4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念与通项公式
【课前预习】
知识点一
1.等差 公差 an+1-an=d 2.等差中项
诊断分析
(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× [解析] (1)这个无穷数列的前4项构成公差为1的等差数列,但往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.
(2)当一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列.
(3)对于任意实数x,y,就是它们的等差中项.
(4)因为a,b,c是等差数列,所以根据等差数列的定义知,c-b=b-a,即c+a=2b.
(5)当数列{an}为常数列时,该数列是公差为0的等差数列.
知识点二
1.a1+(n-1)d 2.孤立的点 3.递增 递减
诊断分析
1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)因为当n≥2时,an-an-1=(kn+b)-[k(n-1)+b]=k,为常数,所以数列{an}一定是等差数列.
(2)因为a2-a1=3-1=2,当n≥2时,an+1-an=n+2-(n+1)=1,a2-a1≠1,所以由等差数列的定义可知{an}不是等差数列.
(3)公差d=an+1-an=[3(n+1)+8]-(3n+8)=3.
(4)共有5项的等差数列5,4,3,2,1的各项都为正数,但其公差为负数.
2.解:(1)可以,利用a2-a1=d求出公差d,即可求出通项公式.
(2)不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是关于n的一次函数,而是常函数.
【课中探究】
探究点一
例1 解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,为常数,
所以数列{an}为等差数列,它的公差为3.
(2)bn+1-bn=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数,所以数列{bn}不是等差数列.
(3)cn+1-cn=8-8=0,为常数,所以数列{cn}是等差数列,它的公差为0.
变式 (1)ABC [解析] 对于A,因为9-9=9-9=9-9=9-9=0,为常数,所以是等差数列;对于B,因为7-4=10-7=13-10=16-13=3,为常数,所以是等差数列;对于C,因为ln 9-ln 3=ln 27-ln 9=ln 81-ln 27=ln 3,为常数,所以是等差数列;对于D,因为24-25≠23-24,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.故选ABC.
(2)解:①因为nan+1-(n+1)an=3n(n+1),所以an+1=an+3(n+1),又a1=1,所以a2=a1+3×2=8,a3=a2+3×3=21.
②因为nan+1-(n+1)an=3n(n+1),所以-=3,又=1,所以是首项为1,公差为3的等差数列,所以=3n-2,则an=n(3n-2)=3n2-2n.
探究点二
例2 (1)B (2)-1,1,3,5,7 [解析] (1)由题意知a,b的等差中项为×=×(-1++1)=,故选B.
(2)方法一:由题意知解得所以所求数列为-1,1,3,5,7.
方法二:根据题意,设组成的等差数列为{an}(n=1,2,3,4,5),其公差为d,则a1=-1,a5=7,所以d==2,则a=(-1)+2=1,b=a+2=3,c=b+2=5,所以所求数列为-1,1,3,5,7.
变式 (1)3 (2)2 3 [解析] (1)由题知2m+n=10,m+2n=8,∴3m+3n=18,∴m+n=6,∴m和n的等差中项是=3.
(2)由已知得可得2x=1+,解得x=2,所以a=3.
探究点三
探索 解:由等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可以看出,只要知道首项a1和公差d,就可以确定通项公式.
例3 解:(1)a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)由an=a1+(n-1)d得3+2(n-1)=21,解得n=10.
(3)由a6=a1+5d得12+5d=27,解得d=3.
(4)由a7=a1+6d得a1-2=8,解得a1=10,所以an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+.
变式 (1)-2 3 (2)an=4n (3)an=-3n+5或an=3n-7 [解析] (1)因为a5=10,a12=31,所以解得
(2)设等差数列{an}的公差为d,由得 解得所以an=4n.
(3)设等差数列{an}的公差为d,由题意得解得或所以数列{an}的通项公式为an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.
例4 AD [解析] 等差数列{an}的首项为a1,公差d>0,则an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,∴数列{an}是递增数列,故A正确;nan=dn2+(a1-d)n,当≥时,数列{nan}不是递增数列,故B错误;=d+,当a1-d≤0时,数列不是递减数列,故C错误;an+3nd=4nd+a1-d,数列{an+3nd}是递增数列,故D正确.故选AD.
