第25章 概率初步 单元预习（含解析）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

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第25章 概率初步
一、选择题
1．若气象部门预报端午节当天下雨的概率是70%，下列说法正确的是（　　）
A．端午节当天下雨的可能性比较大
B．端午节当天一定不会下雨
C．端午节当天一定会下雨
D．端午节当天有70%的时间下雨
2．任意买一张电影票，座位号是2的倍数，此事件是（　　）
A．不可能事件 B．不确定事件
C．必然事件 D．以上结论都不正确
3．在英语单词rotation（旋转）中任意选择一个字母，字母为“t”的概率与字母为“o”的概率之和为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．下列事件发生的可能性最小的是（　　）
A．任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形
B．367人中至少有2人公历生日相同
C．投掷一枚骰子，朝上的点数大于4
D．抛掷一枚硬币三次，三次正面都朝上
6．甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为α，β，γ，θ．自由转动转盘，则下面说法错误的是（　　）
A．若α＞90°，则指针落在红色区域的概率大于0.25
B．若α＞β+γ+θ，则指针落在红色区域的概率大于0.5
C．若α﹣β＝γ﹣θ，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
D．若γ+θ＝180°，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
8．现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6，4，2．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（　　）
马匹等级 下等马 中等马 上等马
齐王 2 4 6
田忌 1 3 5
A． B． C． D．
10．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．某学校的初二（1）班，有男生20人，女生24人，其中男生有18人住宿，女生有20人住宿．现随机抽一名学生，则抽到一名走读女生的概率是　 　 ．
12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球　 　 个．
13．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，小明同学向一个如图所示的“赵爽弦图”的飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）．若飞镖板中直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是　 　 ．
14．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 　 　 ．
15．四张背面相同的卡片，分别标记有﹣1，﹣2，3，4的数字，洗匀后背面朝上，先从中抽取一张，把抽到的点数记为a，再从剩下的卡片中抽取一张，把抽到的数记为b，使得抛物线y＝ax2+bx+1的图象始终在x轴上方的概率为 　 　 ．
三、解答题
16．某生物制剂公司以箱养的方式培育一批新品种菌苗，每箱有40株菌苗．若某箱菌苗失活率大于10%，则需对该箱菌苗喷洒营养剂．某日工作人员随机抽检20箱菌苗，结果如下表：
箱数 6 2 5 4 2 1
每箱中失活菌苗株数 0 1 2 3 5 6
（1）抽检的20箱平均每箱有多少株失活菌苗？
（2）该日在这批新品种菌苗中随机抽取一箱，记事件A为：该箱需要喷洒营养剂．请估计事件A的概率．
17．随信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，甲和乙随机从“A微信”、“B支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．
（1）请用列表法或画树状图法，求甲和乙所有可能出现的支付方式；
（2）求甲和乙恰好都选择“微信”支付的概率．
18．为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名，
（1）该班男生“小刚被抽中”是 　 　 事件（填“不可能”“必然”“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 　 　 ．
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率．
19．若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．
（1）请用列表法或树状图写出所有的等可能性结果，写出所有个位数字是6的“两位递增数”；
（2）求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被5整除的概率．
20．如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘A，B，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转）．
（1）请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果．
（2）若将转盘A停止后指针所指的数字记为m，转盘B停止后指针所指的数字记为n．
①求点（m，n）在函数y＝x+1图象上的概率．
②求m，n是方程x2﹣5x+6＝0的解的概率．
21．“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考查，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
第25章 概率初步
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若气象部门预报端午节当天下雨的概率是70%，下列说法正确的是（　　）
A．端午节当天下雨的可能性比较大
B．端午节当天一定不会下雨
C．端午节当天一定会下雨
D．端午节当天有70%的时间下雨
【答案】A
【分析】根据“概率”的意义进行判断即可．
【解答】解：A．明天下雨的概率是70%，即明天下雨的可能性是70%，也就是说端午节当天下雨的可能性比较大，因此选项A符合题意；
B．明天下雨的可能性比较大，与明天一定不会下雨是矛盾的，因此选项B不符合题意；
C．明天下雨的可能性是70%，并不代表明天一定会下雨，因此选项C不符合题意；
D．明天下雨的可能性是70%，也就是说明天下雨的可能性比较大，因此选项D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查概率的意义，理解概率的意义是正确判断的前提．
2．任意买一张电影票，座位号是2的倍数，此事件是（　　）
A．不可能事件 B．不确定事件
C．必然事件 D．以上结论都不正确
【答案】B
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【解答】解：任意买一张电影票，座位号是2的倍数，此事件是随机事件，
故选：B．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．在英语单词rotation（旋转）中任意选择一个字母，字母为“t”的概率与字母为“o”的概率之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据概率的对应得出字母为“t”的概率、字母为“o”的概率，再求和即可．
【解答】解：单词rotation中共8个字母，其中字母“t”有2个，字母“o”有2个，
所以任意选择一个字母，是“t”的概率与“o”的概率相等，都是，
所以，
故选：D．
【点评】本题考查概率的计算方法，理解概率的意义是解决问题的关键．
4．如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，则小球从F出口落出的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图可知，小球最终落出的点共有E、F、G、H4种结果，小球从F出口落出的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H4种结果，小球从F出口落出的结果有1种，
∴小球从F出口落出的概率是：；
故选：C．
