第2课时 等差数列的前n项和的最值与应用
【课前预习】
知识点
1.n2+n 二次
2.(1)最大 最小 (2)最小 最大
诊断分析
(1)× (2)√ (3)√ [解析] (1)因为a7+a8+a9=3a8>0,a7+a10=a8+a9<0,所以a8>0,a9<0,所以当n=8时,数列{an}的前n项和最大.
(2)若a1>0,d<0,则数列{an}的前几项为非负数,从某项开始为负数,所以等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且最大值就是所有正项之和,也是所有非负项之和.
(3)∵an+1-an=-4,∴{an}是公差为-4的等差数列,又a1=32,∴an=-4n+36.令an=-4n+36≥0,得n≤9,又a9=0,∴当n=8或9时,Sn取得最大值.
【课中探究】
探究点一
探索 解:若等差数列的公差d>0,则该数列的前n项和有最小值,没有最大值;若等差数列的公差d<0,则该数列的前n项和有最大值,没有最小值.所以等差数列的前n项和不是都有最大值与最小值.
例1 解:方法一:设等差数列{an}的公差为d,则由a1=25,S17=S9,得25×17+d=25×9+d,解得d=-2,∴Sn=25n+×(-2)=-(n-13)2+169.由二次函数的性质得,当n=13时,Sn取得最大值169.
方法二:先求出公差d=-2(同方法一),
则an=25+(n-1)×(-2)=27-2n.
由得即12.5≤n≤13.5,∴当n=13时,Sn取得最大值,且S13=13×25+×(-2)=169.
方法三:∵a1=25,S17=S9,∴公差d<0,∴前n项和Sn为关于n的二次表达式,借助相应的二次函数图象,如图所示,则当n==13时,Sn取得最大值.由方法一知d=-2,∴S13=13×25+×(-2)=169.
方法四:∵a1=25,S17=S9,∴公差d<0,S17-S9=a10+a11+a12+a13+a14+a15+a16+a17=4(a13+a14)=0,即a13+a14=0,则a13>0,a14<0,∴Sn的最大值为S13.由方法一知d=-2,∴S13=13×25+×(-2)=169.
变式 (1)A (2)ABD [解析] (1)方法一:因为an+an+2=2an+1,所以数列{an}为等差数列,设等差数列{an}的公差为d,则d=a2-a1=-2,所以数列{an}的通项公式为an=13+(n-1)×(-2)=15-2n.令an=15-2n≥0,解得n≤,所以当1≤n≤7,n∈N*时,an>0,当n≥8,n∈N*时,an<0,所以当n=7时,Sn取得最大值.故选A.
方法二:因为an+an+2=2an+1,所以数列{an}为等差数列,设等差数列{an}的公差为d,则d=a2-a1=-2,所以数列{an}的通项公式为an=13+(n-1)×(-2)=15-2n,所以Sn==-n2+14n= -(n-7)2+49, 所以当n=7时,Sn取得最大值.故选A.
(2)因为S5=S9,所以a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)=0,所以a7+a8=0,又等差数列{an}为递减数列,所以公差d<0,所以a7>0,a8<0,故A,B正确.S14=7(a7+a8)=0,S13=13a7>0,故C错误,D正确.故选ABD.
探究点二
例2 解:(1)设该超市前n年的总利润为y万元,则y=50n--72=-2n2+40n-72.由y>0,得n2-20n+36<0,解得2(2)由(1)可知,当2变式 (1)C (2)AB [解析] (1)依题意,九层塔从顶层到底层灯的盏数构成等差数列{ak},k∈N*,k≤9,且a9=13a1.记数列{ak}的前k项和为Sk,于是得S9=×9=×9=63a1=126,解得a1=2,所以a9=26,所以该塔的底层共有26盏灯.
