4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式及性质
【学习目标】
1.能推导等差数列的前n项和公式,能说出“倒序相加法”的特点、适用条件及操作步骤.
2.能说明等差数列前n项和公式的特征,能灵活运用求和公式解决一些简单问题.
◆ 知识点一 倒序相加法
如果一个数列{an}中,与首末项等“距离”的两项之和等于首末两项之和,那么求和时可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,这样就得到了一个常数列的和,进而求得数列{an}的前n项和,这一求和方法称为 .
【诊断分析】 如图所示,某仓库堆放了一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层都比上一层多1根,最下面的一层有9根,共有6层.
(1)假设在这堆钢管旁边倒放上同样的一堆钢管,其截面如图所示,则这样共有 根钢管.
(2)原来有 根钢管.
◆ 知识点二 等差数列的前n项和公式
1.等差数列{an}的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn= Sn=
2.两个公式的关系:把an=a1+(n-1)d代入Sn=,就可以得到Sn=na1+d.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知等差数列{an}的公差为d,则当n≥2时,等差数列{an}的前n-1项的和Sn-1=(n-1)a1+d. ( )
(2)等差数列{an}的前n项和公式是关于整数n的二次函数. ( )
(3)等差数列{an}的前n项和公式的常数项为0.( )
(4)设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn与an不可能相等. ( )
◆ 知识点三 等差数列的前n项和的性质
1.若数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,k∈N*,那么 , , 成等差数列,如图所示.
2.若Sn,Tn分别为等差数列{an}和{bn}的前n项和,则=.
3.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为.
4.设数列{an}是公差为d的等差数列,S奇是前n项中奇数项的和,S偶是前n项中偶数项的和,则数列{an}的前n项和Sn=S奇+S偶.当等差数列的项数n为奇数时,中间一项记为a中.有如下性质:
(1)当n为偶数时,S偶-S奇= ;
(2)当n为奇数时,S奇-S偶= ,S奇= ,S偶= ,= .
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若{an}是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9也是等差数列. ( )
(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8,S12成等差数列. ( )
(3)等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则=. ( )
◆ 探究点一 等差数列的前n项和的基本运算
例1 已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
(1)若a1=7,a50=101,则S50= ;
(2)若a1=1,a4=7,则S9= ;
(3)若a1=,d=-,Sn=-15,则n= ,an= ;
(4)若a1=1,an=-512,Sn=-1022,则n= ,d= .
变式 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,且a4+a19=0,则S21= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)[2024·东莞实验中学高二月考] 记Sn是等差数列{an}的前n项和,已知a1=S4=-4.
①求数列{an}的通项公式;
②求使Sn>an成立的n的最小值.
[素养小结]
1.等差数列的五个基本量a1,an,d,n,Sn中知三可求其二.
2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,则=(2n-1)an.
拓展1 已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=2,S3=-6.
(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn.
(2)是否存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列 若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.
拓展2 已知{an}为等差数列,a3=98,a6=86.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和.
◆ 探究点二 等差数列的前n项和的性质及应用
例2 (1)已知一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32∶27,求公差d.
(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=4,求.
(3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前n项和分别为Sn,Tn,且=,求.
(4)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2023,-=-4,求S2024.
变式 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sk=1,S4k=16,则S6k= ( )
A.18 B.36 C.40 D.42
(2)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则S12= .
[素养小结]
(1)涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题,宜用等差数列前n项和的性质求解.
(2)涉及两个等差数列有限项和之比的问题,通常是将其转化为两个等差数列前n项和之比来处理.
(3)涉及等差数列中与有关的问题,可利用是等差数列解决.4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式及性质
一、选择题
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=4,S6=30,则a2= ( )
A.-2 B.2
C.4 D.6
2.[2024·浙江舟山高二期末] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a7=10,a5a6=35,则S6= ( )
A.20 B.16
C.14 D.12
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=7,S10=21,则S15= ( )
A.35 B.42
C.49 D.63
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=17,S17=340,则数列{an}的公差是 ( )
A.-4 B. -3 C. D.3
5.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,n∈N*,若=,则的值为 ( )
A. B.
C. D.
6.“杨辉三角”是我国古代重要的数学成就.如图是“杨辉三角”所表示的三角形数阵,记an为图中虚线上的数1,3,6,10,…构成的数列{an}的第n项,则a100的值为 ( )
A.5049 B.5050 C.5051 D.5101
7.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,Tn是数列的前n项和,若 S7=7,S15=75,则Tn=( )
A.