变式 (1)
(1)由题意得即解得(2)若an=-n+5,则数列{an}是无穷等差数列,且数列{an}为递减数列.|an|=|-n+5|,故数列{|an|}的最小项为第5项.故an=-n+5满足题意.4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念与通项公式
【学习目标】
1.理解等差数列的概念,能用文字语言、符号语言、图形语言描述等差数列的概念,能根据等差数列的定义判断或证明已知数列是否是等差数列.
2.理解等差数列的通项公式,能根据定义归纳出等差数列的通项公式,会用通项公式解决一些简单问题.
◆ 知识点一 等差数列的有关概念与表示
1.等差数列与公差:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫作 数列,这个常数叫作等差数列的 ,公差通常用字母d表示.
以上定义用符号表示为 (d为常数,n∈N*).等差数列的定义用符号语言表示,其本质是等差数列的递推公式.
2.等差中项:由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列,这时,A叫作a与b的 ,并且2A=a+b.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个无穷数列{an}的前4项分别是1,2,3,4, 则它一定是等差数列. ( )
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列.
(3)任意两个实数都存在等差中项. ( )
(4)若a,b,c是等差数列,则c+a=2b. ( )
(5)当数列{an}为常数列时,数列{an}不是等差数列. ( )
◆ 知识点二 等差数列的通项公式及应用
1.通项公式:若等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an= .
2.等差数列的图象:等差数列{an}的通项公式可写成an=dn+(a1-d).点(n,an)分布在一条以d为斜率的直线上,是这条直线上一列 .
3.等差数列的单调性:在等差数列{an}中,若公差d>0,则数列{an}为 数列;若公差d<0,则数列{an}为 数列.
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}满足an=kn+b(k,b为常数),则数列{an}一定是等差数列. ( )
(2)若数列{an}满足an=则{an}是等差数列. ( )
(3)在等差数列{an}中,an=3n+8,则等差数列{an}的公差是3. ( )
(4)各项都为正数的等差数列的公差一定大于0.( )
2.(1)若已知等差数列{an}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗
(2)等差数列的通项公式一定是关于n的一次函数吗
◆ 探究点一 用定义判断等差数列
例1 判断下列数列是否为等差数列,如果是,指出它的公差.
(1)在数列{an}中,an=3n+2;
(2)在数列{bn}中,bn=n2+n;
(3)在数列{cn}中,cn=8.
变式 (1)(多选题)下列数列中为等差数列的是( )
A.9,9,9,9,9
B.4,7,10,13,16
C.ln 3,ln 9,ln 27,ln 81
D.25,24,23,22
(2)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=3n2+3n.
①求a2,a3;
②证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式.
[素养小结]
利用定义法判断是否为等差数列时,从第2项起检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数,若是同一个常数,则是等差数列,否则不是等差数列.
◆ 探究点二 等差中项及其应用
例2 (1)若a=,b=,则a,b的等差中项为 ( )
A. B.
C. D.
(2)在-1与7之间依次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,则这个数列为 .
变式 (1)已知2m和n的等差中项是5,m和2n的等差中项是4, 则m和n的等差中项是 .
(2)一个等差数列的前4项是1,x,a,2x,则x= ,a= .
[素养小结]
三个数a,b,c成等差数列的条件是b=(或2b=a+c),利用该条件可进行等差数列的判定或求解有关等差中项的计算问题.若需证明{an}为等差数列,则可通过证明2an+1=an+an+2(n∈N*)来实现.
◆ 探究点三 等差数列的通项公式及应用
[探索] 具备哪些条件可以确定等差数列的通项公式
例3 已知等差数列{an}的公差为d.
(1)若a1=2,d=3,求a10;
(2)若a1=3,an=21,d=2,求n;
(3)若a1=12,a6=27,求d;
(4)若d=-,a7=8,求a1和an.