(2)设良马第n天走an里,驽马第n天走bn里,则an=193+13(n-1),bn=97-0.5(n-1),n∈N*,1≤n≤9.良马这9天共走了9×193+×13=2205(里),驽马这9天共走了9×97+×(-0.5)=855(里),故长安与齐国两地相距=1530(里),A正确;3天后,良马共走了3×(193+13)=618(里),驽马共走了3×(97-0.5)=289.5(里),故它们之间的距离为328.5里,B正确;良马前6天共走了6×193+×13=1353(里),1353<1530,故良马行走6天还未到达齐国,C不正确;良马前7天共走了7×193+×13=1624(里),1624>1530,则良马从第7天开始返回迎接驽马,故8天后,两马之间的距离即为两马第9天行走的距离之和,由a9+b9=193+13×8+97-0.5×8=390,知8天后,两马之间的距离为390里,D不正确.故选AB.第2课时 等差数列的前n项和的最值与应用
1.C [解析] 方法一:由an=24-3n知,当1≤n≤8时,an≥0,且a8=0,当n≥9时,an<0,故当n=7或n=8时,Sn取得最大值.
方法二:由an=24-3n,得a1=24-3=21,则Sn===-n2+n=-+.故当n=7或n=8时,Sn取得最大值.
2.A [解析] 物体在降落过程中,每一秒降落的距离(单位:米)构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.设物体经过t秒后降落到地面,则4.90t+×9.80=1960,可得t=20,所以落到地面所需要的时间为20秒.故选A.
3.C [解析] 由题知an=a1+(n-1)d=2n-11,令an=2n-11≤0,可得n≤,又n∈N*,所以当n≤5时,an<0,当n≥6时,an>0,所以当n=5时,Sn取得最小值,最小值为S5==5a3=5×(2×3-11)=-25.故选C.
4.C [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由a2+a4+a6=147,a1+a3+a5=156,两式相减可得3d=-9,则d=-3.∵a2+a4+a6=3a4=147,∴a4=49,故an=a4+(n-4)d=49-3n+12=61-3n.当Sn取得最大值时,有即解得≤n≤,又n∈N*,∴n=20.故选C.
5.C [解析] 根据题意,从2023年10月26日开始到读完的前一天,他每天阅读《巴黎圣母院》的时间(单位:分钟)依次构成等差数列,且首项为60,公差为-2,则由60n+×(-2)≤820,且60-2n≥0,得n≤20,所以小方读此书20天恰好可以读完,故他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为2023年11月14日.故选C.
6.C [解析] a5<0,a6>0,且a6>|a5|,故d=a6-a5>0,故数列的前5项都为负数,a5+a6>0,2a5<0,2a6>0,由等差数列的性质及求和公式可得S9==9a5<0,S10=5(a1+ a10)=5(a5+a6)>0,由公差d>0可知S1,S2,…,S9均小于0,S10,S11,…均大于0.故选C.
7.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由等差数列{an}的前n项和Sn=na1+d=n2+n,
类比表达式Sn=pn2+qn+r,有p=,q=a1-,r=0.
当{an}为递增的等差数列时,有p>0;
反之,当p>0,r≠0时,例如Sn=n2-2n+1,可得a1=0,
an=Sn-Sn-1=2n-3(n≥2),则a2-a1=1,an-an-1=2(n≥3),
此时数列{an}从第二项开始才为递增的等差数列.
所以“{an}为递增的等差数列”是“p>0”的充分不必要条件.
故选A.
8.ABD [解析] 因为S5S8,所以a6=S6-S5>0,a7=S7-S6=0,a8=S8-S7<0.对于A,公差d=a7-a6<0,所以A正确;对于B,a7=S7-S6=0,所以B正确;对于C,S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0,所以S90,a7=0,a8<0,所以S6=S7,且S6和S7均为Sn的最大值,所以D正确.故选ABD.
9.ABD [解析] 对于A,因为首项为正数,公差不为0,且S10=0,所以公差d<0,S10==0,即a1+a10=0,根据等差数列的性质可得a5+a6=a1+a10=0,又d<0,所以a5>0,a6<0,故A正确;对于B,因为S4=S12,所以S12-S4=0,所以a5+a6+…+a11+a12=4(a8+a9)=0,又a1>0,所以a8>0,a9<0,所以S15===15a8>0,S16===0,所以使Sn>0的最大的n为15,故B正确;对于C,因为S15===15a8>0,所以a8>0,又S16==<0,所以a8+a9<0,所以a9<0,所以{Sn}中的最大项为S8,故C错误;对于D,因为S80,又a1>0,所以a8=S8-S7>0,即S8>S7,故D正确.故选ABD.
10.an=17-2n(答案不唯一) [解析] ∵当且仅当n=8时,等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值,∴a8>0,a9<0,故an=17-2n满足题意.