B.
C.
D.
8.(多选题)已知等差数列{an}的公差为d,Sn为其前n项和,若a7=5,S7=21,则 ( )
A.a1=1
B.d=-
C.a2+a12=10
D.S10=40
9.(多选题)记Sn为公差d不为0的等差数列{an}的前n项和,则 ( )
A.S3,S6-S3,S9-S6成等差数列
B.,,成等差数列
C.S9=2S6-S3
D.S9=3(S6-S3)
二、填空题
10.[2024·广东中山高二期中] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=5,a7=13,则S10= .
11.[2024·厦门高二期中] 在数列{an}中,已知an+1-an=an+2-an+1,a1013=1,则该数列前2025项的和S2025= .
12.[2024·江苏南通高二期中] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若am+an+3=5,am+3+an+2=9,则-= .
三、解答题
13.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn.
(1)若a1=,an=-,Sn=-5,求n和d;
(2)若a6=10,S5=5,求a8和S10.
(3)若S5=24,求a2+a4.
14.已知一个等差数列的项数为奇数,且所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261,求此数列的中间项以及项数.
15.如图,在平面直角坐标系中有一系列格点Ai(xi,yi),其中i=1,2,3,…,n,…,且xi,yi∈Z.记an=xn+yn,如A1(1,0)对应a1=1,A2(1,-1)对应a2=0,以此类推.设数列{an}的前n项和为Sn,则a2024= ,S2022= .
16.[2024·山东青岛高二期中] 已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=14n-n2.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若Tn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Tn.(共64张PPT)
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前项和公式
第1课时 等差数列的前 项和公式及性质
探究点一 等差数列的前项和的基本运算
探究点二 等差数列的前项和的性质及应用
【学习目标】
1.能推导等差数列的前 项和公式,能说出“倒序相加法”的特点、适用条件及
操作步骤.
2.能说明等差数列前 项和公式的特征,能灵活运用求和公式解决一些简单问题.
知识点一 倒序相加法
如果一个数列 中，与首末项等“距离”的两项之和等于首末两项之和，那么
求和时可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，这样就得到了一个常数列的
和，进而求得数列的前 项和，这一求和方法称为____________.
倒序相加法
【诊断分析】 如图所示，某仓库堆放了一堆钢管，最上面的一层有4根钢
管，下面的每一层都比上一层多1根，最下面的一层有9根，共有6层.
（1）假设在这堆钢管旁边倒放上同样的一堆钢管，其截面如图所示，则这样
共有____根钢管.
78
[解析] .
（2）原来有____根钢管.
39
[解析] .
知识点二 等差数列的前 项和公式
1.等差数列的前 项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式
2.两个公式的关系:把代入 ,就可以得到
.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知等差数列的公差为,则当时，等差数列的前 项的
和 .( )
√
[解析] 当时，可知 .
（2）等差数列的前项和公式是关于整数 的二次函数.( )
×
[解析] 当等差数列的公差时，其前项和，不是关于整数 的
二次函数.
（3）等差数列的前 项和公式的常数项为0.( )
√
[解析] 等差数列的前项和公式可化为 ，其常数项为0.
（4）设等差数列的前项和为，则与 不可能相等.( )
×
[解析] 若等差数列的通项公式为，则 .
知识点三 等差数列的前 项和的性质
1.若数列是等差数列,是其前项和, ,那么___,_________,__________
成等差数列,如图所示.
2.若,分别为等差数列和的前项和,则 .
3.若数列是公差为的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为 .
4.设数列是公差为的等差数列,是前项中奇数项的和,是前 项中偶数
项的和,则数列的前项和.当等差数列的项数 为奇数时,中间一
项记为 .有如下性质:
（1）当为偶数时, ____;
（2）当为奇数时,____,_______,_______, ____.
