(共63张PPT)
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
第2课时 向量数量积的运算律
探究点一 向量数量积的运算律
探究点二 求向量的数量积
探究点三 向量模、夹角的计算问题
探究点四 两个非零向量的垂直问题
【学习目标】
理解平面向量数量积的运算律,会用数量积判定两个平面向量的
垂直关系.
知识点一 数量积的运算律
对于向量，，和实数 ，有
（1） _____（交换律）．
（2）________ ________（结合律）．
（3） ___________（分配律）．
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） .( )
√
（2） .( )
×
（3） .( )
√
知识点二 数量积运算的常用公式
多项式乘法 向量数量积
探究点一 向量数量积的运算律
例1 （多选题）设,, 是不共线的非零向量,则下列结论正确的是
( )
A.
B.不与 垂直
C.
D.
√
√
√
[解析] 根据向量数量积的分配律知A正确;
因为 ,
所以与垂直,B错误;
因为非零向量, 不共线,所以,,可作为三角形的三边长,
所以 ,C正确;易知D正确.故选 .
变式 （多选题）将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，
下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.由，可得
[解析] 平面向量的数量积运算满足交换律和分配律，不满足结合律，
故A，C正确，B错误；由，得 ，
从而或，故D错误.故选 .
√
√
探究点二 求向量的数量积
例2（1） 已知，，且向量与的夹角为 ，求
.
解： .
（2）在中，是的中点，，，求
的值.
解： ，
， .
变式（1） 已知向量,,满足，， ，
则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 ，即
，即，整理得 ，
所以 .故选C.
√
（2）[2024·大连育明中学高一期中] 如图，
四边形为平行四边形， ，
，点，满足， ，
求 的值.
解：由题意， ，
，
所以 ，
因为,，所以 .
［素养小结］
（1）求两个向量的数量积，应首先确定两个向量的模及夹角，其中
准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键．
（2）根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似
于多项式的乘法运算．
探究点三 向量模、夹角的计算问题
例3 已知向量，满足，，且与的夹角为 .
（1）求 ;
解：
.
（2）求与 的夹角.
解：设与的夹角为 ，则 ，
， ，
，又， ，即与 的
夹角为 .
变式（1） [2024·合肥一中高一期中] 非零向量， 满足
，若，则， 的夹角为__ .
[解析] 非零向量，满足，且，
设， 的夹角为，则，且 ，
，.， .
（2）如图，在中，已知, ,
，，边上的中线， 相
交于点，求 .
解：因为，分别为， 边上的中线，
所以点为的重心，则 .
设，，则 ，所以 ，
故 .
［素养小结］
求平面向量的模和夹角时要注意数量积运算律的正确运用，在解决
与图形有关的模与夹角问题时要注意选择合适的向量表示及公式的
正确计算.
探究点四 两个非零向量的垂直问题
例4 已知非零向量,满足,与的夹角的余弦值为 ,
若,则实数 的值为( )
A.4 B. C. D.
[解析] 设与的夹角为 ,则 ,所以
.
因为,所以 ,即,
即,所以,解得 ,故选B.
√
变式 [2024·北京房山区高一期中] 若向量,满足， ，
且，则向量与 的夹角为( )
A. B. C. D.
[解析] 设向量与的夹角为 ，由 ，得
，解得 ，因为
，所以 ，故选B.
√
［素养小结］
解决与垂直有关的问题时要利用（， 均为非零
向量）．
拓展 已知和是平面内的两个单位向量，且与的夹角为 ，若向
量满足，则 的最大值是_ _____.
[解析] 设,,,连接，， ，则
, ,因为,所以 ，
即，所以在以为直径的圆上.
设的中点为，连接 ，因为和是平面内的两个单位向量，
且与的夹角为 ,所以 ，
，故 .
1.数量积对结合律一般不成立，因为是一个与 共线的向量，
而是一个与 共线的向量，两者一般不同．
2.
