第四章 数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与表示
1.C [解析] 对于A,数列还可能为常数列,A错误;对于B,这两个数列一个递减,一个递增,不是相同数列,B错误;对于C,数列的第k项为=1+,C正确;对于D,记该数列为{an},则该数列中的第一项不能用an=2n表示,D错误.故选C.
2.C [解析] 对于A,数列1,,,,…是递减数列,不符合题意;对于B,数列-1,-2,-3,-4,…是递减数列,不符合题意;对于C,数列-1,-,-,-,…既是递增数列又是无穷数列,符合题意;对于D,数列1,,,…,是有穷数列,不符合题意.故选C.
3.C [解析] 由题意得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=2×10=20.
4.C [解析] 对于A,当n=3时,(-1)n+1(3n-1)=8≠10,排除A;对于B,当n=3时,(-1)n(3n-1)=-8≠10,排除B;对于D,当n=1时,(-1)n(n2+1)=-2≠2,排除D;经检验,数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an=(-1)n+1(n2+1).故选C.
5.B [解析] 由题意知,数列的通项公式为an=,令=,解得n=9.故选B.
6.A [解析] ∵an=,∴an+1-an=-==>0,∴an+1>an,∴数列{an}是递增数列.
7.C [解析] a1=1×=,a2=2×=,a3=3×==a2,a4=4×=
8.AB [解析] 数列,2,,2,…,即,,,,…,则此数列的通项公式为,A正确,C错误.令=8,解得n=32,故B正确,D错误.故选AB.
9.ABD [解析] 当m=2时,an=n+,由函数f(x)=x+的单调性及a1=3,a2=3,可知数列{an}的最小项是a1=a2=3,故A正确;当m=-1时,an=n-,显然数列{an}是递增数列,故{an}的最小项为a1=0,故B正确;令an=n+=m,得n2-mn+m=0,当0an,即n+1+>n+,得m10. 12 [解析] ∵an=,∴a10==.由an==,得n2+2n-168=0,解得n=12或n=-14(舍去).
11.n2-n+1 [解析] 图①中只有1个点,无分支,故点的个数为1;图②中除中间1个点外,有两个分支,每个分支有1个点,故点的个数为1+1×2=3;图③中除中间1个点外,有三个分支,每个分支有2个点,故点的个数为1+2×3=7;图④中除中间1个点外,有四个分支,每个分支有3个点,故点的个数为1+3×4=13;图⑤中除中间1个点外,有五个分支,每个分支有4个点,故点的个数为1+4×5=21……第n个图中除中间1个点外,有n个分支,每个分支有n-1个点,故第n个图中点的个数为1+n(n-1)=n2-n+1.
12.λ>-6 [解析] ∵{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,都有an=2n2+λn+3成立,∴对于任意的n∈N*,an+1>an,∴2(n+1)2+λ(n+1)+3>2n2+λn+3,得λ>-4n-2,又当n=1时,-4n-2取得最大值-6,,∴λ>-6.
13.解:(1)因为0.9=1-0.1=1-10-1,0.99=1-10-2,0.999=1-10-3,0.999 9=1-10-4,…,所以该数列的一个通项公式为an=1-10-n(n∈N*).
(2)因为1=1+,2=2+,3=3+,4=4+,…,所以该数列的一个通项公式为an=n+(n∈N*).
(3)因为3=1+2,5=1+22,9=1+23,17=1+24,…,所以该数列的一个通项公式为an=1+2n(n∈N*).
(4)原数列可写成-,,-,,-,…,即(-1)1×,(-1)2×,(-1)3×,(-1)4×,(-1)5×,…,故原数列的一个通项公式为an=(-1)n·(n∈N*).
14.解:(1)a1==1,a2==2,a3=1,a4=2,a5=1.图象如图①所示.
(2)a1=sin+1=sin π+1=1,a2=sin+1=0,a3=sin+1=1,a4=sin+1=2,a5=sin+1=1.图象如图②所示.
