第2课时 等差数列的性质与应用
1.C [解析] 因为数列{an}为等差数列,所以a9=a3+6d,即18=6+6d,所以d=2.
2.C [解析] 在等差数列{an}中,因为a4+a8=a5+a7,所以a5=(a4+a8)-a7=8.故选C.
3.A [解析] 因为数列{an},{bn}都是等差数列,所以数列{an-bn}是等差数列,又a1-b1=2,a2-b2=1,所以{an-bn}的公差d=-1,所以a5-b5=a1-b1+4d=-2,故选A.
4.A [解析] 由是等差数列,可得=+=+1=,所以a4+1=,所以a4=.
5.C [解析] 方法一:设等差数列{an}的公差为d,则(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=3d=30-10=20,又(a3+a6+a9)-(a2+a5+a8)=3d,即(a3+a6+a9)-30=20,所以a3+a6+a9=50,故选C.
方法二:设b1=a1+a4+a7=10,b2=a2+a5+a8=30,b3=a3+a6+a9.因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×30-10=50,即a3+a6+a9=50.故选C.
6.B [解析] 设没剪之前正方形的边数为a0,则a0=4,沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开,得到一个三角形和一个四边形,设此时所有多边形纸片的边数总和为a1,则a1=a0+3=7,然后无论是选择三角形还是四边形,剪一次后得到的所有多边形纸片的边数总和都增加3,所以经过n次剪纸后,得到的所有多边形纸片的边数总和an构成首项为7,公差为3的等差数列,则an=7+3(n-1),故经过10次剪纸后,得到的所有多边形纸片的边数总和为a10=7+9×3=34.故选B.
7.B [解析] 由数列{an}为递增的等差数列,可得a3+a7=a4+a6=34,且a4
8.ACD [解析] 设等差数列{an}的公差为d.对于A,(an+an+1)-(an-1+an)=(an-an-1)+(an+1-an)=2d(n≥2),所以{an+an+1}是以2d为公差的等差数列;对于B,-=(an+1-an)(an+an+1)=d(an+an+1)≠常数,所以{}不是等差数列;对于C,因为an+1-an=d,所以{an+1-an}为等差数列;对于D,因为2an+1-2an=2d,所以{2an}为等差数列.故选ACD.
9.CD [解析] 设等差数列{an}的公差为d,根据等差数列的性质,得a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,因为a1+a2+a3+…+a101=0,所以101a51=0,所以a1+a101=a3+a99=2a51=0.又a1>0,所以d<0,所以a51=a50+d10.-4 [解析] ∵{an}是等差数列,且a3=12,a6=4,∴a3+a9=2a6,即12+a9=2×4,解得a9=-4.
11.6n+4 [解析] 由题意知,数列{2n+4}为6,8,10,12,14,16,18,20,22,…,数列{3n-2}为1,4,7,10,13,16,19,22,…,则它们的公共项构成的数列{an}为10,16,22,28,…,该数列是首项a1=10,公差d=6的等差数列,∴an=10+6(n-1)=6n+4.
12. [解析] 设A,B,C,D,E每人分得物品的钱数分别为等差数列{an}中的项a1,a2,a3,a4,a5,则a1+a2+a3=a4+a5,a1+a2+a3+a4+a5=6=5a3,得a3=.
13.解: (1)由等差数列的性质得,a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5,又a3+a4+a5+a6+a7=450,所以5a5=450,解得a5=90,所以a2+a8=2a5=180.
(2)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,故a19-b19=c19=5+18×2=41.
(3)①因为在等差数列{an}中,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3=3.
②设等差数列{an}的公差为d,因为a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为18的等差数列,所以3a2,3a5,3a8是公差为18的等差数列,所以a8-a5=3d=6,所以d=2,所以an=a3+(n-3)d=3+2(n-3)=2n-3.
14.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0.
根据等差数列的性质可得a2与a8的等差中项为a5,所以a5=8.
因为a3a7=28,即(a5-2d)(a5+2d)=28,
所以d2=9,又d>0,所以d=3.由a5=a1+4d=8,得a1=-4,
所以{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=-4+3(n-1)=3n-7(n∈N*).
(2)结合(1)可知bn=a3n=9n-7(n∈N*).
令938=9n-7,解得n=105,即b105=938,
所以938是数列{bn}中的项.
15.BD [解析] 对于选项A,因为(-2)2n+2-(-2)2n=3×22n,所以{(-2)n}不是平方等差数列,即选项A错误;对于选项B,若{an}是平方等差数列,则-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则{}是等差数列,即选项B正确;对于选项C,若{an}是平方等差数列,则-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则(kan+b)2-(kan-1+b)2=k2(-)+2kb(an-an-1)=pk2+2kb(an-an-1)(n≥2,n∈N*,p为常数),所以{kan+b}(k,b∈N*,k,b为常数)不是平方等差数列,即选项C错误;对于选项D,若{an}是平方等差数列,则-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则-=(-)+(-)+…+[-]=kp(n≥2,n∈N*,k,p为常数),故{akn+b}(k,b∈N*,k,b为常数)也是平方等差数列,即选项D正确.故选BD.