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若是等差数列,则,, 也是等差数
列.( )
√
[解析] 设等差数列的公差为,则 ,
,
所以 ,故
,, 构成等差数列.
（2）若等差数列的前项和为,则,, 成等差数列.( )
×
[解析] 应该是,, 成等差数列.
（3）等差数列，的前项和分别为，，若，则 .
( )
√
[解析] .
探究点一 等差数列的前 项和的基本运算
例1 已知等差数列的公差为,前项和为 .
（1）若，，则 ______；
2700
[解析] ，，根据公式 ，可得
.
（2）若，，则 ____；
81
[解析] 因为，所以 ，故
.
（3）若,,,则____， ____；
12
[解析] 由,整理得 ,解得
或（舍去）
.
（4）若,,,则___， ______.
4
[解析] 由,解得.
由 ,得,解得 .
变式（1） 已知等差数列的前项和为，若，且 ，则
( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析] 设等差数列的公差为，由，，得 ，
解得，所以 .故选B.
（2）[2024·东莞实验中学高二月考] 记是等差数列的前 项和，已知
.
①求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为，因为 ，所以
，解得 ，
故数列的通项公式为 .
②求使成立的 的最小值.
解：由数列的前项和公式可得 ，
由可得，整理可得，解得 或
，
又为正整数，所以 的最小值为7.
［素养小结］
1.等差数列的五个基本量，，，， 中知三可求其二.
2.若等差数列的前项和为,则 .
拓展1 已知为等差数列的前项和,, .
（1）求数列的通项公式和前项和 .
解:设等差数列的公差为,, ,
,,解得, ,
, .
（2）是否存在,使,,成等差数列 若存在,求出 的值;若不存在,
说明理由.
解:假设存在,使,,成等差数列,则 ,
,解得 .
因此存在,使,, 成等差数列.
拓展2 已知为等差数列，, .
（1）求 的通项公式；
解:设的公差为,因为, ，所以
，所以.
因为 ，所以 .
（2）求数列的前 项和.
解:设的前项和为,的前项和为 .
由（1）知 ，所以 ,
令，因为，所以，
所以当 时，
，
当 时，
故
探究点二 等差数列的前 项和的性质及应用
例2（1） 已知一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项之和与奇数项之
和的比为,求公差 .
解:设该等差数列的前12项中偶数项之和为,奇数项之和为 ,则
解得
由,得 .
（2）设是等差数列的前项和,若,求 .
解:方法一：设等差数列的公差为， 等差数列的前项和为 ，
，，整理得， .
方法二：若数列为等差数列,则,,也成等差数列.
,,则数列,,是以为首项, 为公差的等差数列,
,得,故 .
（3）已知,均为等差数列,其前项和分别为,,且,求 .
解: .
（4）已知是等差数列的前项和，若， ，求
.
解:是等差数列的前项和, 是等差数列,设其公差为
,,解得
, , ,
, .
变式（1） 设等差数列的前项和为，若，，则 ( )
B
A.18 B.36 C.40 D.42
[解析] 设等差数列的公差为,则，故 为
等差数列，故，可得，解得 .
故选B.
（2）已知为等差数列的前项和，若,，则 _____.
120
[解析] 方法一：设等差数列的公差为，则 即
解得故 .
方法二：因为数列为等差数列,所以,,, 也成等差数列，
又, ,所以数列,,，是以 为首项,18为公差
的等差数列,
所以 .
［素养小结］
（1）涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比的问题，宜用等差数
列前 项和的性质求解.
（2）涉及两个等差数列有限项和之比的问题，通常是将其转化为两个等差数列
前 项和之比来处理.
（3）涉及等差数列中与有关的问题，可利用 是等差数列解决.
《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国
民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著
作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：
一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问
长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，各个孩子的年龄构成等差数列，
利用这个等差数列的前9项和为207，可以求出长儿的年龄.
1.等差数列的前 项和公式的推导方法
（1）倒序相加法.
（2）除此之外,对于等差数列的前 项和公式的推导,也可以有其他的推导途径.
例如:
.
2.等差数列前 项和公式的图形理解
我们可以根据梯形面积公式的两种推导方法“补形”与“分割”来理解等差数列的
两个前 项和公式，如图所示.