11.9 [解析] 由等差数列{an}的公差d<0,|a5|=|a14|知,a5+a14=0,所以a9+a10=0,故a9>0,a10<0,则数列{an}的前n项和取得最大值时n的值为9.
12.61.395 [解析] 设从地面往上每节的高度(单位:尺)为a1,a2,a3,…,a30,则{an}是以a1=0.5为首项,d1=0.03为公差的等差数列,设从地面往上每圈的周长(单位:尺)为b1,b2,b3,…,b30,则{bn}是以b1=1.3为首项,d2=-0.013为公差的等差数列,其中n∈N*,且n≤30.故所求行程是30×0.5+×0.03+30×1.3+×(-0.013)=61.395(尺).
13.解:(1)因为点(n,an)在直线2x-y-22=0上,所以2n-an-22=0,可得an=2n-22,
则a1=-20,且an+1-an=2,所以数列{an}是等差数列,所以Sn===n2-21n.
(2)方法一:数列{an}的通项公式为an=2n-22.当n≤10时,an<0;当n=11时,an=0;当n≥12时,an>0.所以当n=10或11时,Sn取得最小值,最小值为S10=S11=11a6=-110.
方法二:由(1)知Sn=n2-21n=-,∵n∈N*,∴当n=10或11时,Sn取得最小值,最小值为S10=S11=-110.
14.解:假设在第x层楼举行会议,则有x-1个人需要上楼,1个人在同层楼,20-x个人需要下楼,设总的不满意度为y,则y=[2+4+…+2(x-1)]+[1+2+…+(20-x)]=+=x(x-1)+=x2-x-x-10x++210=x2-x+210=+,又x∈N*,所以当x=7时,y取得最小值,所以会议应该在第7层楼举行.
15.A [解析] 设等差数列{an}的公差为d,由题意得,当n=6时,Sn取得最小值,所以a1<0,d>0,a6≤0,a7>0.若a6=a1+5d=0,则===4;若a6=a1+5d<0,a7=a1+6d>0,则-6<<-5,则===1+>4.故选A.
16.解:设等差数列{an}的公差为d.
(1)由解得即{an}的公差为3.
(2)因为a4=a1+3d=10,所以d=,又S7是数列{Sn}中最大的项,所以d=<0,得a1>10,
由即得
解得≤a1≤20,又a1∈Z,所以a1的可能取值是18,19,20.第2课时 等差数列的前n项和的最值与应用
【学习目标】
1.理解等差数列前n项和的性质.
2.会求等差数列前n项和的最值.
3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系,抽象出等差数列模型,并应用该模型解决相关问题.
◆ 知识点 等差数列的前n项和的最值
1.从二次函数的角度理解等差数列的前n项和
公式Sn=na1+可化成关于n的表达式:Sn= .当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次表达式,即点(n,Sn)在其相应的 函数的图象上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的一群孤立的点.
2.等差数列前n项和的最值
(1)利用邻项变号法:
当a1>0,d<0时,Sn有 值,使Sn取到最值的n可由不等式组 确定;
当a1<0,d>0时,Sn有 值,使Sn取到最值的n可由不等式组 确定.
(2)利用二次函数的最值:
Sn=n2+n,n∈N*,若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有 值;当d<0时,Sn有 值.当n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=7时,数列{an}的前n项和最大.( )
(2)若a1>0,d<0,则等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且最大值就是所有正项之和,也是所有非负项之和. ( )
(3)在数列{an}中,若a1=32,an+1=an-4,则前n项和Sn取得最大值时n的值有两个. ( )
◆ 探究点一 等差数列的前n项和的最值
[探索] 等差数列的前n项和都有最大值与最小值吗
例1 等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.
变式 (1)[2024·天津新华中学高二月考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,an+an+2=2an+1,且a1=13,a2=11,则当Sn取得最大值时,n= ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
(2)(多选题)已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=S9,则 ( )
A.a7>0 B.Sn的最大值为S7
C.S14>0 D.S13>0
[素养小结]
求等差数列前n项和最值的常用思路:
(1)利用等差数列的增减性,求出其正、负转折项,便可求得前n项和的最值;
(2)利用性质求出其正、负转折项,便可求得前n项和的最值;
(3)利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数,且A≠0)为关于n的二次函数,结合二次函数的性质求最值.