②
15.180 [解析] 该数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则数列中的奇数项依次为,,,,,…,偶数项依次为,,,,,…,所以第19项为=180,该数列的一个通项公式为an=
16.解:an+1-an=-=,
当1≤n≤3时,an+1-an>0,即a1当n=4时,an+1-an=0,即a5=a4,
当n≥5时,an+1-an<0,即a5>a6>a7>…,
所以当1≤n≤4(n∈N*)时,{an}为递增数列,当n≥5(n∈N*)时,{an}为递减数列,
所以数列{an}的最大项为a5=a4=.
又a1所以数列{an}的最小项为a1=-1.(共64张PPT)
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与表示
探究点一 数列的概念与分类
探究点二 已知通项公式写数列的项
探究点三 已知数列的项写通项公式
探究点四 数列通项公式的简单应用
【学习目标】
1.了解数列的概念,知道什么是数列,能说出数列的项.
2.了解数列的表示方法,会用表格、图象、通项公式表示数列,能用通项公式
求任意项或根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
3.了解数列与函数的关系,能用函数的观点看待数列,并能说出数列与函数的
共性与差异.
知识点一 数列及其有关概念
1.数列
按照确定的______排列的一列数称为数列.
顺序
2.数列的项
数列中的__________叫作这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫作这个数列
的第1项，常用符号____表示，第二个位置上的数叫作这个数列的第2项，用___
表示……第个位置上的数叫作这个数列的第 项，用____表示.其中第1项也叫
作______.
每一个数
首项
3.数列的表示
（1）数列的一般形式是，， ，， ，简记为_____.
（2）表格表示，如下表.
1 2 3 …
…
（3）图象表示，如图.
4.数列的分类
（1）按项的个数分类
类别 含义
有穷数列 项数______的数列
无穷数列 项数______的数列
有限
无限
（2）按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
常数列 各项都______的数列
大于
小于
相等
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）李萍从6岁到18岁，每年生日那天测量体重，依次排成一列数，可以构
成数列.( )
√
[解析] 记录的这一列数具有确定的顺序,可以构成数列.
（2）数列，，，，， 是递减数列且是无穷数列.( )
×
[解析] 数列，，，，， 从第二项起每一项都比它的前一项大，
所以是递增数列，又因为它有无穷多项，所以是无穷数列.
（3）数列1，3，5，7，9与数列9，7，5，3，1是同一个数列.( )
×
[解析] 数列中的项是有顺序的，只有两个数列中的项完全对应相同时才是同一
个数列.
知识点二 数列的通项公式
1.定义：如果数列的第项 与它的序号___之间的对应关系可以用一个式
子来表示，那么这个式子叫作这个数列的__________.
通项公式
2.作用：①求数列的任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.
3.数列的通项公式与函数解析式的关系比较
函数 数列
定义域
解析式
值域 由自变量从小到大依次取值时对应的一列函数
值构成
表示方法 解析法、列表法、 图象法 通项公式（解析法）、列表法、图象法
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知数列的通项公式是则 .( )
×
[解析] 由得， ，
所以 .
（2）若数列的通项公式为，则数列 的图象与函数
的图象相同.( )
×
[解析] 函数的图象是一条直线，通项公式为的数列
的图象是直线 在第一象限内一系列的孤立的点，这些点的横坐标依
次是1，2，3，4， .
（3）若数列的通项公式是 ,则11是数列中的项.( )
√
[解析] 令，解得，所以11是数列 中的第三项.
探究点一 数列的概念与分类
例1 已知下列数列：,,，；,4,6,8,10， ， ， ；
,7,7,7， ；，，，， ，， ； , 2,3,4,5,6,7,8,9,10；
，,2，,4，， .
其中，有穷数列是______，无穷数列是__________，递增数列是______，递减
数列是______，常数列是____.（填序号）
①⑤
②③④⑥
②⑤
①④
③
[解析] ①是有穷递减数列；②是无穷递增数列；③是无穷数列，也是常数列；
④是无穷递减数列；⑤是有穷递增数列；⑥是无穷数列.
［素养小结］
判断数列的类型应注意的几个方面:（1）判断一个数列是有穷数列还是无穷数
列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的；（2）判断一个数列的单调性
一般是根据数列中的与的大小来判断，即①若数列满足 ，
则是递增数列，②若数列满足 ，则是递减数列.
探究点二 已知通项公式写数列的项
例2 根据数列 的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来.