3.等差数列前 项和公式的选用
分析和 两个公式可得，它们的共同点是需
要知道和，不同点是公式还需要知道 ，公式
还需要知道 ，解题时需根据已知条件决定选用哪个公式.
当已知首项、末项和项数时，用公式①较为简便；
当已知首项、公差和项数时，用公式②较为简便.
在运用公式 时，注意结合等差数列的性质.
特别地，等差数列的前项和公式除 外，还可以是
.
1.基本量法:在解决等差数列问题时,如已知,,,, 中任意三个,可求其余两
个,这种问题在数学上常称为“知三求二”型.解题时通常以与 （等差数列的基
本量）为桥梁，利用已知条件建立关于与 的方程组，解出方程组后，再具体
求解.这是求解等差数列问题的基本方法.
例1 在等差数列中，记为数列的前项和，已知 ，
.
（1）求数列 的通项公式；
解：设等差数列的公差为 ,
， ，
解得
故 ，
故数列的通项公式为 .
（2）求使成立的 的值.
解：由（1）知， ，
，
，即，解得或 ，
故使成立的 的值是1或12.
例2 [2024·厦门外国语学校高二月考] 已知等差数列的前项和为 ，且
， .
（1）若，求证：数列 是等差数列；
证明：设等差数列的公差为，由题意得 解得
，
， 数列 是
以 为首项，1为公差的等差数列.
（2）求数列的前项和 .
解：由（1）得，
当时， ，数列的前项和，
当时，，
数列的前 项和
，
2.已知数列的前项和为,则数列 为等差数列.
例3 [2024·北京第二外国语学院附中高二期中] 设为数列的前 项和,且
.
（1）求数列的通项公式，并证明数列 是等差数列；
解:因为,所以当时, ，
当时, ,
又满足上式,所以.
由 ,得 ,
所以,所以数列 是公
差为 的等差数列.
（2）求证：数列 是等差数列.
证明：因为，所以 ，
又，
所以数列是公差为 的等差数列.
3.倒序相加法在求值中的应用
例4 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有
很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学能力，他在进行
的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项
的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知数列
，则 ( )
C
A.96 B.97 C.98 D.99
[解析] 令 ，
，
两式相加得， ，故选C.
练习册
一、选择题
1.已知等差数列的前项和为，且，，则 ( )
B
A. B.2 C.4 D.6
[解析] 设等差数列的公差为，则， ，可
得,，故 .故选B.
2.[2024·浙江舟山高二期末]记为等差数列的前项和，若 ,
，则 ( )
D
A.20 B.16 C.14 D.12
[解析] 是等差数列，，， ，
公差， ，
，故选D．
3.已知等差数列的前项和为，若，，则 ( )
B
A.35 B.42 C.49 D.63
[解析] 因为数列为等差数列，所以，， 也是等差数列，
由题意得，，则，所以 ，
故选B.
4.已知等差数列的前项和为，，，则数列 的公差
是( )
D
A. B. C. D.3
[解析] 因为，所以，
又 ，所以公差 .故选D.
5.设等差数列，的前项和分别为,，，若 ，则
的值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以 .故
选B.
6.“杨辉三角”是我国古代重要的数学成就.如图是“杨辉三
角”所表示的三角形数阵，记 为图中虚线上的数1，3，
6，10， 构成的数列的第项，则 的值为
( )
B
A.5049 B.5050 C.5051 D.5101
[解析] 由题意得 ，所以
，
所以 ，
所以 .故选B.
7.已知是等差数列的前项和，是数列的前项和，若 ，
，则 ( )
A
A. B. C. D.
[解析] 方法一：设等差数列的公差为，, ,
解得则 ，
,是首项为，公差为 的等差数列，
,故选A.
方法二：是等差数列的前项和， 数列 是等差数列，设其公差为
,，，，， ，
, ,故选A.
方法三：是等差数列的前项和， 设，
又 ，，
解得， ,
， ,故选A.
8.（多选题）已知等差数列的公差为，为其前项和，若 ，
，则( )
ACD
A. B. C. D.
[解析] 由，，得，解得 ，A正确.
因为，所以，B错误.
由为等差数列，知 ，C正确.