◆ 探究点二 等差数列前n项和的实际应用
例2 为鼓励应届毕业大学生自主创业,国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市,初期投入为72万元,经营后每年的总收入为50万元,并且第n年的超市维护和工人工资等费用为an万元,其中{an}是首项为12,公差为4的等差数列.
(1)该超市第几年开始盈利
(2)该超市经营多少年时年平均盈利最大 最大是多少
变式 (1)据有关文献记载,我国古代一座九层塔共挂了126盏灯,且相邻两层中的下一层灯的盏数比上一层灯的盏数都多n(n为常数),底层灯的盏数是顶层灯的盏数的13倍,则该塔的底层共有灯 ( )
A.39盏 B.42盏
C.26盏 D.13盏
(2)(多选题)我国古代某数学专著里有一段叙述:“今有良马和驽马发长安至齐,良马初日行一百九十三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,九日后二马相逢.”其大意为:今有良马和驽马从长安出发到齐国,良马第一天走193里,以后每天比前一天多走13里;驽马第一天走97里,以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国,再返回迎接驽马,9天后两马相遇.下列结论正确的是 ( )
A.长安与齐国两地相距1530里
B.3天后,两马之间的距离为328.5里
C.良马从第6天开始返回迎接驽马
D.8天后,两马之间的距离为377.5里
[素养小结]
(1)解决与等差数列前n项和有关的应用题的关键是构造合适的等差数列.
(2)遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,抽象出数列的模型,并用有关知识解决相关的问题,是数学建模的核心素养的体现.第2课时 等差数列的前n项和的最值与应用
一、选择题
1.已知等差数列{an}的通项公式为an=24-3n,则该数列的前n项和Sn取得最大值时,n=( )
A.7 B.8 C.7或8 D.9
2. 一物体从1960米的高空降落,如果第1秒降落4.90米,以后每秒比前一秒多降落9.80米,那么落到地面所需要的时间为 ( )
A.20秒 B.21秒 C.19秒 D.22秒
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-9,公差d=2,则Sn的最小值为 ( )
A.-45 B.-35
C.-25 D.-15
4.[2024·苏州吴江中学高二月考] 已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=156,a2+a4+a6=147,{an}的前n项和为Sn,则使得Sn取得最大值的n的值为 ( )
A.18 B.19 C.20 D.21
5.[2024·河北邢台高二月考] 按照小方的阅读速度,他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日,他开始阅读《巴黎圣母院》,当天他读了1个小时,从第二天开始,他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟,则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为 ( )
A.2023年11月12日
B.2023年11月13日
C.2023年11月14日
D.2023年11月15日
6.等差数列{an}中,a5<0,a6>0,且a6>|a5|,Sn是数列{an}的前n项和,则下列说法正确的是 ( )
A.S1,S2,S3均小于0,S4,S5,S6,…均大于0
B.S1,S2,S3,S4,S5均小于0,S6,S7,…均大于0
C.S1,S2,…,S9均小于0,S10,S11,…均大于0
D.S1,S2,…,S11均小于0,S12,S13,…均大于0
7.已知数列{an}的前n项和Sn=pn2+qn+r(p,q,r为常数),则“{an}为递增的等差数列”是“p>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.(多选题)设{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8则下列结论正确的是 ( )
A.公差d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.S6与S7均为Sn的最大值
9.(多选题)[2024·武汉武昌实验中学高二月考] 首项为正数,公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,则下列说法中正确的是 ( )
A.若S10=0,则a5>0,a6<0
B.若S4=S12,则使Sn>0的最大的n为15
C.若S15>0,S16<0,则{Sn}中的最大项为S7
D.若S8二、填空题
10.若当且仅当n=8时,等差数列{an}的前n项和Sn取得最大值,则数列{an}的通项公式可以是 .(写出满足题意的一个通项公式即可)
11.已知等差数列{an}中,|a5|=|a14|,且公差d<0,则其前n项和取得最大值时n的值为 .
12.《张邱建算经》是我国古代数学史上的杰作,该书中有首古民谣记载了一个数列问题:“南山一棵竹,竹尾风割断,剩下三十节,一节一个圈,头节高五寸①,头圈一尺三②,逐节多三分③,逐圈少分三④,一蚁往上爬,遇圈则绕圈.爬到竹子顶,行程是多远 ”此民谣提出的问题的答案为 尺.(注释:①第1节的高度为0.5尺;②第一圈的周长为1.3尺;③每节比其下面的一节多0.03尺;④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)
三、解答题
13.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,点(n,an)在直线2x-y-22=0上.