（1） ；
解：令通项公式中的 ，2，3，4，5，
得数列的前5项依次为，0，，1， ，
图象如图所示.
（2） .
解：令通项公式中的 ，2，3，4，5，
得数列的前5项依次为 ，0，1，0，
，图象如图所示.
［素养小结］
数列的通项公式给出了第项与它的位置序号 之间的关系，只要用序号
代替公式中的 ，就可以求出数列中相应的项.
探究点三 已知数列的项写通项公式
例3 写出下列数列的一个通项公式.
（1）,,, ,…;
解：因为每一项的分子比分母少1，而分母组成数列，，，， ，所
以 .
（2）,,, ,…;
解：这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为
正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是 .
（3）,1,, ,….
解：将原数列变形为,,,， .
对于分子3，5，7，9， ，是序号的2倍加1，
可得分子的通项公式为；
对于分母2，5，10，17， ，联想到数列1，4，9，16， ，即数列，
可得分母的通项公式为 .
故原数列的通项公式为 .
变式1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
（1）9,99,999,9999, ;
解：因为,, ,
, ,所以该数列的一个通项公式为 .
（2），3，，， .
解：原数列可化为,,,， ，即，，，，
，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因数为常数3，后一个因数为
，故原数列的通项公式为 .
变式2（1） [2024·河北邢台高二期中]已知数列的前4项分别为 ,
,, ，则该数列的一个通项公式为( )
D
A. B.
C. D.
[解析] 观察可知，该数列的一个通项公式为
.故选D.
（2）如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有
个点，相应的图案中所有点的个数记为，则 ______________.
[解析] 根据题意可得， ，
，， ，
所以数列 的一个通项公式为 .
（3）请写出数列1，0，1，0， 的至少3个通项公式.
解：，，， 等.
［素养小结］
根据数列的前几项猜想数列的通项公式，若所给前几项为分数，则可分别观察分
子组成的数列特征与分母组成的数列特征.若所给前几项为正负相间的项，则可用
的幂进行符号调节.当猜想的难度较大，不易猜出时，可尝试以下方法将数列
转化为易于猜想的数列：对数列的各项同时进行加、减、乘、除同一数；对数列
各项分别加、减、乘、除该项的项数；将各项分解为若干项的和、差、积、商等
形式.如猜想2，5，9，17的通项公式，可采取各项减1变化为1，4，8，16.
探究点四 数列通项公式的简单应用
例4 已知数列的通项公式为 .
（1）写出数列 的第4项和第6项.
解：令,得.
令 ，得 .
（2） 和68是否为该数列的项？
解：令，解得或（舍去），所以，即 是该
数列的第7项.
令，解得或，
因为， ，所以68不是该数列的项.
（3）数列 中有多少个负数项？
解：令，可得，解得，
因为，所以 ，2，3，4，5，6，7，8，9，
所以数列 中有9个负数项.
变式 已知数列的通项公式为 .
（1）求这个数列的第10项.
解：令,得 .
（2）在区间内是否存在数列 中的项？若存在，有几项？若不存在，
请说明理由.
解：解不等式，得，
因为为正整数，所以 ，因此在区间内只有数列 中的一项.
［素养小结］
判断某个数是否为数列中的项，需先假设它是数列中的项，然后列方程求解.若
方程有正整数解，则该数是数列中的项；若方程无解或解均不是正整数，则该
数不是数列中的项.
拓展（1） [2024·苏州常熟外国语学校高二月考]已知 ，则
数列 前50项中的最小项和最大项分别是( )
C
A., B., C., D.,
[解析] 因为在上单调递减，在 上
单调递减，所以当时，，当 时，
.
因此,,
所以数列 前50项中的最小项和最大项分别为, ，故选C.
（2）数列的通项公式为，若 是递减数
列，则 的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
[解析] 方法一： 数列是递减数列，对任意 恒成立，
对任意恒成立，可得 对
任意恒成立.
当时，取得最小值6， .故选C.
方法二： 函数的图象开口向下，对称轴方程是，
若数列是递减数列，则只需，解得 .故选C.