多项式乘法 向量数量积
3.类比实数运算律:在实数中,若,,则 ,但是在数量积
中, 已知向量,,,由, 不能推出 .
如图所示， ,
,故,但 .
1.求向量的模常用平方转化法
或 ,此性质可用来求向量的模,可以实现实
数运算与向量运算的相互转化.
例1 如图，已知正三角形的边长为1，设, .
（1）若是的中点，用,表示向量， ；
解： ，
.
（2）求 ；
解：由题意得，且与的夹角为 ，
，
所以 .
（3）求与 的夹角.
解：由题意得
，则
.
设与的夹角为 ，
则 ，
因为，所以与 的夹角
为 .
例2 已知平面向量，，满足，， .
（1）若向量，的夹角为，且，求 的值；
解：因为，所以，即 ，
所以 ，
将，代入，得，故 .
（2）若的最小值为，求向量， 的夹角.
解：设，的夹角为 ，由 ，得
，
故当 时，取得最小值 .
由题意得，解得 ，
又，所以或 .
2.平面向量数量积的应用
利用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，从
而比较容易判断三角形的形状.
例3 在中，，， ，且
，试判断 的形状.
解：在中，易知，即 ，
因此，，从而
两式相减可得 ，
则 .
又因为，所以，即 .
同理可得，故 ，
所以 是等边三角形.
练习册
一、选择题
1.设向量，的夹角的余弦值为，， ，则
( )
A. B.23 C. D.27
[解析] 设与的夹角为 ，则，
又， ，所以 ，
所以 .故选B.
√
2.已知非零向量，满足 ，则( )
A. B. C. D.
[解析] ， ，
，
√
3.已知向量,满足,，向量与的夹角为 ，则
( )
A.12 B.4 C. D.2
[解析] 因为,，向量与的夹角为 ，
所以，
所以 .故选C.
√
4.[2024·华师大一附中高一期中]已知,, 均为单位向量，且
，则与 的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为,,均为单位向量，且 ，所以,
两边平方得 ，则,，
解得,，即与 的夹角的余弦值为 .故选D.
√
5.已知向量，是的中点，，则 的值
为( )
A.1 B.2 C. D.
[解析] 是的中点，，
又 ，
， ，故选B.
√
6.设向量与的夹角为 ，定义 .已知向量
为单位向量，，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得
，
解得，因为，所以 ，所以
.
故选C.
√
7.设两个向量，满足，，，的夹角为 ，
若向量与向量的夹角为钝角，则实数 的取值范
围是( )
A.
B.
C.
D.
√
[解析] 由题意知，即 ，
解得.由，得，所以 的取值范围
为 .故选B.
8.（多选题）已知向量，均为单位向量，且 ，则下
列结论正确的是( )
A. B.
C. D.,
[解析] 由题意，向量，均为单位向量，且 ，则
，解
得，所以 ，故A正确，D错误；
，故B错误；
，故C正确.故选 .
√
√
9.（多选题）[2024·福建八市高一期中] 定义:已知两个非零向量, ，
它们的夹角为 ，我们把 叫作向量与 的叉乘，记
作 ，以下说法正确的是( )
A.若，则
B.
C.若四边形为平行四边形，则它的面积等于
D.若,，则的最小值为
√
√
√
[解析] 对于A，若，则，而 ，，
因此，又 ，所以或 ，所以，A正确；
对于B， ，当 时，
，
当 时，，B错误；
对于C,平行四边形 的面积,C正确；
对于D，由 ，得，由，
得 ，两式平方后相加得，所以 ，则
，
当且仅当时取等号，D正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·山东青岛高一期中] 若，， ，则
___.
1
[解析] 因为，， ，所以
.
11.已知向量,满足，，，则
与 的夹角为___.
[解析] 由，得 ，
因为，，所以，解得.
设与 的夹角为 ，则，因为 ，所以
.