变式 (1)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1= ,公差d= .
(2)在等差数列{an}中,已知a2=8,且a3+a5=4a2,则数列{an}的通项公式为 .
(3)已知等差数列{an}的前三项和为-3,前三项积为8,则数列{an}的通项公式为 .
[素养小结]
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.
(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”.
例4 (多选题)已知等差数列{an}的公差d>0,则下列说法中正确的是 ( )
A.数列{an}是递增数列
B.数列{nan}是递增数列
C.数列是递减数列
D.数列{an+3nd}是递增数列
变式 (1)已知等差数列{an}为递增数列,若a1=,且从第10项开始每项都大于1,则此等差数列的公差d的取值范围是 .
(2)写出一个同时满足①②③的数列{an}的通项公式:an= .
①数列{an}是无穷等差数列;
②数列{an}为递减数列;
③数列{|an|}的第5项为最小项.4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念与通项公式
一、选择题
1.在等差数列{an}中,a2=0,公差d=4,则a5=( )
A.25 B.12
C.16 D.8
2.lg(+2)与lg(-2)的等差中项是 ( )
A. B.0 C.lg D.lg 2
3.[2024·牡丹江三中高二期末] 在等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则等差数列{an}的公差d= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若等差数列{an}的首项是-24,且从第10项开始大于0,则公差d的取值范围是 ( )
A. B.(-∞,3)
C. D.
5.在数列{an}中,a1=3,且对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则 ( )
A.an=3n B.an=
C.an=n- D.an=3n2
6.已知数列{an}为等差数列,则下列说法不正确的是 ( )
A.若a2>a1,则a3>a1
B.若a2>a1,则a3>a2
C.若a3>a1,则a2>a1
D.若a2>a1,则a1+a2>a1
7.已知等差数列{an}满足a1=12,公差d∈N*,且{an}中任意两项之和也是{an}中的一项,则d的可能取值有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.6个
8.(多选题)等差数列{an}中,a1=1,公差d∈[1,2],且a3+λa9+a15=15,则实数λ的可能取值为 ( )
A.- B.-
C.- D.-2
9.(多选题)[2024·合肥一中高二月考] 已知等差数列{an}为递减数列,且a3=1,a2a4=,则下列结论中正确的有 ( )
A.数列{an}的公差为-
B.an=-n+
C.数列{a1an}是公差为-1的等差数列
D.a1a7+a4=-1
二、填空题
10.写出一个同时具有性质①2an+1=an+an+2,②an+111.已知等差数列{an}中,a2=2,a12=12,则a5与a11的等差中项为 .
12.[2024·福建龙岩高二期中] 某网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动,派发规则如下:①会员编号能被3除余1且被5除余1的会员可以获得精品吉祥物一套;②不符合①中条件的会员可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2024人(编号为1号到2024号,中间没有空缺),则获得精品吉祥物的人数为 .
三、解答题
13.[2024·福建漳州高二期中] 在等差数列{an}中,已知a2+a5=24,a17=66.
(1)求a2024.
(2)2024是否为数列{an}中的项 若是,为第几项
14.已知函数f(x)=,数列{an}满足an=f(an-1)(n≥2且n∈N*),且an≠0.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)当a1=时,求a2026.
15.在如图所示的图案中,OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn的长度构成的数列为{an},则此数列的通项公式为an= ( )
A.n B.
C.n+1 D.
16.[2024·云南玉溪高二期末] 已知数列{an}满足a1=1,an+1=
(1)求a2,a3;
(2)求数列{an}的通项公式.(共62张PPT)
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念与通项公式
探究点一 用定义判断等差数列
探究点二 等差中项及其应用
探究点三 等差数列的通项公式及应用
【学习目标】
1.理解等差数列的概念,能用文字语言、符号语言、图形语言描述等差数列
的概念,能根据等差数列的定义判断或证明已知数列是否是等差数列.
2.理解等差数列的通项公式,能根据定义归纳出等差数列的通项公式,会用通
项公式解决一些简单问题.