16.解:设该单位需购买电器n(n∈N*)台.去甲商场购买时,设所买电器的单价为an元,则an=780+(n-1)×(-20)=-20n+800,
由an=-20n+800≥440,得n≤18,即购买台数不超过18时,单价为(800-20n)元,
购买台数超过18时,单价为440元.
去乙商场购买时,每台售价为800×75%=600(元).
(800-20n)n-600n=20n(10-n).
当n<10时,(800-20n)n>600n,去乙商场购买花费较少;
当n=10时,(800-20n)n=600n,去甲、乙两家商场购买花费相同;
当10当n>18时,440n<600n,去甲商场购买花费较少.
因此,当购买电器少于10台时,去乙商场购买花费较少;当购买电器10台时,去甲、乙两家商场购买花费相同;当购买电器多于10台时,去甲商场购买花费较少.第2课时 等差数列的性质与应用
一、选择题
1.已知数列{an}为等差数列,且a3=6,a9=18,则公差d= ( )
A.1 B.3
C.2 D.4
2.[2024·青岛即墨区高二期中] 已知在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a5= ( )
A.4 B.6
C.8 D.10
3.[2024·福建宁德一中高二月考] 已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1-b1=2,a2-b2=1,则a5-b5= ( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
4.在数列{an}中,a2=2,a6=0,若数列是等差数列,则a4= ( )
A. B.
C. D.
5.已知数列{an}为等差数列,a1+a4+a7=10,a2+a5+a8=30,则a3+a6+a9= ( )
A.90 B.70
C.50 D.40
6.现有一张正方形剪纸,沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开,得到2张纸片,再从中任选一张,沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开,得到3张纸片,以此类推,每次从纸片中任选一张,沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开.经过10次剪纸后,得到的所有多边形纸片的边数总和为( )
A.33 B.34
C.36 D.37
7.已知等差数列{an}为递增数列,且满足a3+a7=34,a4·a6=280,则其通项公式为 ( )
A.an=6n-10
B.an=3n+2
C.an=2n+7
D.an=n+10
8.(多选题)若{an}是等差数列,则下列数列为等差数列的有 ( )
A.{an+an+1}
B.{}
C.{an+1-an}
D.{2an}
9.(多选题) 已知等差数列{an}满足a1>0,且a1+a2+a3+…+a101=0,则 ( )
A.a1+a101>0
B.a1+a101<0
C.a3+a99=0
D.a51二、填空题
10.等差数列{an}的第3项为12,第6项为4,则此数列的第9项为 .
11.将数列{2n+4}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的通项公式为an= .
12.我国古代数学名著中有如下问题:“今有五人分六钱,令前三人所得与后二人等,各人所得均增,问各得几何 ”其意思是:已知A,B,C,D,E五个人分重量为6钱(“钱”是古代的一种重量单位)的物品,A,B,C三人所得物品的钱数之和与D,E二人所得物品的钱数之和相等,且A,B,C,D,E每人所得物品的钱数依次构成递增的等差数列,问五个人各分得多少钱的物品 在这个问题中,C分得物品的钱数是 .
三、解答题
13.(1)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,求a2+a8.
(2)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.
(3)设等差数列{an}满足a1+a3+a5=9.
①求a3;
②若a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为18的等差数列,求数列{an}的通项公式.
14.已知等差数列{an}的公差为正数,a2与a8的等差中项为8,且a3a7=28.
(1)求{an}的通项公式.
(2)从{an}中依次取出第3项,第6项,第9项,…,第3n项,按照原来的顺序组成一个新数列{bn},判断938是不是数列{bn}中的项 并说明理由.
15.(多选题)在数列{an}中,若-=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为平方等差数列.下列说法中正确的为 ( )
A.{(-2)n}是平方等差数列
B.若{an}是平方等差数列,则{}是等差数列
C.若{an}是平方等差数列,则{kan+b}(k,b∈N*,k,b为常数)也是平方等差数列
D.若{an}是平方等差数列,则{akn+b}(k,b∈N*,k,b为常数)也是平方等差数列
16.有一批电器原销售价为每台800元,在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则单价减少20元,但单价最少不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电器,去哪一家商场购买花费较少 (共63张PPT)
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质与应用
探究点一 等差数列性质的应用
探究点二 由等差数列构造新等差数列
探究点三 等差数列的实际应用
【学习目标】
1.理解等差数列的通项公式,能说出等差数列通项公式的特征,并能灵活求解
等差数列的基本量.
2.能得出等差数列的一些性质,并利用其解决一些简单问题.
知识点一 等差数列通项公式的推广与运算性质
两项关系 多项关系（性质）
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）在等差数列中， .( )
√
[解析] 因为 ，所以由等差数列的性质
知， .