(1)求Sn;
(2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值.
14.某写字楼共20层,由于电梯故障,大楼管理部门需要召集每层楼中的一个负责人开会,已知每层楼中都设有一个会议室,假设与会者每向下走一层的不满意度为1,每向上走一层的不满意度为2,举行会议的这一层楼与会者的不满意度为0,为使所有与会者的不满意度之和最小,会议应该在第几层楼举行
15.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若对任意的n∈N*,均有S6≤Sn成立,则的值不可能为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
16.[2024·江苏南通高二期中] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4=10.
(1)若S20=590,求{an}的公差;
(2)若a1∈Z,且S7是数列{Sn}中最大的项,求a1所有可能的值.(共55张PPT)
4.2 等差数列
4.2.2 等差数列的前项和公式
第2课时 等差数列的前 项和的最值与应用
探究点一 等差数列的前项和的最值
探究点二 等差数列前项和的实际应用
【学习目标】
1.理解等差数列前 项和的性质.
2.会求等差数列前 项和的最值.
3.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系,抽象出等差数列模型,并应用
该模型解决相关问题.
知识点 等差数列的前 项和的最值
1.从二次函数的角度理解等差数列的前 项和
公式可化成关于的表达式:________________.当
时,关于的表达式是一个常数项为零的二次表达式,即点 在其相应的
______函数的图象上,这就是说等差数列的前项和公式是关于 的二次函数,它的
图象是抛物线 上横坐标为正整数的一群孤立的点.
二次
2.等差数列前 项和的最值
（1）利用邻项变号法:
当,时,有______值,使取到最值的 可由不等式组_ _________确定;
当,时,有______值,使取到最值的 可由不等式组_ _________确定.
最大
最小
（2）利用二次函数的最值：
,，若,则从二次函数的角度看:当时, 有
______值;当时,有______值.当取最接近对称轴的正整数时, 取到最值.
最小
最大
【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若等差数列满足，，则当 时，数
列的前 项和最大.( )
×
[解析] 因为，，所以 ，
，所以当时，数列的前 项和最大.
（2）若,，则等差数列的前项和 有最大值，且最大值就是
所有正项之和，也是所有非负项之和.( )
√
[解析] 若,,则数列 的前几项为非负数，从某项开始为负数，所
以等差数列的前项和 有最大值，且最大值就是所有正项之和，也是所有
非负项之和.
（3）在数列中，若，，则前项和 取得最大值时
的值有两个.( )
√
[解析] ，是公差为的等差数列，
又 ,.
令，得，
又, 当 或9时， 取得最大值.
探究点一 等差数列的前 项和的最值
［探索］ 等差数列的前 项和都有最大值与最小值吗
解：若等差数列的公差，则该数列的前 项和有最小值，没有最大值；
若等差数列的公差，则该数列的前 项和有最大值，没有最小值.
所以等差数列的前 项和不是都有最大值与最小值.
例1 等差数列的前项和为，若，，求 的最大值.
解：方法一：设等差数列的公差为 ,则由， ，
得 ，解得 ，
.
由二次函数的性质得，当时， 取得最大值169.
方法二：先求出公差 （同方法一），则 .
由得 即，
当时， 取得最大值,且 .
方法三：，， 公差，
前项和为关于 的二次表达式，
借助相应的二次函数图象，如图所示，
则当时， 取得最大值.
由方法一知， .
方法四：，， 公差 ，
，
即，则,，的最大值为.
由方法一知 ， .
变式（1） [2024·天津新华中学高二月考]已知数列的前项和为 ，
，且，，则当取得最大值时， ( )
A
A.7 B.8 C.9 D.10
[解析] 方法一：因为，所以数列 为等差数列，设等差数
列的公差为，则，所以数列 的通项公式为
.
令，解得 ，所以当,时，，
当,时，，所以当时， 取得最大值.故选A.
方法二：因为，所以数列为等差数列，
设等差数列 的公差为，则，
所以数列 的通项公式为 ，
所以,
所以当时， 取得最大值.故选A.