知识点一 等差数列的有关概念与表示
1.等差数列与公差：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于
同一个常数,那么这个数列就叫作______数列,这个常数叫作等差数列的______,
公差通常用字母 表示.
以上定义用符号表示为______________为常数, .等差数列的定义用
符号语言表示,其本质是等差数列的递推公式.
等差
公差
2.等差中项：由三个数,, 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这
时，叫作与的__________,并且 .
等差中项
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一个无穷数列 的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列.( )
×
[解析] 这个无穷数列的前4项构成公差为1的等差数列，但往后各项与前一项的
差未必是同一个常数1.
（2）若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
是等差数列.( )
×
[解析] 当一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时，这个数
列才是等差数列.
（3）任意两个实数都存在等差中项.( )
√
[解析] 对于任意实数，， 就是它们的等差中项.
（4）若,,是等差数列,则 .( )
√
[解析] 因为,,是等差数列，所以根据等差数列的定义知, ，即
.
（5）当数列为常数列时，数列 不是等差数列. ( )
×
[解析] 当数列 为常数列时，该数列是公差为0的等差数列.
知识点二 等差数列的通项公式及应用
1.通项公式：若等差数列的首项为，公差为，则其通项公式为
_____________.
2.等差数列的图象:等差数列的通项公式可写成.点
分布在一条以 为斜率的直线上,是这条直线上一列__________.
3.等差数列的单调性:在等差数列中,若公差,则数列 为______数列;
若公差,则数列 为______数列.
孤立的点
递增
递减
【诊断分析】
1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若数列满足，为常数，则数列 一定是等差数列. ( )
√
[解析] 因为当时， ，为常数，
所以数列 一定是等差数列.
（2）若数列满足则 是等差数列.( )
×
[解析] 因为，当 时，
， ，所以由等差数列的定义可知
不是等差数列.
（3）在等差数列中，，则等差数列 的公差是3.( )
√
[解析] 公差 .
（4）各项都为正数的等差数列的公差一定大于0.( )
×
[解析] 共有5项的等差数列5，4，3，2，1的各项都为正数，但其公差为负数.
2.（1）若已知等差数列的首项和第二项 ，可以求其通项公式吗
解：可以,利用求出公差 ,即可求出通项公式.
（2）等差数列的通项公式一定是关于 的一次函数吗
解：不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是关于 的一次函数,而是常函数.
探究点一 用定义判断等差数列
例1 判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出它的公差.
（1）在数列中， ；
解: ,为常数，
所以数列 为等差数列，它的公差为3.
（2）在数列中， ；
解: ，不是常数，所以数列
不是等差数列.
（3）在数列中, .
解:,为常数，所以数列 是等差数列，它的公差为0.
变式（1） （多选题）下列数列中为等差数列的是( )
ABC
A.9，9，9，9，9 B.4，7，10，13，16
C.，，， D.,,,
[解析] 对于A，因为 ，为常数，所以是等差
数列；
对于B，因为 ，为常数，所以是
等差数列；
对于C，因为 ，为常数,所以是
等差数列;
对于D，因为 ,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列.
故选 .
（2）已知数列满足，且 .
①求, ；
解:因为，所以 ，
又，所以, .
②证明数列是等差数列，并求 的通项公式.
解:因为，所以，
又 ，所以是首项为1，公差为3的等差数列，所以 ,则
.
［素养小结］
利用定义法判断是否为等差数列时，从第2项起检验每一项与它的前一项的差是
否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
探究点二 等差中项及其应用
例2（1） 若，，则， 的等差中项为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意知， 的等差中项为
，故选B.
（2）在与7之间依次插入三个数,, ,使这五个数成等差数列,则这个数列
为________________.
，1，3，5，7
[解析] 方法一:由题意知解得所以所求数列为 ，1，3，
5，7.
方法二:根据题意,设组成的等差数列为,其公差为 ,则
, ,所以,则, ,
，所以所求数列为 ，1，3，5，7.
变式（1） 已知和的等差中项是5，和的等差中项是4,则和 的等
差中项是___.