12.[2024·辽宁本溪高一期中] 如图，正方形的一条边上连接一个等
腰直角三角形，等腰直角三角形的两腰上再分别连接一个正方形，
以此类推.设初始正方形的边长为2，则 ___ .
5
[解析] 如图，连接，延长交于点 ，
延长交于点 .
由题意和图形的对称性，可知, ,且
,
，
所以 .
三、解答题
13.[2024·佳木斯高一期中] 已知，，与的夹角为 .
（1）求 ；
解：因为，，与的夹角为 ，
所以 ，
所以 .
（2）若，，， ，
求 的值.
解：因为与不共线，所以若 ，则存在唯一实
数，使得 ，
可得解得
因为，所以 ，
即 ，
即，解得 ，
所以 .
14.如图，在边长为4的正三角形中， 为
的中点，为的中点， .令
， .
（1）试用，表示向量 ；
解：
.
（2）延长交于点，求 的值.
解：设， ，则，
因为与 共线，所以可设， ，
则 ，
即，则
解得即 ，
则 ，
故 .
15.[2024·温州中学高一期中]已知，， ，且
，则 的最大值为( )
A. B.5 C. D.6
√
[解析]
，因为 ，
当且仅当与 同向时取等号，所以
.故选A.
16.如图，设，是平面内相交成 角
的两条数轴，，分别是与轴、 轴正方
向同向的单位向量.若向量 ，
则把有序数对叫作在坐标系 中的
（1）求 .
解: ，
.
坐标.已知向量,在坐标系中的坐标分别为， .
（2）在轴上是否存在一点，使得是以
为斜边的直角三角形？若存在，求出点 的坐标；
若不存在，请说明理由.
解:假设在轴上存在一点，使得是以 为斜边的直角三角形.
设 ，则
，
，
根据题意得， ，
，得，整理得，
， 方程无解.故在轴上不存在一点，使得是以 为斜边的直角三角形.第2课时 向量数量积的运算律
【课前预习】
知识点一
(1)b·a (2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c+b·c
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√
知识点二
a2+2a·b+b2 a2-2a·b+b2 a2-b2 a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c
【课中探究】
探究点一
例1 ACD [解析] 根据向量数量积的分配律知A正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)(a·c)-(c·a)(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;因为非零向量a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|可作为三角形的三边长,所以|a|-|b|<|a-b|,C正确;易知D正确.故选ACD.
变式 AC [解析] 平面向量的数量积运算满足交换律和分配律,不满足结合律,故A,C正确,B错误;由a·b=a·c(a≠0),得a·(b-c)=0,从而b-c=0或a⊥(b-c),故D错误.故选AC.
探究点二
例2 解:(1)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2-4a·b+9a·b-6b2=6×42+5×4×5×cos 60°-6×52=-4.
(2)∵=-=-,=+=+,∴·=·=-=9-×100=-16.
变式 (1)C [解析] 因为a+b=-c,所以(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2,即9+2a·b+4=4,整理得a·b=-,所以a·b+b·c+c·a=a·b-(a+b)·(-c)=a·b-(a+b)2=-(a2+a·b+b2)=-=-.故选C.
(2)解:由题意,=+=+,=+=-,所以·=·=-,
因为AD=3,AB=4,所以·=×16-×9=6.
探究点三
例3 解:(1)|2a-b|===
=
=.
(2)设a与a+b的夹角为θ,则cos θ=,
∵a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a|·|b|cos 120°=4-1=3,|a+b|===
==,
∴cos θ==,又θ∈[0°,180°],∴θ=30°,即a与a+b的夹角为30°.
变式 (1) [解析] 非零向量a,b满足|a+b|=|a-2b|,且|a|=|b|,设a,b的夹角为θ,则a2+2a·b+b2=a2-4a·b+4b2,且a2=b2,∴2a·b=b2,∴cos θ===.∵θ∈[0,π],∴θ=.