我们平时看书,一定会注意到书上的国际标准书号, 的编排是有一
定规律的.自2007年1月1日起, 由10位数扩充为13位，其中前12位用来确认书
籍信息,包括出版社、出版国家等,第13位数字为校验码.校验码的计算步骤为：
把书号前12位数字交替乘权数1和3，即第一位数字乘1,第二位数字乘3,第三位数
字乘1,以此类推,然后将这些积加起来,把总和除以10，得出余数，最后用10减去
余数，所得数字即为校验码.若无余数（即总和可被10整除），则校验码是0.校
验码可以用来检验的正确性 就是一个数列.
1.观察猜测函数值
数列的项（即离散型函数的函数值）隐藏在离散特征背后的规律性，为我们提
高观察、归纳、想象、创造能力提供了绝佳的素材.
例如:
（1）著名的斐波那契数列1,1,2,3,5,8,13, 的排列规律是：从第三项起，每项是
其前两项之和.
（2）古老的三角形数构成的数列为1,3,6,10,15,21,28, .容易发现第二项减去第
一项的差是2，第三项减去第二项的差是3，第四项减去第三项的差是4， ，
数列的通项公式为 .
（3）外观数列为1，11,21,1211,,,, ，从第二项起，
每一项都是对前一项的“描述”，如第二项11表示第一项是1个1，第三项21表示
第二项是2个1，第四项1211表示第三项是1个2和1个1，第五项111 221表示第四
项是1个1、1个2、2个 外观数列有着许多有趣的性质，比如随着 越来越
大，第项就越来越长，但除数字1，2，3之外，其他数字永远不会出现；随着
的增大，项与前一项的长度之比接近于一个无理常数， 叫作康威常数.
2.对数列概念的理解
（1）从定义角度考虑：数列的项与正整数1，2，3， 严格对应，数列中的项
是有序的，有序性是数列的主要特征；再者，数列中的数可以重复出现，这与
数集中数的互异性是不同的.
（2）从函数角度看数列：数列与函数的关系为 ，
也就是说数列是一个特殊的函数，数列的通项公式就是相应的函数的解析式，
其图象是相应的曲线（或直线）上横坐标为正整数的一些孤立的点.
3.数列的概念与函数概念的不同与联系
（1）从定义上看：数列是以正整数集为定义域的函数，是一列有序的数.通常
可用 来表示其通项.函数是描述每个输入值对应唯一输出值的这种对应关系，
通常可用符号 来表示.
（2）数列是一种特殊的函数，数列的通项公式可以看成是关于 的函数.
（3）若函数 为增函数，则所对应的数列为递增数列；同样，若函数
为减函数，则所对应的数列为递减数列.即函数与对应的数列的单调性一致.
4.通项公式的魅力
数列的通项公式是数列作为离散型函数的解析式，有了它就抓住了数列的全貌，
为我们计算数列的任意项和研究它的整体性质提供了一个关键的抓手.数列的通
项公式具有多样性、不唯一性.若数列为,1，,1, ，则其通项公式可
以为或 或或 等.
1.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式,解决此类问题的关键是观察、归
纳各项与对应的序号 之间的联系.同时,要善于利用我们熟知的一些基本数列,通
过合理地联想、转化使问题得到解决.
例1（1） 如图，第个图形是由正边形“扩展”而来的， ，2，3，
，则第 个图形的顶点个数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，当时，顶点共有（个）；
当 时，顶点共有（个）；
当时，顶点共有（个）；
当 时，顶点共有（个）.
可得第个图形的顶点共有 个.
（2）[2024·福建龙岩高二期中] 数列，，1，， 的一个通项公式为
______________.
[解析] ,,1,,…可写为,,,, ，
所以第项的分子为 ，分母为 ，奇数项为正，偶数项为负，
则该数列的一个通项公式为 .
2.判断某数是否为数列中的项,只需将它代入通项公式中求的值,若存在正整数
使方程成立,则说明该数是数列中的项,否则该数就不是数列中的项.
例2 已知在数列中， .
（1）求数列 的第8项.
解：令，得 .
（2）是否为数列中的项？若是数列 中的项，是第几项？
解：令，解得，
又，，是数列 中的项，且是第10项.
（3）求证： .
证明：， .