3
[解析] 由题知,,,,和 的
等差中项是 .
（2）一个等差数列的前4项是1，，，，则___， ___.
2
3
[解析] 由已知得可得，解得，所以 .
［素养小结］
三个数，，成等差数列的条件是（或 ），利用该条件可进
行等差数列的判定或求解有关等差中项的计算问题.若需证明 为等差数列，
则可通过证明 来实现.
探究点三 等差数列的通项公式及应用
［探索］ 具备哪些条件可以确定等差数列的通项公式
解：由等差数列的通项公式可以看出,只要知道首项 和
公差 ,就可以确定通项公式.
例3 已知等差数列的公差为 .
（1）若，，求 ；
解: .
（2）若，，，求 ；
解:由得，解得 .
（3）若，，求 ；
解:由得，解得 .
（4）若，，求和 .
解:由得，解得 ，所以
.
变式（1） 在等差数列中，已知，，则首项 ____，
公差 ___.
3
[解析] 因为，，所以解得
（2）在等差数列中，已知,且，则数列 的通项公
式为_________.
[解析] 设等差数列的公差为,由 得
解得所以 .
（3）已知等差数列的前三项和为,前三项积为8，则数列 的通项公
式为__________________________.
或
[解析] 设等差数列的公差为,由题意得 解得
或所以数列的通项公式为 或
.
［素养小结］
等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，
只需求出首项与公差.
（2）等差数列的通项公式中共含有四个参数，即,, ,
，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这
一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
例4 （多选题）已知等差数列的公差 ，则下列说法中正确的是
( )
AD
A.数列是递增数列 B.数列 是递增数列
C.数列是递减数列 D.数列 是递增数列
[解析] 等差数列的首项为，公差 ，则
, 数列 是递增数列，故A正确；
，当时，数列 不是递增数列，故B错误；
，当时，数列 不是递减数列，故C错误；
,数列是递增数列，故D正确.故选 .
变式（1） 已知等差数列为递增数列,若 ，且从第10项开始每项
都大于1，则此等差数列的公差 的取值范围是___________.
[解析] 由题意得即解得 .
（2）写出一个同时满足①②③的数列的通项公式： ______________
_________.
①数列 是无穷等差数列；
②数列 为递减数列；
③数列 的第5项为最小项.
（答案不唯一）
[解析] 若，则数列是无穷等差数列，且数列 为递减数列.
,故数列的最小项为第5项.故 满足题意.
1.等差数列定义的注意点
（1）对给定的等差数列,其公差 一定是由后一项减前一项所得的差,而不能用前
一项减后一项;
（2）定义中“从第2项起”是说必须从第2项起才能保证数列中各项均与其前面一
项作差,如若不然,从第3项（或第4项…）起作差,则势必遗漏前面的若干项;
（3）定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个,其一是强调作差的顺序,
即后面的项减前面的项,其二是强调这两项必须相邻.
2.等差数列通项公式的应用:
在等差数列的通项公式中有4个量,，, ,在这4个量中
可以“知三求一”.其作用为:
（1）可以由首项和公差求出等差数列中的任一项;
（2）已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中
的任一项;
（3）由等差数列的通项公式可求出数列中的任一项，也可判断某数是否为数列
中的项及是第几项.
3.等差数列与一次函数
由等差数列的通项公式，可得，当
时，等差数列的通项公式中等号右边是关于自变量 的一次函数，一次项系数就
是等差数列的公差.
因此，从图象上看，表示数列 的各点均匀分布在一条直线上.
当时，，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于 轴的直线
（或 轴）上均匀分布的一群孤立的点.
总之，等差数列的图象是直线 上均匀分布的一群孤立的点.
（1）当 时,等差数列可能的图象为
（2）当 时,等差数列可能的图象为
（3）当 时,等差数列可能的图象为
点落在直线 上；
当时，这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加 .
4.等差数列的通项公式的拓展
（1）若等差数列的第项为,则其第项 可以表示为
.