，D正确.故选 .
9.（多选题）记为公差不为0的等差数列的前 项和，则( )
ABD
A.,,成等差数列 B.,, 成等差数列
C. D.
[解析] ，
，
，，成等差数列，故选项A正确；
,,,,,
又 ,, , 成等差数列，故选项B正确；
，
，故选项C错误；
，
，故选项D正确.故选 .
二、填空题
10.[2024·广东中山高二期中] 记为等差数列的前项和，若 ,
，则 _____.
100
[解析] 设等差数列的公差为，由 得
.
11.[2024·厦门高二期中] 在数列中，已知 ，
,则该数列前2025项的和 ______.
2025
[解析] 由可知，数列 为等差数列，所以
，所以
.
12.[2024·江苏南通高二期中] 记为等差数列的前 项和，若
，，则 ___.
1
[解析] 设等差数列的公差为，由①， ，
得，解得，
又， ，
.
三、解答题
13.已知等差数列的公差为,前项和为 .
（1）若，，，求和 ；
解：由题意得 ，解得
， .
（2）若，，求和 .
解：由题意得 解得
，
.
（3）若，求 .
解：方法一：，即， ，
.
方法二：由，得， .
14.已知一个等差数列的项数为奇数，且所有奇数项的和为290，所有偶数项的
和为261，求此数列的中间项以及项数.
解:设该等差数列的项数为.
设所有奇数项的和为 ，则，
设所有偶数项的和为 ，则，
所以，解得 ，故此数列的项数为19，中间项为.
由,得 ，所以此数列的中间项是29，项数为19.
15.如图，在平面直角坐标系中有一系列格点 ，
其中，2，3， ，, ，且， .记
，如对应， 对应
，以此类推.设数列的前项和为，则
____， _____.
44
[解析] 由图可知，第一圈从点到点 ，
共8个点，由对称性可知，
第二圈从点到点 ，共16个点，
由对称性可知，
以此类推，可得第圈的 个点对应的这项的和为0.
前 圈的点的个数之和为 ，
由此可知前22圈共有2024个点，故，
对应的点的坐标为，则，
故 对应的点的坐标为，所以 ，
则 .
16.[2024·山东青岛高二期中] 已知是数列的前项和，且 .
（1）求 的通项公式；
解：，
当时， ，
当时， ，
又满足上式，所以 .
（2）若，求 .
解：因为，所以当时，，当时， .
当 时，
；
当 时，
.
综上，4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式及性质
【课前预习】
知识点一
倒序相加法
诊断分析
(1)78 (2)39 [解析] (1)(4+9)×6=78.
(2)×78=39.
知识点二
1. na1+d
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ (4)× [解析] (1)当n≥2时,可知Sn-1=(n-1)a1+d.
(2)当等差数列{an}的公差d=0时,其前n项和Sn=na1,不是关于整数n的二次函数.
(3)等差数列的前n项和公式可化为Sn=n2+n,其常数项为0.
(4)若等差数列{an}的通项公式为an=0,则Sn=an.
知识点三
1.Sk S2k-Sk S3k-S2k
4.(1)d (2)a中 a中 a中
诊断分析
(1)√ (2)× (3)√ [解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,则a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d,a7+a8+a9=(a4+a5+a6)+9d,所以(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=9d,故a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9构成等差数列.
(2)应该是S4,S8-S4,S12-S8成等差数列.
(3)=====.
【课中探究】
探究点一
例1 (1)2700 (2)81 (3)12 -4 (4)4 -171 [解析] (1)a1=7,a50=101,根据公式Sn=,可得S50==2700.
(2)因为a4=a1+3d=1+3d=7,所以d=2,故S9=9a1+d=9+×2=81.
(3)由Sn=n×+×=-15,整理得n2-7n-60=0,解得n=12或n=-5(舍去).a12=+(12-1)×=-4.
(4)由Sn===-1022,解得n=4.由an=a1+(n-1)d,得-512=1+(4-1)d,解得d=-171.
变式 (1)B [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由a1=2,a4+a19=0,得4+21d=0,解得d=-,所以S21=21a1+d=21×2+×=2.故选B.