（2）在等差数列中，为, 的等差中项.( )
√
[解析] 因为 ，所以由等差数列的性质知
.
（3）在等差数列中， .( )
×
[解析] 设等差数列的公差为,因为， ，所
以只有当时， 才成立.
（4）在等差数列中,若,则 .( )
√
[解析] 因为,所以，所以，解得 .
知识点二 由等差数列构造新数列
1.构造新数列的基本类型
（1）若是公差为的等差数列，则为任意常数 是公差为___的
等差数列；
（2）若是公差为的等差数列，则为任意常数 是公差为____的
等差数列；
（3）若，分别是公差为， 的等差数列，且它们的项数相同，则数
列，是常数是公差为 的等差数列.
2.等差数列部分项的性质
若数列为等差数列，则,,,, 仍为等差数列.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知等差数列的公差为 ，取其奇数项组成一个新数列，则此数列是
公差为 的等差数列.( )
√
[解析] 等差数列的公差为，其奇数项为，，， ，则奇数项组成
的新数列是公差为 的等差数列.
（2）若等差数列的公差为，则数列的公差为 .( )
×
[解析] 当时，，则数列的公差为 .
（3）若是等差数列，则数列 也是等差数列.( )
√
[解析] 设等差数列的公差为，当时，,则数列
也是等差数列，公差为 .
（4）若数列，，， 和，，， 都是公差为 的等差数列，
则，，， 也是等差数列. ( )
×
[解析] 如数列，，， 为1，3，5，7， ，数列，，， 为0，
2，4，6， ，都是公差为2的等差数列，但1，0，3，2，5，4，7，6， 不是
等差数列.
探究点一 等差数列性质的应用
例1（1） 在等差数列中，已知，，则 ( )
B
A.4 B.8 C.3 D.6
[解析] 方法一：设等差数列的公差为，， ，
解得 ，故选B.
方法二：由等差数列的性质可知，得 .
（2）在等差数列中，若，则 ___.
9
[解析] 方法一：设等差数列的公差为， ，
，即 ，
，即 .
方法二： 为等差数列，
， .
（3）在等差数列中,,,则 ____.
24
[解析] 设等差数列的公差为, ,
,
变式（1） [2024·河北保定高二期中]已知数列 为等差数列，
，，则 ( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，解得， ，
解得，故等差数列的公差 ，故
.故选C.
（2）公差不为0的等差数列中，，则 的值不可能是 ( )
C
A.10 B.24 C.22 D.30
[解析] 公差不为0的等差数列中， ，
，
, ，
或或或或或或或 或
或 的值为10或18或24或28或30，不可能是22.故选C.
（3）若数列为等差数列，，，则 ___.
[解析] 方法一:设数列的公差为，不妨设 ,
因为，所以 ，
即.
因为，所以 ，
所以 .
方法二:因为数列为等差数列，所以点 ,
, , 在同一条直线上.不妨设 ，记点
，，则直线的斜率 .
作出直线，如图所示，由图易知点的坐标为，故 .
［素养小结］
（1）灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令，
即变为 ，可以减少记忆负担.
（2）等差数列运算的两种常用思路
①基本量法：根据已知条件，列出关于，的方程（组），确定， ，然后
求其他量.
②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足
，则 .
探究点二 由等差数列构造新等差数列
例2 在无穷等差数列中,首项,公差 ,依次取出序号能被4除余3
的项组成数列 .
（1）求和 .
解：，，.
数列 中序号被4除余3的项是中的第3项，第7项，第11项， ，
， .
（2）求数列 的通项公式.
解：设数列中的第项是数列中的第项，即 ，则
，
，即数列 的通项公式为
.
（3）数列中的第506项是 中的第几项
解：，设它是数列中的第 项，则
，解得， 数列中的第506项是数列 中的第
2023项.
变式（1） 已知数列，都是等差数列，且， ，
，那么数列 的第37项为_____.
100
[解析] 设等差数列，的公差分别为， ，则
，所以数列
仍然是等差数列.
又 ，所以
.
（2）[2024·宁波镇海中学高二期中] 已知等差数列,1,4,7,10, ，现在其每相
邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列 .
①求新数列 的通项公式.
解：依题意，等差数列,1,4,7,10, ，现在其每相邻两项之间插入一个数，使
之成为一个新的等差数列，则，，设等差数列 的公差为
，则，故 .
②16是新数列 中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，说明理由.
解：令，即，得，故16是新数列 中的项，
是第13项.
［素养小结］
对于任何形式的构造数列，判断其是否为等差数列，一般从两个方面进行：（1）
定义，即是否为常数；（2）通项公式是否为关于 的一次函数.
拓展 已知两个等差数列2，5，8， ，197与2，7，12， ，197，将它们
的公共项从小到大依次排列构成数列，则数列的通项公式为 ______
______， 的项数是____.
14
[解析] 方法一：由题可知，第一个数列是首项为2，公差为3的等差数列，记为
，则其通项公式为 ；第二个数列是首项为2，公差为5的等差数
列，记为，则其通项公式为.