（2）公式 也可以用以下方法（叠加法）导出:
个
将以上个等式两边分别相加,可得 ,移项
得,又当 时，上式成立，故通项公式为
.
“叠加法”是推导递推公式形如 的数列的通项公式的一
种重要方法.
5.等差数列的数学文化问题与实际应用
我国著名的宁夏一百零八塔就是根据等差数列的原理排列而成的.它将108座塔
排列成12行，每行依次有1，3，3，5，5，7，9，11，13，15，17，19座塔，这
都是一些奇数，而奥秘也正好隐藏在其中.通过计算，我们发现
，但是一共要建造108座塔，就可以将剩下的
8座拆分为 ，正好能进行奇数排列.宁夏一百零八塔就是等差数列在建筑中
应用的一个经典案例.
1.判断一个数列为等差数列的常见方法.
（1）定义法:（常数） 为等差数列.
（2）中项公式法: 为等差数列.
（3）通项公式法:为的一次函数 为等差数列.
例1 已知，，成等差数列，并且，， 均为正数，求
证：，， 成等差数列.
证明:，，成等差数列， ，
，即 .
，
，，均为正数， 上式左右两边同时取对数，得
，
即 ，
，， 成等差数列.
2.等差数列的通项公式是关于,,, 的运算,称为基本量的运算,这是等差数列
中最简单、最重要同时也是必须熟练掌握的知识.求解时,先根据两个独立的条件
解出两个量和,再写出 的表达式.
例2（1） [2024·北京顺义区高二期末] 已知等差数列满足 ，且
，则 ____.
24
[解析] 设等差数列的公差为，因为， ，
所以解得
所以 .
（2）[2024·陕西咸阳高二期末] 在等差数列中，若 ，则
____.
52
[解析] 设等差数列的公差为 ，
则 ，
得 ，
所以 .
3.对称项设法.
（1）当等差数列的项数为奇数时,可设中间一项为,再以公差为 向两边分
别设项,即 ,,,,,, .
（2）当等差数列的项数为偶数时,可设中间两项分别为, ,再以公
差为向两边分别设项,即 ,,,,, .
例3（1） 三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.
解：设这三个数依次为，， ，
由题意可得解得
所以这三个数依次为4，3，2.
（2）四个数成递增的等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为 ，求这
四个数.
解：设这四个数依次为，，，（公差为 ），
由题意可得解得或 （舍），
故所求的四个数依次为 ，0，2，4.
4.将递推关系式转化为等差数列的常见形式.
当已知数列不是等差数列时,需构造与之相关的等差数列,利用等差数列的通项公
式,求出包含的关系式,进而求出 .
将题设中的递推关系式转化为等差数列的常见形式如下:
（1）转化为常数,则数列 是等差数列.
（2）转化为常数,则数列 是等差数列.
（3）转化为常数,则数列 是等差数列.
（4）转化为常数,则数列{ }是等差数列.
（5）转化为常数,则数列 是等差数列.
例4 已知数列满足， .
（1）求证：数列 为等差数列;
证明：因为 ,
，所以数列是以 为首项，3为公差的等差数列.
（2）求数列 的通项公式与最大项.
解:由（1）可得，即.
当 时，由反比例函数的性质知递减，所以 ，
又 ，，，所以数列的最大项是 .
练习册
一、选择题
1.在等差数列中，，公差，则 ( )
B
A.25 B.12 C.16 D.8
[解析] 由等差数列的通项公式可得，则,所以 ,所
以 .故选B.
2.与 的等差中项是( )
B
A. B.0 C. D.
[解析] 与的等差中项是 ，故
选B.
3.[2024·牡丹江三中高二期末]在等差数列中，, ,则等差
数列的公差 ( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] ，，解得 故选B.
4.若等差数列的首项是，且从第10项开始大于0，则公差 的取值范围
是( )
D
A. B. C. D.
[解析] 等差数列的首项是， .
若从第10项开始大于0，则解得 .故选D.