(2)解:①设等差数列{an}的公差为d,因为a1=S4=-4,所以S4=a1+a2+a3+a4=-16+6d=-4,解得d=2,
故数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-6.
②由数列的前n项和公式可得Sn=n×(-4)+×2=n2-5n,由Sn>an可得n2-5n>2n-6,整理可得(n-1)(n-6)>0,解得n<1或n>6,又n为正整数,所以n的最小值为7.
拓展1 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,∵S2=2,S3=-6,
∴2a1+d=2,3a1+3d=-6,解得a1=4,d=-6,∴an=4-6(n-1)=10-6n,∴Sn==7n-3n2.
(2)假设存在n,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列,则2(Sn+2+2n)=Sn+Sn+3,∴2[7(n+2)-3(n+2)2+2n]=7n-3n2+7(n+3)-3(n+3)2,解得n=5.因此存在n=5,使Sn,Sn+2+2n,Sn+3成等差数列.
拓展2 解:(1)设{an}的公差为d,因为a3=98,a6=86,所以a6-a3=3d=86-98=-12,所以d=-4.因为a3=98,所以an=a3+(n-3)d=110-4n.
(2)设{an}的前n项和为Sn,{|an|}的前n项和为Tn.
由(1)知a1=106,所以Sn=na1+d=106n-2n(n-1)=-2n2+108n,
令an=110-4n≥0,因为n∈N*,所以1≤n≤27,所以当1≤n≤27时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=Sn=-2n2+108n,当n≥28时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a27|+|a28|+…+|an|= a1+ a2+a3+…+ a27-a28-…-an =2(a1+ a2+ a3+…+ a27)-(a1+ a2+ a3+…+ a27+a28+…+an)=2S27-Sn=2×(-2×272+108×27) -(-2n2+108n)=2n2-108n+2916,
故Tn=
探究点二
例2 解:(1)设该等差数列的前12项中偶数项之和为S偶,奇数项之和为S奇,则解得由S偶-S奇=6d,得d=5.
(2)方法一:设等差数列{an}的公差为d,∵等差数列{an}的前n项和为Sn,=4,∴=4,整理得d=2a1,∴===.
方法二:若数列{an}为等差数列,则S3,S6-S3,S9-S6也成等差数列.∵=4,∴=3,则数列S3,S6-S3,S9-S6是以S3为首项,2S3为公差的等差数列,∴S9-S6=5S3,得S9=9S3,故=.
(3)=====.
(4)∵Sn是等差数列{an}的前n项和,∴是等差数列,设其公差为d.∵-=-4,∴-4d=-4,解得d=1.∵a1=-2023,∴=-2023,∴=-2023+(n-1)×1=-2024+n,∴=-2024+2024=0,∴S2024=0.
变式 (1)B (2)120 [解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,则==a1+(n-1),故为等差数列,故-=,可得4-1=,解得S6k=36.故选B.
(2)方法一:设等差数列{an}的公差为d,则即解得故S12=12a1+66d=-12+132=120.
方法二:因为数列{an}为等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6, S12-S9也成等差数列,又S3=3,S6=24 ,所以数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是以S3为首项,18为公差的等差数列,所以S12= S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=4×3+×18=120.4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式及性质
1.B [解析] 设等差数列{an}的公差为d,则a1+2d=4,S6=6a1+15d=30,可得a1=0,d=2,故a2=a1+d=0+2=2.故选B.
2.D [解析] ∵{an}是等差数列,∴a3+a7=2a5=10,∴a5=5,∴a6==7,∴公差d=a6-a5=2,∴a1=a5-4d=-3,∴S6=6×(-3)+×2=12,故选D.
3.B [解析] 因为数列{an}为等差数列,所以S5,S10-S5,S15-S10也是等差数列,由题意得S5=7,S10-S5=14,则S15-S10=21,所以S15=21+21=42,故选B.
4.D [解析] 因为S17===17a9=340,所以a9=20,又a8=17,所以公差d=a9-a8=20-17=3.故选D.
5.B [解析] 因为=,所以=====.故选B.
6.B [解析] 由题意得an+1-an=n+1,所以an-a1=an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1=2+3+4+…+n(n≥2),所以an=1+2+3+…+n=(n≥2),所以a100==5050.故选B.
