边形BCEF和四边形GHIJ均为正方形,则 ( )
A.·=0
B.在上的投影向量为
C.·>0
D.在上的投影向量为2
二、填空题
10.若|a|=2,b=-3a,则a·b= .
11.[2024·重庆巴蜀中学高一期中] 已知非零向量a和单位向量b满足a⊥b,且向量a+b与a的夹角为30°,则|a|= .
12.已知P是边长为2的菱形ABCD内一点(不包括边界),若∠BAD=120°,则·的取值范围是 .
三、解答题
13.如图,在平行四边形ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·;
(4)·.
14.若向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=1,|c|=4,求a·b+b·c+c·a.
15.对任意两个非零的平面向量α和β,定义α°β=.若平面向量a,b满足|a|≥|b|>0,a与b的夹角θ∈,且a°b和b°a都在集合中,则a°b+b°a= ( )
A. B.2 C. D.3
16.如图,在梯形ABCD中,DA=AB=BC=CD=1,若点P在阴影区域内(含边界)运动,求·的取值范围.