3.数列的项与序号之间构成特殊的函数关系，故可用函数的有关知识解决数列
的某些问题，但要注意函数的定义域.对于通项公式为 的二次函数的数列，其
最值不一定在对应二次函数 图象的对称轴上取得，当
时，最值应是离对称轴最近的项，且取得最值的项可能是一项或两项.
例3 已知数列的通项公式是 ，求它的最大项.
解： .
由于函数在上单调递增，在 上单调递减，
故当时， 取得最大值13，
所以数列的最大项为 .
练习册
一、选择题
1.[2024·苏州吴江中学高二月考]下列说法中正确的是( )
C
A.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列
B.数列1，0，，与， ，0，1是相同的数列
C.数列的第项为
D.数列0，2，4，6， 可记为
[解析] 对于A，数列还可能为常数列，A错误；
对于B，这两个数列一个递减，一个递增，不是相同数列，B错误；
对于C，数列的第项为 ，C正确；
对于D，记该数列为，则该数列中的第一项不能用 表示，D错误.故选C.
2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )
C
A.1，，，， B.，，，，
C.，，，， D.1，，， ，
[解析] 对于A，数列1，，，， 是递减数列，不符合题意；
对于B，数列，，，， 是递减数列，不符合题意；
对于C，数列，, , ， 既是递增数列又是无穷数列，符合题意；
对于D，数列1，， ， ， 是有穷数列，不符合题意.故选C.
3.已知数列的通项公式为则 ( )
C
A.70 B.28 C.20 D.8
[解析] 由题意得， ，
所以 .
4.数列2,,10,, 的一个通项公式为 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 对于A，当时， ，排除A；
对于B，当时，，排除B；
对于D，当 时，，排除D；
经检验，数列2,,10,, 的一个通项公式为 .故选C.
5.在数列，，，， ，， 中， 是它的( )
B
A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项
[解析] 由题意知，数列的通项公式为，令，解得 .故选B.
6.已知数列的通项公式是 ，那么这个数列是( )
A
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列
[解析] ，
，
， 数列 是递增数列.
7.已知数列的通项公式为，则数列 中最大项的序号为 ( )
C
A.2 B.3 C.2或3 D.4
[解析] ，， ，
，
当 时，，
所以 ，
所以数列 中最大项的序号为2或3.故选C.
8.（多选题）已知数列,2,,, ，则下列说法正确的是( )
AB
A.此数列的通项公式是 B.8是它的第32项
C.此数列的通项公式是 D.8是它的第4项
[解析] 数列,2,,, ，即,,,, ，则此数列的通项公式为 ，
A正确，C错误.
令，解得，故B正确，D错误.故选 .
9.（多选题）已知数列的通项公式为 ，则下列说法正确
的是( )
ABD
A.当时，数列的最小项是
B.当时，数列的最小项是
C.当时，是数列 中的项
D.当时， 为递增数列
[解析] 当时，，由函数的单调性及 ，
，可知数列的最小项是,故A正确；
当 时，，显然数列是递增数列，故的最小项为 ，
故B正确；
令，得，当时， ，
故方程无解，所以不是数列中的项，故C错误；
若 是递增数列，则，即，得，
又，所以 ，故D正确.故选 .
二、填空题
10.已知数列的通项公式为，则____；若，则
____.
12
[解析] ，.
由 ，得，解得或 （舍去）．
11.根据图中的5个图形及相应点的个数变化规律，试猜测第 个图中有________
_____个点.
[解析] 图①中只有1个点，无分支，故点的个数为1；
图②中除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点，
故点的个数为 ；
图③中除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点，
故点的个数为 ；
图④中除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点，
故点的个数为 ；
图⑤中除中间1个点外，有五个分支，每个分支有4个点，
故点的个数为
第个图中除中间1个点外，有个分支，每个分支有 个点，
故第个图中点的个数为 .
12.[2024·重庆三中高二月考] 已知数列满足， ，
且是递增数列，则实数 的取值范围是________.
[解析] 是递增数列，且对于任意的，都有 成
立， 对于任意的， ，
，得，
又当 时，取得最大值， ．
三、解答题
13.写出下列各数列的一个通项公式.
（1），，，， ；
解：因为，， ，
， ，所以该数列的一个通项公式为 .
（2），，，， ；
解：因为，，，， ，
所以该数列的一个通项公式为 .