7.A [解析] 方法一:设等差数列{an}的公差为d,∵S7=7,S15=75,∴解得则Sn=-2n+×1=,∴=,∴是首项为-2,公差为的等差数列,∴Tn=-2n+×=,故选A.
方法二:∵Sn是等差数列{an}的前n项和,∴数列 是等差数列,设其公差为d,∵S7=7,S15=75,∴=1,=5,∴d==,∴=-6d=1-6×=-2,∴Tn=-2n+×=,故选A.
方法三:∵Sn是等差数列{an}的前n项和,∴设Sn=An2+Bn,又S7=7,S15=75,∴解得∴Sn=,∴=,∴=-2,∴Tn==,故选A.
8.ACD [解析] 由a7=5,S7=21,得21=,解得a1=1,A正确.因为a7=a1+6d,所以d=,B错误.由{an}为等差数列,知a2+a12=2a7=10,C正确.S10=10a1+d=10+×=40,D正确.故选ACD.
9.ABD [解析] ∵(S6-S3)-S3=(a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d,(S9-S6)-(S6-S3)=(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,故选项A正确;∵Sn=na1+d,∴=a1+d,∴=a1+d,=a1+d,=a1+4d,又2×=+,∴,,成等差数列,故选项B正确;
∵S9+S3-2S6=9a1+36d+3a1+3d-2×(6a1+15d)=9d≠0,∴S9≠2S6-S3,故选项C错误;∵S9-3(S6-S3)=9a1+36d-3×(6a1+15d-3a1-3d)=0,∴S9=3(S6-S3),故选项D正确.故选ABD.
10.100 [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由得∴S10=10a1+d=10×1+×2=100.
11.2025 [解析] 由an+1-an=an+2-an+1可知,数列{an}为等差数列,所以a1+a2025=2a1013=2,所以S2025====2025.
12.1 [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由am+an+3=5①,am+3+an+2=9②,②-①得3d-d=4,解得d=2,又Sn=,∴=,∴-=-=(an+1-an)=d=1.
13.解:(1)由题意得Sn===-5,解得n=15.∵a15=+(15-1)d=-,∴d=-.
(2)由题意得解得∴a8=a6+2d=10+2×3=16,S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(3)方法一:S5=5a1+d=24,即5a1+10d=24,∴a1+2d=,
∴a2+a4=a1+d+a1+3d=2(a1+2d)=2×=.
方法二:由S5==24,得a1+a5=,∴a2+a4=a1+a5=.
14.解:设该等差数列的项数为2n-1(n∈N*).设所有奇数项的和为S,则S==nan,设所有偶数项的和为T,则T==(n-1)an,所以===,解得n=10,故此数列的项数为19,中间项为a10.由S=10a10=290,得a10=29,所以此数列的中间项是29,项数为19.
15.44 -87 [解析] 由图可知,第一圈从点A1(1,0)到点A8(1,1),共8个点,由对称性可知S8=a1+a2+…+a8=0,第二圈从点A9(2,1)到点A24(2,2),共16个点,由对称性可知S24-S8=a9+a10+…+a24=0,以此类推,可得第n圈的8n个点对应的这8n项的和为0.前k圈的点的个数之和为8+16+…+8k==4k(k+1),由此可知前22圈共有2024个点,故S2024=0,a2024对应的点的坐标为(22,22),则a2024=22+22=44,故a2023对应的点的坐标为(21,22),所以a2023=21+22=43,则S2022=S2024-(a2024+a2023)=0-(44+43)=-87.
16.解:(1)Sn=14n-n2(n∈N*),当n=1时,a1=S1=14×1-12=13,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=14n-n2-[14(n-1)-(n-1)2]=15-2n,又a1=13满足上式,所以an=15-2n.
(2)因为an=15-2n,所以当1≤n≤7时,an>0,当n>7时,an<0.
当1≤n≤7时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=14n-n2;
当n>7时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a7-(a8+a9+…+an)=2(a1+a2+…+a7)
-(a1+a2+…+a7+a8+a9+…+an)=2S7-Sn=n2-14n+98.
综上, Tn=