(2)解:因为AM,BN分别为BC,AC边上的中线,
所以点P为△ABC的重心,则=.
设=a,=b,则=(+)=(a+b),
所以==(a+b),
故||=|a+b|==×=.
探究点四
例4 B [解析] 设m与n的夹角为θ,则cos θ===,所以m·n=|n|2=n2.因为n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=0,即tm·n+n2=0,即tn2+n2=0,所以t+1=0,解得t=-4,故选B.
变式 B [解析] 设向量a与b的夹角为θ,由(a-b)⊥a,得(a-b)·a=a2-a·b=3-2cos θ=0,解得cos θ=,因为θ∈[0,π],所以θ=,故选B.
拓展 [解析] 设=a,=b,=c,连接AB,AC,BC,则=a-c,=b-c,因为(a-c)·(b-c)=0,所以·=0,即⊥,所以C在以AB为直径的圆上.设AB的中点为D,连接OD,因为a和b是平面内的两个单位向量,且a与b的夹角为,所以||=1,||==,故|c|max=||+=.第2课时 向量数量积的运算律
1.B [解析] 设a与b的夹角为θ,则cos θ=-,又|a|=2,|b|=3,所以a·b=|a|·|b|cos θ=2×3×=-2,所以(2a+3b)·b=2a·b+3b2=-4+27=23.故选B.
2.B [解析] ∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0,∴|a|2-|b|2=0,∴|a|=|b|.
3.C [解析] 因为|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,所以a·b=|a||b|cos 60°=1,所以|4a-b|====2.故选C.
4.D [解析] 因为a,b,c均为单位向量,且2a=3b+4c,所以2a-3b=4c,两边平方得4a2-12a·b+9b2=16c2,则4-12cos
+9=16,解得cos=-,即a与b的夹角的余弦值为-.故选D.
5.B [解析] ∵D是BC的中点,∴=+,又·=0,∴·=·=+·=.∵||=2,∴·=||2=2,故选B.
6.C [解析] 由题意得|a-b|===1,解得cos θ=,因为θ∈[0,π],所以sin θ==,所以ab====.故选C.
7.B [解析] 由题意知(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,即2t2+15t+7<0,解得-78.AC [解析] 由题意,向量a,b均为单位向量,且|b-2a|=,则|b-2a|2=(b-2a)2=b2-4a·b+4a2=1-4a·b+4=5,解得a·b=0,所以a⊥b,故A正确,D错误;|a+b|===,故B错误;|a-b|===,故C正确.故选AC.
9.ACD [解析] 对于A,若a×b=0,则|a||b|sin θ=0,而|a|≠0,|b|≠0,因此sin θ=0,又0≤θ≤π,所以θ=0或θ=π,所以a∥b,A正确;对于B,λ(a×b)=λ|a||b|sin θ,当λ<0时,(λa)×b=|λa||b|sin(π-θ)=-λ|a||b|sin θ,当0<θ<π时,λ(a×b)≠(λa)×b,B错误;对于C,平行四边形ABCD的面积S=||||sin∠BAD=×,C正确;对于D,由a×b=,得|a||b|sin θ=,由a·b=1,得|a||b|cos θ=1,两式平方后相加得(|a||b|)2=4,所以|a||b|=2,则|a+b|==≥=,当且仅当|a|=|b|=时取等号,D正确.故选ACD.
10.1 [解析] 因为|a|=1,|b|=,a·b=1,所以|a-b|====1.
11. [解析] 由(a+2b)·(2a-b)=1,得2a2+3a·b-2b2=1,因为|a|=3,|b|=2,所以18+3a·b-8=1,解得a·b=-3.设a与b的夹角为θ,则cos θ===-,因为θ∈[0,π],所以θ=.
12.5 [解析] 如图,连接EF,延长AD交EF于点M,延长BC交EF于点N.由题意和图形的对称性,可知AM⊥EF,BN⊥EF,且AM=BN=2+×2=3,ME=NF=2××+2××=2,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=·+·=||·||cos 0+||·||cos π=9-4=5.