（3）3，5，9，17， ；
解：因为，，，， ，所以该数列
的一个通项公式为 .
（4），，，，， .
解：原数列可写成，，，，， ，即 ，
，，，， ，故原数列的一
个通项公式为 .
14.根据数列 的通项公式,写出数列的前5项,并用图象表示出来.
（1） ；
解：,,,, .
图象如图①所示.
①
（2） .
解：, ,
,, .
图象如图②所示.
②
15.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释
中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经
历过的两仪数量总和.该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，
40，50, ，则该数列的第19项为_____，该数列的一个通项公式为
_ _______________.
180
[解析] 该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则数列
中的奇数项依次为，，，，， ，偶数项依次为， ，
，，， ，
所以第19项为 ，该数列的一个通项公式为
16.已知数列的通项公式为，试判断数列 的单调性，并判断该
数列是否有最大项与最小项.
解： ，
当时，，即 ，
当时，，即 ，
当时，，即 ，
所以当时，为递增数列，当时， 为递
减数列，所以数列的最大项为 .
又，当时， ，
所以数列的最小项为 .第四章 数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与表示
【课前预习】
知识点一
1.顺序 2.每一个数 a1 a2 an 首项
3.(1){an} 4.(1)有限 无限 (2)大于 小于 相等
诊断分析
(1)√ (2)× (3)× [解析] (1)记录的这一列数具有确定的顺序,可以构成数列.
(2)数列-1,-,-,-,-,…从第二项起每一项都比它的前一项大,所以是递增数列,又因为它有无穷多项,所以是无穷数列.
(3)数列中的项是有顺序的,只有两个数列中的项完全对应相同时才是同一个数列.
知识点二
1.n 通项公式
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ [解析] (1)由an=得a3=3×3-2=7,a4=3×23=24,所以a3(2)函数y=2x-1的图象是一条直线,通项公式为an=2n-1的数列{an}的图象是直线y=2x-1在第一象限内一系列的孤立的点,这些点的横坐标依次是1,2,3,4,….
(3)令an=2n+3=11,解得n=3,所以11是数列{an}中的第三项.
【课中探究】
探究点一
例1 ①⑤ ②③④⑥ ②⑤ ①④ ③ [解析] ①是有穷递减数列;②是无穷递增数列;③是无穷数列,也是常数列;④是无穷递减数列;⑤是有穷递增数列;⑥是无穷数列.
探究点二
例2 解:(1)令通项公式中的n=1,2,3,4,5,得数列{an}的前5项依次为-,0,,1,,图象如图所示.
(2)令通项公式中的n=1,2,3,4,5,得数列{an}的前5项依次为-1,0,1,0,-1,图象如图所示.
探究点三
例3 解:(1)因为每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以an=.
(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为正,偶数项为负,所以它的一个通项公式是an=(-1)n+1.
(3)将原数列变形为,,,,….对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1;对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1.故原数列的通项公式为an=.
变式1 解:(1)因为9=10-1,99=100-1=102-1,999=1000-1=103-1,9999=10 000-1=104-1,…,所以该数列的一个通项公式为an=10n-1.
(2)原数列可化为,,,,…,即,,,,…,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因数为常数3,后一个因数为2n-1,故原数列的通项公式为an=.
变式2 (1)D (2)3(n-1)(n≥2) [解析] (1)观察可知,该数列的一个通项公式为an=(-1)nn+(-1)n-1=(-1)nn+(-1)n-1.故选D.
(2)根据题意可得a2=3=3×(2-1),a3=6=3×(3-1),a4=9=3×(4-1),a5=12=3×(5-1),…,所以数列{an}的一个通项公式为an=3(n-1)(n≥2).
(3)解:an=,an=,an=|sin|,an=等.
探究点四
例4 解:(1)令n=4,得a4=3×16-28×4=-64.令n=6,得a6=3×36-28×6=-60.
(2)令3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),所以n=7,即-49是该数列的第7项.令3n2-28n=68,解得n=或n=-2,因为 N*,-2 N*,所以68不是该数列的项.
(3)令an<0,可得3n 2-28n<0,解得0变式 解:(1)令n=10,得a10==.