（2）（多选题）已知递减的等差数列的前项和为， ，则 ( )
ABD
A. B.的最大值为 C. D.
[解析] 因为，所以 ，所以，
又等差数列为递减数列，所以公差，所以, ，故A，B正确.
， ，故C错误，D正确.故选 .
［素养小结］
求等差数列前 项和最值的常用思路：
（1）利用等差数列的增减性，求出其正、负转折项，便可求得前 项和的最值；
（2）利用性质求出其正、负转折项，便可求得前 项和的最值；
（3）利用等差数列的前项和，为常数，且为关于
的二次函数，结合二次函数的性质求最值.
探究点二 等差数列前 项和的实际应用
例2 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息
优惠政策.现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后
每年的总收入为50万元，并且第年的超市维护和工人工资等费用为 万元，其
中 是首项为12，公差为4的等差数列.
（1）该超市第几年开始盈利？
解：设该超市前年的总利润为 万元，则
.
由 ，得，解得，
又 ，所以该超市第3年开始盈利.
（2）该超市经营多少年时年平均盈利最大？最大是多少？
解：由（1）可知，当 时该超市盈利.
因为 ，当且仅当
，即 时，等号成立，所以该超市经营6年时年平均盈利最大，最大为
16万元.
变式（1） 据有关文献记载，我国古代一座九层塔共挂了126盏灯，且相邻两
层中的下一层灯的盏数比上一层灯的盏数都多为常数 ，底层灯的盏数是顶
层灯的盏数的13倍，则该塔的底层共有灯( )
C
A.39盏 B.42盏 C.26盏 D.13盏
[解析] 依题意，九层塔从顶层到底层灯的盏数构成等差数列， ，
，且.
记数列的前项和为 ，于是得，
解得，所以 ，所以该塔的底层共有26盏灯.
（2）（多选题）我国古代某数学专著里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安
至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半
里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为：今有良马和驽马从
长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一
天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天
后两马相遇.下列结论正确的是( )
AB
A.长安与齐国两地相距1530里 B.3天后，两马之间的距离为328.5里
C.良马从第6天开始返回迎接驽马 D.8天后，两马之间的距离为377.5里
[解析] 设良马第天走里，驽马第天走里，则 ，
，， .良马这9天共走了
（里），驽马这9天共走了（里），
故长安与齐国两地相距 （里），A正确；
3天后，良马共走了 （里），驽马共走了
（里），故它们之间的距离为328.5里，B正确；
良马前6天共走了（里）， ，
故良马行走6天还未到达齐国，C不正确；
良马前7天共走了 （里）， ，则良马从
第7天开始返回迎接驽马，故8天后，两马之间的距离即为两马第9天行走的距离
之和，由 ，知8天后，两马之间的
距离为390里，D不正确.故选 .
［素养小结］
（1）解决与等差数列前 项和有关的应用题的关键是构造合适的等差数列.
（2）遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的
模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现.
杨辉三角中的数列：
杨辉三角，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中
出现.在欧洲，帕斯卡 在1654年发现这一规律，所以这个表又叫作
帕斯卡三角.
（1）最外层的数字始终是1，是常数列.
（2）第二层是自然数列.
（3）第三层是三角形数列.
（4）三角形数列相邻数字相加可得正方形数列.
（5）可以从杨辉三角中找到斐波那契数列：将各行数字左对齐，其右上到左下
对角线数字的和构成斐波那契数列.1，1，， ，
，，， ，
，， .
1.等差数列前 项和的最值
设等差数列的首项为，公差为 ，则
（1）当，时，有最大值 ，无最小值；
（2）当，时，数列 只有前面的有限项为非负数，从某项开始其
余所有项均为负数，所以 有最大值，无最小值；
（3）当，时，数列 只有前面的有限项为负数，从某项开始其余
所有项均为非负数，所以 有最小值，无最大值；
（4）当，时，有最小值 ，无最大值；
（5）当时，数列 为常数列.
2.若数列的前项和公式为 ，
则当时,数列是一个以为首项,为公差的等差数列;当 时,数列
不是等差数列,但是从第二项起构成了以为首项,以 为公差的等差数列.
3.前 项和的性质的再补充
（1）,，为公差 ，
,，且 .
特别地，若，则；若， ，则
.
（2）由公式，得 ，因此数列
是等差数列，首项为，公差为等差数列的公差 的一半.