13.解:(1)因为|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,所以a·b=|a|·|b|cos=2×3×=-3,
所以(2a+b)·(3a-2b)=6a2-a·b-2b2=6×22-(-3)-2×32=9.
(2)因为a与b不共线,所以若(a-nb)∥(2a+6b),则存在唯一实数t,使得a-nb=t(2a+6b),
可得解得
因为(ma+b)⊥(a+2b),所以(ma+b)·(a+2b)=0,
即ma2+(2m+1)a·b+2b2=0,即m×22+(2m+1)×(-3)+2×32=0,解得m=,
所以m-n=-(-3)=.
14.解:(1)=+=-+=-+×(+)=-++=-+=-a+b.
(2)设=λ,λ∈(0,1),则=+=+λ=-+λ=-a+λb,因为与共线,所以可设=k,k∈(0,1),
则-a+b=k,即a+b=0,则解得即=, 则=+=-=(+)-=--=-a-b,故·=·=a2+a·b-a·b-b2=a2-b2=×42-×42=2.
15.A [解析] |a+b+c|==
=
,因为c·(a+b)≤|c||a+b|=3×=3×=,当且仅当c与a+b同向时取等号,所以|a+b+c|≤==.故选A.
16.解:(1)∵=-=4e1+5e2-(2e1+3e2)=2e1+2e2,∴||==
2×=2.
(2)假设在y'轴上存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形.设=te2,则=-=2e1+3e2-te2=2e1+(3-t)e2,=-=(4e1+5e2)-te2=4e1+(5-t)e2,根据题意得⊥,∴·=0,∴[2e1+(3-t)e2]·[4e1+(5-t)e2]=0,得8+(3-t)(5-t)+[2(5-t)+4(3-t)]×1×1×=0,整理得t2-11t+34=0,∵Δ<0,∴方程无解.故在y'轴上不存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形.第2课时 向量数量积的运算律
【学习目标】
理解平面向量数量积的运算律,会用数量积判定两个平面向量的垂直关系.
◆ 知识点一 数量积的运算律
对于向量a,b,c和实数λ,有
(1)a·b= (交换律).
(2)(λa)·b= = (结合律).
(3)(a+b)·c= (分配律).
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)λ(a·b)=(λa)·b. ( )
(2)a·(b·c)=(a·b)·c. ( )
(3)·+·=·(+)=·. ( )
◆ 知识点二 数量积运算的常用公式
多项式乘法 向量数量积
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=
(a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=
(a+b+c)2=a2+b2+c2+ 2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=
◆ 探究点一 向量数量积的运算律
例1 (多选题)设a,b,c是不共线的非零向量,则下列结论正确的是 ( )
A.a·c-b·c=(a-b)·c
B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直
C.|a|-|b|<|a-b|
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
变式 (多选题)将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比,下列结论正确的是 ( )
A.a·b=b·a
B.(a·b)·c=a·(b·c)
C.a·(b+c)=a·b+a·c
D.由a·b=a·c (a≠0),可得b=c
◆ 探究点二 求向量的数量积
例2 (1)已知|a|=4,|b|=5,且向量a与b的夹角为60°,求(2a+3b)·(3a-2b).
(2)在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,求·的值.
变式 (1)已知向量a,b,c满足a+b=-c,|a|=3,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a= ( )
A. B.
C.- D.-
(2)[2024·大连育明中学高一期中] 如图,四边形ABCD为平行四边形,AB=4,AD=3,点M,N满足=2,=,求·的值.
[素养小结]
(1)求两个向量的数量积,应首先确定两个向量的模及夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.
(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
◆ 探究点三 向量模、夹角的计算问题
例3 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为120°.
(1)求|2a-b|;
(2)求a与a+b的夹角.