(2)解不等式<<,得拓展 (1)C (2)C [解析] (1)因为y==1+在(-∞,)上单调递减,在(,+∞)上单调递减,所以当x∈(-∞,)时,y∈(-∞,1),当x∈(,+∞)时,y∈(1,+∞).因此a8a10>…>a50>1,所以数列{an}前50项中的最小项和最大项分别为a8,a9,故选C.
(2)方法一:∵数列{an}是递减数列,∴an>an+1对任意n∈N*恒成立,∴-2n2+λn>-2(n+1)2+λ(n+1)对任意n∈N*恒成立,可得λ<4n+2对任意n∈N*恒成立.∵当n=1时,4n+2取得最小值6,∴λ<6.故选C.
方法二:∵函数f(x)=-2x2+λx的图象开口向下,对称轴方程是x=,∴若数列{an}是递减数列,则只需<,解得λ<6.故选C.第四章 数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与表示
【学习目标】
1.了解数列的概念,知道什么是数列,能说出数列的项.
2.了解数列的表示方法,会用表格、图象、通项公式表示数列,能用通项公式求任意项或根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
3.了解数列与函数的关系,能用函数的观点看待数列,并能说出数列与函数的共性与差异.
◆ 知识点一 数列及其有关概念
1.数列
按照确定的 排列的一列数称为数列.
2.数列的项
数列中的 叫作这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第1项,常用符号 表示,第二个位置上的数叫作这个数列的第2项,用 表示……第n个位置上的数叫作这个数列的第n项,用 表示.其中第1项也叫作 .
3.数列的表示
(1)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为 .
(2)表格表示,如下表.
n 1 2 3 …
an a1 a2 a3 …
(3)图象表示,如图.
4.数列的分类
(1)按项的个数分类
类别 含义
有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
(2)按项的变化趋势分类
类别 含义
递增数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起,每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项都 的数列
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)李萍从6岁到18岁,每年生日那天测量体重,依次排成一列数,可以构成数列. ( )
(2)数列-1,-,-,-,-,…是递减数列且是无穷数列. ( )
(3)数列1,3,5,7,9与数列9,7,5,3,1是同一个数列. ( )
◆ 知识点二 数列的通项公式
1.定义:如果数列{an}的第n项an与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的 .
2.作用:①求数列的任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项.
3.数列的通项公式与函数解析式的关系比较
函数 数列
定义域 R或R的子集 正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})
解析式 y=f(x) an=f(n)
值域 y的取值范围 由自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成
表示 方法 解析法、列表法、图象法 通项公式(解析法)、列表法、图象法
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知数列{an}的通项公式是an=则a3>a4. ( )
(2)若数列{an}的通项公式为an=2n-1,则数列{an}的图象与函数y=2x-1的图象相同. ( )
(3)若数列{an}的通项公式是an=2n+3,则11是数列中的项. ( )
◆ 探究点一 数列的概念与分类
例1 已知下列数列:①1,0.84,0.842,0.843;②2,4,6,8,10,…,2n,…;③7,7,7,7,…;④,,,,…,,…;⑤1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;⑥0,-1,2,-3,4,-5,….
其中,有穷数列是 ,无穷数列是 ,递增数列是 ,递减数列是 ,常数列是 .(填序号)
[素养小结]
判断数列的类型应注意的几个方面:(1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的;(2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的an+1与an的大小来判断,即①若数列{an}满足anan+1,则是递减数列.
◆ 探究点二 已知通项公式写数列的项
例2 根据数列{an}的通项公式,写出数列的前5项,并用图象表示出来.
(1)an=n-1;
(2)an=sin.
[素养小结]
数列{an}的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列中相应的项.
◆ 探究点三 已知数列的项写通项公式
例3 写出下列数列的一个通项公式.
(1),,,,…;
(2),-,,-,…;
(3),1,,,….
变式1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)9,99,999,9999,…;
(2),3,,,….
变式2 (1)[2024·河北邢台高二期中] 已知数列{an}的前4项分别为-1+,2-,-3+,4-,则该数列的一个通项公式为 ( )
A.an=(-1)nn+(-1)n
B.an=(-1)nn-(-1)n
C.an=(-1)nn-(-1)n-1
D.an=(-1)nn+(-1)n-1
(2)如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n≥2,n∈N*)个点,相应的图案中所有点的个数记为an,则an= .