由等差数列的函数特性知，点 在同一条直线上.
，,, 且
.
1.求等差数列前项和 的最值的常用方法有两种:（1）利用二次函数的性质求
解;（2）明确数列中的正项与负项,用负项之和最小,正项之和最大来解决.
例1 （多选题）[2024·浙江湖州中学高二月考] 设等差数列的公差为 ，前
项和为.若,, ，则下列结论正确的是( )
BCD
A.数列是递增数列 B.
C. D.，，， ,中最大的是
[解析] 依题意得， ，即
，，即，，所以.
由 ，得，由解得 ，
故C正确.
因为，所以等差数列 是递减数列，故A不正确.
，故B正确.
当时，，当时， ，所以,,, ,中最大的是，
故D正确.故选 .
例2 [2024·福建莆田高二期中] 在等差数列中，已知, .
（1）求数列 的通项公式；
解:设等差数列的公差为，因为, ，所以
解得所以 .
（2）求的最大值及对应的 的值.
解:方法一：由（1）可得，所以当 或3
时， 取得最大值，
最大值为 .
方法二：由知数列是递减数列.
，令且 ，解得，
所以当或时， 取得最大值，最大值为
.
2.等差数列前 项和公式的实际应用：建立等差数列的模型求和时,要根据题意找
准首项、公差和项数或者首项、末项和项数.
例3 某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在
洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋
战外,还需调用20辆同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同
型号翻斗车目前只有1辆投入使用,其他翻斗车每隔20分钟能有1辆到达,一共可调
集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线
解:从第1辆翻斗车投入工作算起,设各辆翻斗车工作的时间（单位:小时）依次为
,, , ，
由题意可知,此数列为等差数列,且,公差 ,则25辆翻斗车在24小时内
的总工作时间为 （小时）,
而构筑第二道防线需要的工作时间为 （小时）.
, 在24小时内能构筑成第二道防线.
练习册
一、选择题
1.已知等差数列的通项公式为,则该数列的前项和 取得最大
值时， ( )
C
A.7 B.8 C.7或8 D.9
[解析] 方法一:由知，当时,,且,当 时,
,故当或时， 取得最大值.
方法二:由,得 ,则
.故当 或
时, 取得最大值.
2.一物体从1960米的高空降落,如果第1秒降落4.90米,以后每秒比前一秒多降落9.
80米,那么落到地面所需要的时间为( )
A
A.20秒 B.21秒 C.19秒 D.22秒
[解析] 物体在降落过程中,每一秒降落的距离（单位：米）构成首项为 ,公差
为9.80的等差数列.
设物体经过秒后降落到地面,则 ,
可得 ,所以落到地面所需要的时间为20秒.故选A.
3.已知等差数列的前项和为，若，公差，则 的最小值为
( )
C
A. B. C. D.
[解析] 由题知，令 ，可得
，
又，所以当时，，当时，，
所以当 时，取得最小值，最小值为
.故选C.
4.[2024·苏州吴江中学高二月考]已知为等差数列， ，
，的前项和为，则使得取得最大值的 的值为 ( )
C
A.18 B.19 C.20 D.21
[解析] 设等差数列的公差为，由， ，
两式相减可得，则
， ，
故.
当 取得最大值时，有即解得，
又， ．故选C.
5.[2024·河北邢台高二月考]按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需
820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，
从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴
黎圣母院》的日期为( )
C
A.2023年11月12日 B.2023年11月13日
C.2023年11月14日 D.2023年11月15日
[解析] 根据题意，从2023年10月26日开始到读完的前一天，他每天阅读《巴黎
圣母院》的时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为60，公差为 ，
则由，且，得 ，所以小方读此书
20天恰好可以读完，故他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为2023年11月14日.故
选C.
6.等差数列中，，，且，是数列的前 项和，
则下列说法正确的是 ( )
C
A.,,均小于0，,,, 均大于0
B.,,，,均小于0，,, 均大于0
C.,, ,均小于0，,, 均大于0
D.,, ,均小于0，,, 均大于0
[解析] ，，且，故 ，故数列的前5项都为
负数，，， ，由等差数列的性质及求和公式可得
，，由公差 可
知,, ,均小于0，,, 均大于0.故选C.