若数列的第项与数列 的第项相同，即，则 ，
.
,， 必有为非负整数 ，即为非负整数，
又，， ，4，7， ，40， 两数列的
公共项为2，17，32， ，197， ，的项数是 .
方法二：由题知
两数列为等差数列，且易知它们的公差分别为3，5，
数列仍为等差数列，且公差 ，
.
令 ，
得， 的项数是14.
探究点三 等差数列的实际应用
例3 甲、乙两人连续6年对某县养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图
如图所示.甲调查表明：每个养鸡场平均出产鸡的只数从第1年的1万只增加到第
6年的2万只.乙调查表明：养鸡场个数从第1年的30个减少到第6年的10个.
请根据提供的信息回答下列问题：
（1）求第2年该县养鸡场的个数及出产鸡的总只数.
解：由乙图可知该县第2年养鸡场有26个.
由甲图可知第2年每个养鸡场平均出产1.2万只鸡，所以该县共出产
（万只）鸡.
（2）到第6年该县的养鸡业规模（出产鸡的总只数越多，规模越大）比第1年是
扩大了还是缩小了？请说明理由.
解：由甲图和乙图可知，第1年全县共出产 （万只）鸡，
第6年全县共出产 （万只）鸡，
因此到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.
（3）该县这6年中哪一年的养鸡业规模最大？哪一年的养鸡业规模最小？请说
明理由.
解：由题可知，从第1年到第6年，每年养鸡场的个数构成首项为30，公差为
的等差数列，因此第年养鸡场的个数是 .
从第1年到第6年，每个养鸡场平均出产鸡的只数构成首项为1，公差为0.2的等
差数列，
因此第年每个养鸡场平均出产鸡的只数是 ，
因此第 年该县出产鸡的总只数
，
可知，当时，最大，当时， 最小，故该县第2年的养鸡业规模
最大，第6年的养鸡业规模最小.
变式（1） （多选题）已知冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清
明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列，若冬至、
立春、春分的日影长的和是37.5尺，芒种的日影长为4.5尺，则 ( )
ACD
A.冬至的日影长最长，为15.5尺
B.立夏比谷雨的日影长多1尺
C.大寒、雨水、春分的日影长成等差数列
D.清明的日影长为8.5尺
[解析] 依题意，从冬至起，日影长依次记为，， ， ，则数列
是等差数列，
由题知 ，因为,所以，又，
设数列的公差为 ，所以解得故A正确；
，即立夏比谷雨的日影长少1尺，故B不正确；
，， 成等差数列，即大寒、雨水、春分的日影长成等差数列，故C正确；
，即清明的日影长为8.5尺，故D正确.故选 .
（2）某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞
争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司
不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设第年的利润为 万元，
则由题意知， ，
所以数列是等差数列，且公差 ，故 .
若 ，则该公司经销这一产品将亏损.
由，得 ，
即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损.
［素养小结］
求解等差数列实际应用问题的关键是认真审题，挖掘出“等差”变化的含义，进
一步明确首项、公差、项数等基本量.
干支纪年法是我国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，主要方式是由
十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、
寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）按顺序配对，周而复始，循环记
录.如1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，则数学王子高斯出
生的1777年是干支纪年法中的哪一年？（答：丁酉年）
1.等差数列的函数性质
（1）若,则等差数列 是常数列,是离散型常函数;
（2）若,则是关于的一次函数,从图象上看,表示数列的各点
均在一次函数的图象上,一次项的系数等于公差,直线在 轴上的截
距等于 .
2.等差数列的等距离性质
（1）若数列 是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等
于首末两项之和,即 .
（2）等差数列的等间隔项仍然组成等差数列,仍然具有（1）的性质.
（3）等差数列的等间隔等项数的项之和仍然组成等差数列.
（4）若数列是公差为的等差数列,则新数列 为常数,且
是公差为 的等差数列.
（5）在等差数列中,若 ,则
.
1.正确认识等差数列的“下标和”性质:若,则 ,反
之不成立.
（1）此性质是等差数列特有的性质;
（2）等式的两边各有两项,也可以推广到三项、四项、 ，但等式两边求和的
项数必须相同;
（3）利用等差数列的性质解题可以大大简化解题过程.
例1（1） [2024·河南商丘高二期中]在等差数列中，若, 是方程
的两根，则 ( )
A
A.1 B.2 C.3 D.
[解析] 因为,是方程的两根，所以，即 ,
所以 .故选A.
（2）[2024·湖北鄂州二中高二月考]在等差数列中，若 ，
则 ( )
D
A.2 B.4 C.6 D.8
[解析] 由，解得 ，所以
.故选D.
2.由等差数列构造新数列
是等差数列 是等差数列；
，是等差数列 是等差数列；
是等差数列 相同间隔的项构成的新的数列也是等差数列.