(3)请写出数列1,0,1,0,…的至少3个通项公式.
[素养小结]
根据数列的前几项猜想数列的通项公式,若所给前几项为分数,则可分别观察分子组成的数列特征与分母组成的数列特征.若所给前几项为正负相间的项,则可用-1的幂进行符号调节.当猜想的难度较大,不易猜出时,可尝试以下方法将数列转化为易于猜想的数列:对数列的各项同时进行加、减、乘、除同一数;对数列各项分别加、减、乘、除该项的项数;将各项分解为若干项的和、差、积、商等形式.如猜想2,5,9,17的通项公式,可采取各项减1变化为1,4,8,16.
◆ 探究点四 数列通项公式的简单应用
例4 已知数列{an}的通项公式为an=3n 2-28n.
(1)写出数列{an}的第4项和第6项.
(2)-49和68是否为该数列的项
(3)数列{an}中有多少个负数项
变式 已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)求这个数列的第10项.
(2)在区间内是否存在数列{an}中的项 若存在,有几项 若不存在,请说明理由.
[素养小结]
判断某个数是否为数列中的项,需先假设它是数列中的项,然后列方程求解.若方程有正整数解,则该数是数列中的项;若方程无解或解均不是正整数,则该数不是数列中的项.
拓展 (1)[2024·苏州常熟外国语学校高二月考] 已知an=(n∈N*),则数列{an}前50项中的最小项和最大项分别是 ( )
A.a1,a50 B.a1,a8
C.a8,a9 D.a9,a50
(2)数列{an}的通项公式为an=-2n2+λn(n∈N*,λ∈R),若{an}是递减数列,则λ的取值范围是 ( )
A.(-∞,4) B.(-∞,4]
C.(-∞,6) D.(-∞,6]第四章 数列
4.1 数列的概念
第1课时 数列的概念与表示
一、选择题
1.[2024·苏州吴江中学高二月考] 下列说法中正确的是 ( )
A.如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列
B.数列1,0,-1,-2与-2,-1,0,1是相同的数列
C.数列的第k项为1+
D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}
2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( )
A.1,,,,…
B.-1,-2,-3,-4,…
C.-1,-,-,-,…
D.1,,,…,
3.已知数列{an}的通项公式为an=则a2·a3= ( )
A.70 B.28 C.20 D.8
4.数列2,-5,10,-17,…的一个通项公式为an= ( )
A.(-1)n+1(3n-1) B.(-1)n(3n-1)
C.(-1)n+1(n2+1) D.(-1)n(n2+1)
5.在数列,,,,…,,…中,是它的 ( )
A.第8项 B.第9项
C.第10项 D.第11项
6.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是 ( )
A.递增数列 B.递减数列
C.摆动数列 D.常数列
7.已知数列{an}的通项公式为an=n×,则数列{an}中最大项的序号为 ( )
A.2 B.3
C.2或3 D.4
8.(多选题)已知数列,2,,2,…,则下列说法正确的是 ( )
A.此数列的通项公式是
B.8是它的第32项
C.此数列的通项公式是
D.8是它的第4项
9.(多选题)已知数列{an}的通项公式为an=n+(m∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.当m=2时,数列{an}的最小项是a1=a2=3
B.当m=-1时,数列{an}的最小项是a1=0
C.当0D.当m<2时,{an}为递增数列
二、填空题
10.已知数列{an}的通项公式为an=,则a10= ;若an=,则n= .
11.根据图中的5个图形及相应点的个数变化规律,试猜测第n个图中有 个点.
12.[2024·重庆三中高二月考] 已知数列{an}满足an=2n2+λn+3,n∈N*,且{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是 .
三、解答题
13.写出下列各数列的一个通项公式.
(1)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…;
(2)1,2,3,4,…;
(3)3,5,9,17,…;
(4)-,,-,,-,….
14.根据数列{an}的通项公式,写出数列的前5项,并用图象表示出来.
(1)an=;
(2)an=sin+1.
15.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则该数列的第19项为 ,该数列的一个通项公式为an= .
16.已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项.