5.在数列中，，且对任意大于1的正整数，点， 在直
线 上，则 ( )
D
A. B. C. D.
[解析] 对任意大于1的正整数，点，在直线 上，
，
又， 数列{}是首项为，公差为 的等差数列，
数列{}的通项公式为 ，
.故选D．
6.已知数列 为等差数列，则下列说法不正确的是( )
D
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
[解析] 利用等差数列的增减性可得，若，则公差 ，所以等差数列
是递增数列，所以， ，所以A，B中说法
正确；
若，则，所以 ，所以C中说法正确；
不一定成立，例如 时不成立，所以D中说法不正确．
故选D.
7.已知等差数列满足，公差，且 中任意两项之和也是
中的一项，则 的可能取值有( )
D
A.1个 B.2个 C.3个 D.6个
[解析] 设，即 ，则
，所以是的正因数，故可取1,2,3,4,6,12，即 的可能
取值有6个.故选D.
8.（多选题）等差数列中，，公差 ，且，
则实数 的可能取值为( )
AB
A. B. C. D.
[解析] 等差数列中，，公差，且 ，
，整理得 ，
解得.故选 .
9.（多选题）[2024·合肥一中高二月考] 已知等差数列 为递减数列，且
， ，则下列结论中正确的有( )
ABC
A.数列的公差为 B.
C.数列是公差为的等差数列 D.
[解析] 由题意知，又，, 可看作方程
的两个根， 数列为递减数列，，， 公差
，故A正确；
，，故B正确；
由上可知 ，则当时，
，当 时，， 数列是首项为4，公差为 的等差数列，
故C正确；
由C选项知，故， ，
，故D错误．故选 .
二、填空题
10.写出一个同时具有性质，的数列 的通
项公式： __________________.
（答案不唯一）
[解析] 因为，所以数列为等差数列，
又 ，所以数列为递减数列，则 满足题意.
11.已知等差数列中，，，则与 的等差中项为___.
8
[解析] 设等差数列的公差为,因为，，所以
解得
所以，所以与 的等差中项为8.
12.[2024·福建龙岩高二期中] 某网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活
动，派发规则如下：①会员编号能被3除余1且被5除余1的会员可以获得精品吉
祥物一套；②不符合①中条件的会员可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会
员共有2024人（编号为1号到2024号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人
数为_____.
135
[解析] 将能被3除余1且被5除余1的正整数按从小到大的顺序排列，所得的数列
记为，由已知得是3的倍数，也是5的倍数，所以 为15的倍数，
所以是首项为0，公差为15的等差数列，所以 .
令，可得，又，所以 且
，故获得精品吉祥物的人数为135.
三、解答题
13.[2024·福建漳州高二期中] 在等差数列中，已知， .
（1）求 .
解:设等差数列的公差为，由， ，得
解得所以数列 的通项公式为
，所以 ．
（2）2024是否为数列 中的项？若是，为第几项？
解:令，解得，所以2024不是数列 中的项．
14.已知函数，数列满足且,且 .
（1）求证：数列 是等差数列；
证明：由题可知，且 ，所以
且，即且，所以数列
是公差为 的等差数列.
（2）当时,求 .
解：由（1）可知,当时, ,所以
,所以 .
15.在如图所示的图案中，
，如果把图中的直角三角形继续作下去，记
,, , 的长度构成的数列为，则此数列
的通项公式为 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意知，，且 ,
, ,都是直角三角形，所以，且 ，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以.
由，得 .故选B.
16.[2024·云南玉溪高二期末] 已知数列满足 ,
（1）求, ；
解:由,可得， .
（2）求数列 的通项公式.
解:由已知可得,,, ，则
,，则数列 的奇数项是以1为首项，3为公
差的等差数列，数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列，即
，
当为奇数时， ，
当为偶数时， ，
故4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念与通项公式
1.B [解析] 由等差数列的通项公式可得a2=a1+d,则a1+4=0,所以a1=-4,所以a5=a1+4d=-4+4×4=12.故选B.
2.B [解析] lg(+2)与lg(-2)的等差中项是==0,故选B.