7.已知数列的前项和（,,为常数），则“ 为递增
的等差数列”是“ ”的( )
A
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] 设等差数列的公差为，由等差数列的前 项和
，
类比表达式，有,, .
当为递增的等差数列时，有 ；
反之，当,时，例如，可得 ，
，则, ，
此时数列 从第二项开始才为递增的等差数列.
所以“为递增的等差数列”是“ ”的充分不必要条件.
故选A.
8.（多选题）设是等差数列，是其前项的和，且,
则下列结论正确的是( )
ABD
A.公差 B.
C. D.与均为 的最大值
[解析] 因为,，所以, ,
.
对于A，公差 ，所以A正确；
对于B， ，所以B正确；
对于C，，所以 ，所以C不正确；
对于D，由，可得数列为递减数列，又,， ,所以
，且和均为的最大值，所以D正确.故选 .
9.（多选题）[2024·武汉武昌实验中学高二月考] 首项为正数，公差不为0的等
差数列的前项和为 ，则下列说法中正确的是( )
ABD
A.若，则，
B.若，则使的最大的 为15
C.若，，则中的最大项为
D.若，则
[解析] 对于A，因为首项为正数，公差不为0，且，所以公差 ，
，即 ，根据等差数列的性质可得
，又，所以， ，故A正确；
对于B，因为，所以，所以 ，
又，所以，,所以 ，
，所以使的最大的 为15，故B正确；
对于C，因为，所以 ，又
，所以，所以，所以 中的
最大项为，故C错误；
对于D，因为，所以，又 ，
所以，即，故D正确.故选 .
二、填空题
10.若当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值，则数列 的
通项公式可以是___________________________.（写出满足题意的一个通项公
式即可）
（答案不唯一）
[解析] 当且仅当时，等差数列的前项和取得最大值， ,
,故 满足题意.
11.已知等差数列中，，且公差，则其前 项和取得最大
值时 的值为___.
9
[解析] 由等差数列的公差，知， ，所以
，故,，则数列的前项和取得最大值时 的值为9.
12.《张邱建算经》是我国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一个
数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸
，头圈一尺三，逐节多三分，逐圈少分三 ，一蚁往上爬，遇圈则绕圈.
爬到竹子顶，行程是多远 ”此民谣提出的问题的答案为_______尺.（注释：①第
1节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；
④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺）
61.395
[解析] 设从地面往上每节的高度（单位：尺）为，，， ， ，则
是以为首项， 为公差的等差数列，
设从地面往上每圈的周长（单位：尺）为，，， ，，则是以
为首项，为公差的等差数列，其中，且 .故所求
行程是 （尺）.
三、解答题
13.已知数列的前项和为，对任意，点 在直线
上.
（1）求 ；
解：因为点在直线上，所以 ，可得
，
则，且，所以数列 是等差数列，所以
.
（2）求的最小值及取得最小值时 的值.
解：方法一：数列的通项公式为.
当时， ；当时，；当时，.
所以当或11时， 取得最小值，最小值为 .
方法二：由（1）知，， 当 或
11时，取得最小值，最小值为 .
14.某写字楼共20层，由于电梯故障，大楼管理部门需要召集每层楼中的一个负
责人开会，已知每层楼中都设有一个会议室，假设与会者每向下走一层的不满
意度为1，每向上走一层的不满意度为2，举行会议的这一层楼与会者的不满意
度为0，为使所有与会者的不满意度之和最小，会议应该在第几层楼举行？
解：假设在第层楼举行会议，则有 个人需要上楼，1个人在同层楼，
个人需要下楼，设总的不满意度为，则
,
又，所以当时， 取得最小值，所以会议应该在第7层楼举行.
15.已知是等差数列的前项和，若对任意的，均有 成立，
则 的值不可能为( )
A
A.3 B.4 C.5 D.6
[解析] 设等差数列的公差为,由题意得，当时， 取得最小值，所以
,,,.
若,则 ;
若,,则 ,
则 .故选A.
16.[2024·江苏南通高二期中] 已知等差数列的前项和为，且 .
（1）若，求 的公差；
解:设等差数列的公差为 .
由解得即 的公差为3.
（2）若，且是数列中最大的项，求 所有可能的值.
解: 因为,所以，
又是数列 中最大的项，所以,得 ，
由即 得解得，
又，所以 的可能取值是18,19,20.