例2（1） （多选题）下列说法中，正确的是( )
AC
A.若，，成等差数列，则，， 成等差数列
B.若，，成等差数列，则，， 成等差数列
C.若，，成等差数列，则，， 成等差数列
D.若，，成等差数列，则，， 成等差数列
[解析] 对于A，，，成等差数列，， ，
，，成等差数列，故A正确；
对于C，，， 成等差数列，，，
，， 成等差数列，故C正确.
易知B，D错误.故选 .
（2）在无穷等差数列中，，公差 ，依次取出序号被3除余2的
项组成数列 .
①求和 .
解：，公差，.数列 中序
号被3除余2的项是第2项，第5项，第8项， ，， .
②求数列 的通项公式.
解：设数列中的第项是数列中的第项，即 ，则
， ，
即数列的通项公式为 .
③数列中的第675项是 中的第几项？
解：，设它是数列中的第 项，则
，解得， 数列中的第675项是数列 中的第
2024项.
例3 已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列 满足
.
（1）数列 是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.
解：数列 是等差数列，证明如下：
由题意得， ，
所以 ，
故数列 是等差数列.
（2）若，的公差都等于2，，求数列 的通项公式.
解：由（1）得， ，
故 .
练习册
一、选择题
1.已知数列为等差数列,且,,则公差 ( )
C
A.1 B.3 C.2 D.4
[解析] 因为数列为等差数列,所以,即,所以 .
2.[2024·青岛即墨区高二期中]已知在等差数列中，, ，
则 ( )
C
A.4 B.6 C.8 D.10
[解析] 在等差数列中，因为 ，所以
.故选C.
3.[2024·福建宁德一中高二月考]已知数列， 都是等差数列，且
，，则 ( )
A
A. B. C.1 D.2
[解析] 因为数列，都是等差数列，所以数列 是等差数列，
又，，所以的公差 ，所以
，故选A.
4.在数列中，，，若数列是等差数列，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 由是等差数列，可得 ，所以
，所以 .
5.已知数列为等差数列，， ，则
( )
C
A.90 B.70 C.50 D.40
[解析] 方法一：设等差数列的公差为 ，则
，又
，即 ，所以
，故选C.
方法二：设,, .因
为是等差数列,所以,,也是等差数列,得 ,所以
,即 .故选C.
6.现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，
再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到3张纸片，以此
类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开.经过10
次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为( )
B
A.33 B.34 C.36 D.37
[解析] 设没剪之前正方形的边数为，则 ，沿只过其一个顶点的一条直
线将其剪开，得到一个三角形和一个四边形，
设此时所有多边形纸片的边数总和为，则 ，然后无论是选择三角
形还是四边形，剪一次后得到的所有多边形纸片的边数总和都增加3，所以经过 次
剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和 构成首项为7，公差为3的等差数列，
则 ，故经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为
.故选B.
7.已知等差数列为递增数列，且满足， ，则其通
项公式为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由数列为递增的等差数列，可得，且 ，
又，所以，，所以数列 的公差
，则，所以数列 的通项公
式为 ，故选B.
8.（多选题）若 是等差数列，则下列数列为等差数列的有( )
ACD
A. B. C. D.
[解析] 设等差数列的公差为 .
对于A， ，
所以是以 为公差的等差数列；
对于B，常数，
所以 不是等差数列；
对于C，因为，所以 为等差数列；
对于D，因为，所以为等差数列．故选 .
9.（多选题） 已知等差数列满足，且 ，
则( )
CD
A. B. C. D.
[解析] 设等差数列的公差为 ,根据等差数列的性质，得
，
因为，所以 ，所以
.
又，所以 ，所以.故选 .
二、填空题
10.等差数列 的第3项为12，第6项为4，则此数列的第9项为____.
[解析] 是等差数列，且,， ，即
，解得 .
11.将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则 的通
项公式为 _______.
[解析] 由题意知，数列为6，8，10，12，14，16，18，20，22， ，
数列为1，4，7，10，13，16，19，22， ，则它们的公共项构成的数
列为10，16，22，28， ，
该数列是首项，公差 的等差数列，
.
12.我国古代数学名著中有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二
人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：已知，，，， 五个
人分重量为6钱（“钱”是古代的一种重量单位）的物品，，， 三人所得物
品的钱数之和与，二人所得物品的钱数之和相等，且，，，， 每
人所得物品的钱数依次构成递增的等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？
在这个问题中， 分得物品的钱数是__.
[解析] 设，，，，每人分得物品的钱数分别为等差数列中的项 ，
，，，，则， ，
得 .
三、解答题
13.（1）在等差数列中，若，求 .
解: 由等差数列的性质得， ，又
，所以，解得 ，所以
.
（2）已知数列，都是等差数列，且，， ，
求 的值.
解:令，因为，都是等差数列，所以 也是等差数列，设
其公差为，由已知得，，则，解得 ，
故 .