3.B [解析] ∵a1+a5=10,a4=7,∴解得故选B.
4.D [解析] ∵等差数列{an}的首项是-24,∴an=-24+(n-1)d.若从第10项开始大于0,则解得5.D [解析] ∵对任意大于1的正整数n,点(,)在直线x-y-=0上,∴-=,又=,∴数列{}是首项为,公差为的等差数列,∴数列{}的通项公式为=+(n-1)×=n,∴an=3n2.故选D.
6.D [解析] 利用等差数列的增减性可得,若a2>a1,则公差d>0,所以等差数列{an}是递增数列,所以a3-a1=2d>0,a3-a2=d>0,所以A,B中说法正确;若a3>a1,则a3-a1=2d>0,所以a2-a1=d>0,所以C中说法正确;a1+a2>a1不一定成立,例如a17.D [解析] 设am+an=at,即a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=a1+(t-1)d,则a1=(1+t-m-n)d,所以d是a1的正因数,故d可取1,2,3,4,6,12,即d的可能取值有6个.故选D.
8.AB [解析] 等差数列{an}中,a1=1,公差d∈[1,2],且a3+λa9+a15=15,∴1+2d+λ(1+8d)+1+14d=15,整理得d=,∴解得-≤λ≤-.故选AB.
9.ABC [解析] 由题意知a2+a4=2a3=2,又a2a4=,∴a2,a4可看作方程x2-2x+=0的两个根,∵数列{an}为递减数列,∴a4=,a2=,∴公差d==-,故A正确;∵a1=a2-d=2,∴an=2+(n-1)×=-n+,故B正确;由上可知a1an=2an,则当n≥2时,2an-2an-1=2(an-an-1)=2×=-1,当n=1时,=4,∴数列{a1an}是首项为4,公差为-1的等差数列,故C正确;由C选项知a1an=5-n,故a1a7=5-7=-2,∵a4=-2=,∴a1a7+a4=-2+=-,故D错误.故选ABC.
10.-n(答案不唯一) [解析] 因为2an+1=an+an+2,所以数列{an}为等差数列,又an+111.8 [解析] 设等差数列{an}的公差为d,因为a2=2,a12=12,所以解得所以a5+a11=a1+4d+a1+10d=16,所以a5与a11的等差中项为8.
12.135 [解析] 将能被3除余1且被5除余1的正整数按从小到大的顺序排列,所得的数列记为{an},由已知得an-1是3的倍数,也是5的倍数,所以an-1为15的倍数,所以{an-1}是首项为0,公差为15的等差数列,所以an=15n-14.令1≤an≤2024,可得1≤15n-14≤2024,又n∈N*,所以1≤n≤135且n∈N*,故获得精品吉祥物的人数为135.
13.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a2+a5=24,a17=66,得解得所以数列{an}的通项公式为an=2+4(n-1)=4n-2,所以a2024=4×2024-2=8094.
(2)令4n-2=2024,解得n=506.5,所以2024不是数列{an}中的项.
14.解:(1)证明:由题可知,an=f(an-1)=(n≥2且n∈N*),所以=(n≥2且n∈N*),即-=(n≥2且n∈N*),所以数列是公差为的等差数列.
(2)由(1)可知,当a1=时,=+(n-1)×=2+=,所以==677,所以a2026=.
15.B [解析] 由题意知,OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,且△OA1A2,△OA2A3,…,△OA7A8都是直角三角形,所以a1=1,且=+1(n≥2),所以数列{}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以=1+(n-1)×1=n.由an>0,得an=.故选B.
16.解:(1)由a1=1,an+1=可得a2=a1+1=2,a3=a2+2=4.
(2)由已知可得a2k=a2k-1+1,a2k+1=a2k+2,a2k+2=a2k+1+1,k∈N*,则a2k+1=a2k-1+3,a2k+2=a2k+3,则数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列,数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列,即an+2=an+3,
当n为奇数时,an=1+3=,当n为偶数时,an=2+3=,
故an=