变式 (1)[2024·合肥一中高一期中] 非零向量a,b满足|a+b|=|a-2b|,若|a|=|b|,则a,b的夹角为 .
(2)如图,在△ABC中,已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC边上的中线AM,BN相交于点P,求||.
[素养小结]
求平面向量的模和夹角时要注意数量积运算律的正确运用,在解决与图形有关的模与夹角问题时要注意选择合适的向量表示及公式的正确计算.
◆ 探究点四 两个非零向量的垂直问题
例4 已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|, m与n的夹角的余弦值为,若n⊥(tm+n),则实数t的值为 ( )
A.4 B.-4 C. D.-
变式 [2024·北京房山区高一期中] 若向量a,b满足|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
[素养小结]
解决与垂直有关的问题时要利用a⊥b a·b=0(a,b均为非零向量).
拓展 已知a和b是平面内的两个单位向量,且a与b的夹角为,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是 . 第2课时 向量数量积的运算律
一、选择题
1.设向量a,b的夹角的余弦值为-,|a|=2,|b|=3,则(2a+3b)·b= ( )
A.-23 B.23
C.-27 D.27
2.已知非零向量a,b满足(a+b)⊥(a-b),则 ( )
A.a=b B.|a|=|b|
C.a⊥b D.a∥b
3.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为60°,则|4a-b|= ( )
A.12 B.4
C.2 D.2
4.[2024·华师大一附中高一期中] 已知a,b,c均为单位向量,且2a=3b+4c,则a与b的夹角的余弦值为 ( )
A. B.-
C. D.-
5.已知向量·=0,D是BC的中点,||=2,则·的值为 ( )
A.1 B.2
C.-1 D.-2
6.设向量a与b的夹角为θ,定义ab=|asin θ+bcos θ|.已知向量a为单位向量,|b|=,|a-b|=1,则ab= ( )
A. B. C. D.2
7.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,则实数t的取值范围是 ( )
A.
B.∪
C.
D.
8.(多选题)已知向量a,b均为单位向量,且|b-2a|=,则下列结论正确的是 ( )
A.a⊥b B.|a+b|=2
C.|a-b|= D.=60°
9.(多选题)[2024·福建八市高一期中] 定义:已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把|a|·|b|·sin θ叫作向量a与b的叉乘,记作a×b,以下说法正确的是 ( )
A.若a×b=0,则a∥b
B.λ(a×b)=(λa)×b
C.若四边形ABCD为平行四边形,则它的面积等于×
D.若a×b=,a·b=1,则|a+b|的最小值为
二、填空题
10.[2024·山东青岛高一期中] 若|a|=1,|b|=,a·b=1,则|a-b|= .
11.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(2a-b)=1,则a与b的夹角为 .
12.[2024·辽宁本溪高一期中] 如图,正方形的一条边上连接一个等腰直角三角形,等腰直角三角形的两腰上再分别连接一个正方形,以此类推.设初始正方形ABCD的边长为2,则·= .
三、解答题
13.[2024·佳木斯高一期中] 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为.
(1)求(2a+b)·(3a-2b);
(2)若(ma+b)⊥(a+2b),(a-nb)∥(2a+6b),m,n∈R,求m-n的值.
14.如图,在边长为4的正三角形ABC中,E为AB的中点,D为BC的中点,=3.令=a,=b.
(1)试用a,b表示向量;
(2)延长EF交AC于点P,求·的值.
15.[2024·温州中学高一期中] 已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a·b=,则|a+b+c|的最大值为 ( )
A. B.5
C. D.6
16.如图,设Ox',Oy'是平面内相交成60°角的两条数轴,e1,e2分别是与x'轴、y'轴正方向同向的单位向量.若向量=xe1+ye2,则把有序数对(x,y)叫作在坐标系x'Oy'中的坐标.已知向量,在坐标系x'Oy'中的坐标分别为(2,3),(4,5).
(1)求||.
(2)在y'轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为斜边的直角三角形 若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.