（3）设等差数列满足 .
①求 ；
解: 因为在等差数列中，，所以 .
②若，， 是公差为18的等差数列，求数列
的通项公式.
解: 设等差数列的公差为，因为， ，
是公差为18的等差数列，所以，, 是公差为18的等差数列，
所以，所以 ，
所以 .
14.已知等差数列的公差为正数，与的等差中项为8，且 .
（1）求 的通项公式.
解：设等差数列的公差为,则 .
根据等差数列的性质可得与的等差中项为，所以 .
因为，即 ，所以，又，所以.
由，得 ，
所以的通项公式为 .
（2）从中依次取出第3项，第6项，第9项， ，第 项，按照原来的顺序
组成一个新数列，判断938是不是数列 中的项？并说明理由.
解：结合（1）可知 .
令，解得，即 ，所以938是数列 中的项.
15.（多选题）在数列中，若，，为常数 ，
则称 为平方等差数列.下列说法中正确的为( )
BD
A. 是平方等差数列
B.若是平方等差数列，则 是等差数列
C.若是平方等差数列，则,，,为常数 也是平方等差数列
D.若是平方等差数列，则,，,为常数 也是平方等差数列
[解析] 对于选项A，因为，所以 不是平方
等差数列，即选项A错误；
对于选项B，若 是平方等差数列，则,，为常数，
则 是等差数列，即选项B正确；
对于选项C，若是平方等差数列，则，，为常数 ，则 ，，为常数，所以,，,为常数 不是平方等差数列，即选项C错误；
对于选项D，若是平方等差数列，则 ，，为常数 ，则，，，为常数,故
,，,为常数也是平方等差数列，即选项D正确.故选 .
16.有一批电器原销售价为每台800元，在甲、乙两家商场均有销售.甲商场用如
下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一
台则单价减少20元，但单价最少不低于440元；乙商场一律按原价的 销售.
某单位需购买一批此类电器，去哪一家商场购买花费较少？
解:设该单位需购买电器台．
去甲商场购买时，设所买电器的单价为 元，
则 ，
由，得 ，即购买台数不超过18时，单价为
元，购买台数超过18时，单价为440元．
去乙商场购买时，每台售价为 （元）．
．
当时， ，去乙商场购买花费较少；
当时， ，去甲、乙两家商场购买花费相同；
当时， ，去甲商场购买花费较少；
当时， ，去甲商场购买花费较少．
因此，当购买电器少于10台时，去乙商场购买花费较少；
当购买电器10台时，去甲、乙两家商场购买花费相同；
当购买电器多于10台时，去甲商场购买花费较少．第2课时 等差数列的性质与应用
【课前预习】
知识点一
(n-m)d
诊断分析
(1)√ (2)√ (3)× (4)√ [解析] (1)因为1+n=2+(n-1)=3+(n-2)=…,所以由等差数列的性质知,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….
(2)因为(k-m)+(k+m)=2k,所以由等差数列的性质知ak-m+ak+m=2ak.
(3)设等差数列{an}的公差为d,因为a2+a4=2a1+4d,a6=a1+5d,所以只有当a1=d时,a2+a4=a6才成立.
(4)因为4+12=2×8,所以a4+a12=2a8,所以3a8=120,解得a8=40.
知识点二
1.(1)d (2)cd
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)等差数列{an}的公差为d,其奇数项为a1,a3,a5,…,则奇数项组成的新数列是公差为2d的等差数列.
(2)当n≥2时,(an+3)-(an-1+3)=d,则数列{an+3}的公差为d.
(3)设等差数列{an}的公差为d,当n≥2时,2an-2an-1=2d,则数列{2an}也是等差数列,公差为2d.
(4)如数列a1,a3,a5,…为1,3,5,7,…,数列a2,a4,a6,…为0,2,4,6,…,都是公差为2的等差数列,但1,0,3,2,5,4,7,6,…不是等差数列.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)B (2)9 (3)24 [解析] (1)方法一:设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a9=12,a2=4,
∴解得∴a10=+9×=8,故选B.
方法二:由等差数列的性质可知a3+a9=a2+a10=4+a10=12,得a10=8.
(2)方法一:设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a6+a20+a23=36,∴a1+2d+a1+5d+a1+19d+a1+22d=36,即4a1+48d=36,∴a1+12d=9,即a13=9.
方法二:∵{an}为等差数列,∴a3+a6+a20+a23=(a3+a23)+(a6+a20)=4a13=36,∴a13=9.
(3)设等差数列{an}的公差为d,∵a60=a15+(60-15)d,
∴d==,∴a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.
变式 (1)C (2)C (3)0 [解析] (1)由题意得a1+a2+a3=3a2=6,解得a2=2,a4+a6=2a5=-20,解得a5=-10,故等差数列{an}的公差d===-4,故a8=a2+6d=2-6×4=-22.故选C.
(2)∵公差不为0的等差数列{an}中,a4-ax=ay-a7,∴a4+a7=ax+ay,∴x+y=4+7=11.∵x,y∈N*,
∴或或或或或或或或或∴xy的值为10或18或24或28或30,不可能是22.故选C.
(3)方法一:设数列{an}的公差为d,不妨设p>q,因为ap=aq+(p-q)d,所以q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d.因为p≠q,所以d=-1,所以ap+q=ap+(p+q-p)d=q+q×(-1)=0.
方法二:因为数列{an}为等差数列,所以点(1,a1),(2,a2),…在同一条直线上.不妨设p探究点二
例2 解:(1)∵a1=3,d=-5,∴an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项,第7项,第11项,…,∴b1=a3=-7,b2=a7=-27.
(2)设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项,即bn=am,则m=3+4(n-1)=4n-1,∴bn=am=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n,即数列{bn}的通项公式为bn=13-20n.
(3)b506=13-20×506=-10 107,设它是数列{an}中的第t项,则-10 107=8-5t,解得t=2023,∴数列{bn}中的第506项是数列{an}中的第2023项.
变式 (1)100 [解析] 设等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,则(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2,所以数列{an+bn}仍然是等差数列.又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(25+75)=0,所以a37+b37=a1+b1=100.
(2)解:①依题意,等差数列-2,1,4,7,10,…,现在其每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列{an},则a1=-2,a3=1,设等差数列{an}的公差为d,则d=,故an=a1+(n-1)·d=n-.
②令an=16,即n-=16,得n=13∈N*,故16是新数列{an}中的项,是第13项.
拓展 15n-13 14 [解析] 方法一:由题可知,第一个数列是首项为2,公差为3的等差数列,记为{an},则其通项公式为an=3n-1;第二个数列是首项为2,公差为5的等差数列,记为{bm},则其通项公式为bm=5m-3.若数列{an}的第n项与数列{bm}的第m项相同,即an=bm,则3n-1=5m-3,
∴n==m+.∵m,n∈N*,∴必有m-1=3k(k为非负整数),即m=3k+1(k为非负整数),又2≤5m-3≤197,∴1≤m≤40,∴m=1,4,7,…,40,∴两数列的公共项为2,17,32,…,197,∴cn=15n-13,{cn}的项数是=14.
方法二:由题知c1=2.∵两数列为等差数列,且易知它们的公差分别为3,5,∴数列{cn}仍为等差数列,且公差d=15,
∴cn=c1+(n-1)d=2+(n-1)×15=15n-13.令2≤15n-13≤197,得1≤n≤14,∴{cn}的项数是14.
探究点三
例3 解:(1)由乙图可知该县第2年养鸡场有26个.
由甲图可知第2年每个养鸡场平均出产1.2万只鸡,所以该县共出产1.2×26=31.2(万只)鸡.
(2)由甲图和乙图可知,第1年全县共出产1×30=30(万只)鸡,
第6年全县共出产2×10=20(万只)鸡,
因此到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.
(3)由题可知,从第1年到第6年,每年养鸡场的个数构成首项为30,公差为-4的等差数列,
因此第n年养鸡场的个数是an=34-4n(n=1,2,3,4,5,6).
从第1年到第6年,每个养鸡场平均出产鸡的只数构成首项为1,公差为0.2的等差数列,
因此第n年每个养鸡场平均出产鸡的只数是bn=0.2n+0.8(n=1,2,3,4,5,6),
因此第n 年该县出产鸡的总只数Wn=an·bn=(34-4n)(0.2n+0.8)=-0.8n2+3.6n+27.2=-0.8(n-2.25)2+31.25(n=1,2,3,4,5,6),
可知,当n=2时,Wn最大,当n=6时,Wn最小,故该县第2年的养鸡业规模最大,第6年的养鸡业规模最小.
变式 (1)ACD [解析] 依题意,从冬至起,日影长依次记为a1,a2,…,a12,则数列{an}(n∈N*,n≤12)是等差数列,由题知a1+a4+a7=37.5,因为a1+a7=2a4,所以a4=12.5,又a12=4.5,设数列{an}的公差为d,所以解得故A正确;a10-a9=-1,即立夏比谷雨的日影长少1尺,故B不正确;a3,a5,a7成等差数列,即大寒、雨水、春分的日影长成等差数列,故C正确;a8=a1+(8-1)d=8.5,即清明的日影长为8.5尺,故D正确.故选ACD.
(2)解:设第n年的利润为an万元,
则由题意知a1=200,an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),
所以数列{an}是等差数列,且公差d=-20,
故an=a1+(n-1)d=220-20n.
若an<0,则该公司经销这一产品将亏损.
由an=220-20n<0,得n>11,
即从第12年起,该公司经销这一产品将亏损.第2课时 等差数列的性质与应用
【学习目标】
1.理解等差数列的通项公式,能说出等差数列通项公式的特征,并能灵活求解等差数列的基本量.
2.能得出等差数列的一些性质,并利用其解决一些简单问题.
◆ 知识点一 等差数列通项公式的推广与运算性质
两项关系 多项关系(性质)
通项公式的推广: an=am+ (d为公差,m,n∈N*) 项的运算性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq. 简记:若下标和相等,则对应项的和相等. 特别地,若m+n=2k(m,n,k∈N*),则am+an=2ak
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在等差数列{an}中,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…. ( )
(2)在等差数列{an}中,ak为ak-m,ak+m(m(3)在等差数列{an}中,a2+a4=a6. ( )
(4)在等差数列{an}中,若a4 +a8 +a12=120,则a8=40. ( )
◆ 知识点二 由等差数列构造新数列
1.构造新数列的基本类型
(1)若{an}是公差为d的等差数列,则{c+an}(c为任意常数)是公差为 的等差数列;
(2)若{an}是公差为d的等差数列,则{c·an}(c为任意常数)是公差为 的等差数列;
(3)若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,且它们的项数相同,则数列{pan+qbn}(p,q是常数)是公差为pd1+qd2的等差数列.
2.等差数列部分项的性质
若数列{an}为等差数列,则am,am+k,am+2k,am+3k,…(m,k∈N*)仍为等差数列.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知等差数列{an}的公差为d,取其奇数项组成一个新数列,则此数列是公差为2d的等差数列. ( )
(2)若等差数列{an}的公差为d,则数列{an+3}的公差为d+3. ( )
(3)若{an}是等差数列,则数列{2an}也是等差数列. ( )
(4)若数列a1,a3,a5,…和a2,a4,a6,…都是公差为d的等差数列,则a1,a2,a3,…也是等差数列. ( )
◆ 探究点一 等差数列性质的应用
例1 (1)在等差数列{an}中,已知a3+a9=12,a2=4,则a10= ( )
A.4 B.8
C.3 D.6
(2)在等差数列{an}中,若a3+a6+a20+a23=36,则a13= .
(3)在等差数列{an}中,a15=8,a60=20,则a75= .
变式 (1)[2024·河北保定高二期中] 已知数列{an}为等差数列,a1+a2+a3=6,a4+a6=-20,则a8= ( )
A.-12 B.-13
C.-22 D.-23
(2)公差不为0的等差数列{an}中,a4-ax=ay-a7,则xy的值不可能是 ( )
A.10 B.24
C.22 D.30
(3)若数列{an}为等差数列,ap=q,aq=p(p≠q),则ap+q= .
[素养小结]
(1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.
◆ 探究点二 由等差数列构造新等差数列
例2 在无穷等差数列{an}中,首项a1=3,公差d=-5,依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}.
(1)求b1和b2.
(2)求数列{bn}的通项公式.
(3)数列{bn}中的第506项是{an}中的第几项
变式 (1)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么数列{an+bn}的第37项为 .
(2)[2024·宁波镇海中学高二期中] 已知等差数列-2,1,4,7,10,…,现在其每相邻两项之间插入一个数,使之成为一个新的等差数列{an}.
①求新数列{an}的通项公式.
②16是新数列{an}中的项吗 若是,求出是第几项;若不是,说明理由.
[素养小结]
对于任何形式的构造数列,判断其是否为等差数列,一般从两个方面进行:(1)定义,即an-an-1(n≥2)是否为常数;(2)通项公式是否为关于n的一次函数.
拓展 已知两个等差数列2,5,8,…,197与2,7,12,…,197,将它们的公共项从小到大依次排列构成数列{cn},则数列{cn}的通项公式为cn= ,{cn}的项数是 .
◆ 探究点三 等差数列的实际应用
例3 甲、乙两人连续6年对某县养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明:每个养鸡场平均出产鸡的只数从第1年的1万只增加到第6年的2万只.乙调查表明:养鸡场个数从第1年的30个减少到第6年的10个.
请根据提供的信息回答下列问题:
(1)求第2年该县养鸡场的个数及出产鸡的总只数.
(2)到第6年该县的养鸡业规模(出产鸡的总只数越多,规模越大)比第1年是扩大了还是缩小了 请说明理由.
(3)该县这6年中哪一年的养鸡业规模最大 哪一年的养鸡业规模最小 请说明理由.
变式 (1)(多选题)已知冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺,则 ( )
A.冬至的日影长最长,为15.5尺
B.立夏比谷雨的日影长多1尺
C.大寒、雨水、春分的日影长成等差数列
D.清明的日影长为8.5尺
(2)某公司经销一种数码产品,第1年可获利200万元.从第2年起,由于市场竞争等方面的原因,其利润每年比上一年减少20万元,按照这一规律,如果公司不开发新产品,也不调整经营策略,从哪一年起,该公司经销这一产品将亏损
[素养小结]
求解等差数列实际应用问题的关键是认真审题,挖掘出“等差”变化的含义,进一步明确首项、公差、项数等基本量.