【点评】此题考查的是树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．下列事件发生的可能性最小的是（　　）
A．任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形
B．367人中至少有2人公历生日相同
C．投掷一枚骰子，朝上的点数大于4
D．抛掷一枚硬币三次，三次正面都朝上
【答案】D
【分析】分别求出各事件发生的可能性，再比较即可得到答案．
【解答】解：任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形的可能性为1；
367人中至少有2人公历生日相同的可能性为1；
投掷一枚骰子，朝上的点数大于4的可能性为；
抛掷一枚硬币三次，三次正面都朝上的可能性为（）3，
∵1，
∴可能性最小的是抛掷一枚硬币三次，三次正面都朝上；
故选：D．
【点评】本题考查可能性的大小，解题的关键是分别求出各事件发生的可能性．
6．甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色；乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、绿色．从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，取出的两张卡片中至少有一张是红色的结果有4个，
∴取出的两张卡片中至少有一张是红色的概率为，
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．如图，转盘的红、黄、蓝、紫四个扇形区域的圆心角分别记为α，β，γ，θ．自由转动转盘，则下面说法错误的是（　　）
A．若α＞90°，则指针落在红色区域的概率大于0.25
B．若α＞β+γ+θ，则指针落在红色区域的概率大于0.5
C．若α﹣β＝γ﹣θ，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
D．若γ+θ＝180°，则指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5
【答案】C
【分析】根据概率公式计算即可得到结论．
【解答】解：A、∵α＞90°，
∴0.25，故A正确；
B、∵α+β+γ+θ＝360°，α＞β+γ+θ，
∴0.5，故B正确；
C、∵α﹣β＝γ﹣θ，
∴α+θ＝β+γ，
∵α+β+γ+θ＝360°，
∴α+θ＝β+γ＝180°，
∴0.5，
∴指针落在红色或紫色区域的概率和为0.5，故C错误；
D、∵γ+θ＝180°，
∴α+β＝180°，
∴0.5，
∴指针落在红色或黄色区域的概率和为0.5，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．
8．现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把4张卡片分别记为：A、B、C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的结果有2种，
∴两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率为，
故选：A．
【点评】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
9．看了《田忌赛马》故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马综合指标数如表，每匹马只赛一场，综合指标的两数相比，大数为胜，三场两胜则赢，已知齐王的三匹马出场顺序为6，4，2．若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为（　　）
马匹等级 下等马 中等马 上等马
齐王 2 4 6
田忌 1 3 5
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的三匹马出场顺序为6，4，2时，田忌的马按1，5，3的顺序出场，田忌才能赢得比赛，
当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下：
双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，
∴田忌能赢得比赛的概率为．
故选：B．
【点评】此题考查的是用列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小灯泡发光．现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为；
故选：B．
【点评】本题考查了概率的公式，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率的值．
二、填空题
11．某学校的初二（1）班，有男生20人，女生24人，其中男生有18人住宿，女生有20人住宿．现随机抽一名学生，则抽到一名走读女生的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
【解答】解：共44名学生，其中女生24人，有20人住宿，即4人走读．故抽到一名走读女生的概率是．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是弄清题意，舍去题目中无关的条件，再根据概率公式解答即可．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球　3　 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用绿球个数÷总数＝0.2，进而得出答案．
【解答】解：设绿球的个数为x，
根据题意，得：0.2，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原分式方程的解，
即袋中有绿球3个，
故答案为：3
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，正确掌握频率求法是解题关键．
13．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，小明同学向一个如图所示的“赵爽弦图”的飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）．若飞镖板中直角三角形的两条直角边的长分别为1和2，则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是　　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出大小正方形的面积，根据面积比即可解决问题；
【解答】解：由题意大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，
∴投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是．
故答案为．
【点评】本题考查概率、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是 　　 ．
【答案】．
【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】解：由题意得，
共有2×3＝6种等可能情况，其中能打开锁的情况有2种，
故一次打开锁的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率，熟练运用概率公式计算是解题的关键．
15．四张背面相同的卡片，分别标记有﹣1，﹣2，3，4的数字，洗匀后背面朝上，先从中抽取一张，把抽到的点数记为a，再从剩下的卡片中抽取一张，把抽到的数记为b，使得抛物线y＝ax2+bx+1的图象始终在x轴上方的概率为 　　 ．
【答案】．
【分析】根据题意列出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有12种等可能的情况数，其中使得抛物线y＝ax2+bx+1的图象始终在x轴上方的有5种，
则使得抛物线y＝ax2+bx+1的图象始终在x轴上方的概率为．
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
16．某生物制剂公司以箱养的方式培育一批新品种菌苗，每箱有40株菌苗．若某箱菌苗失活率大于10%，则需对该箱菌苗喷洒营养剂．某日工作人员随机抽检20箱菌苗，结果如下表：
箱数 6 2 5 4 2 1
每箱中失活菌苗株数 0 1 2 3 5 6
（1）抽检的20箱平均每箱有多少株失活菌苗？
（2）该日在这批新品种菌苗中随机抽取一箱，记事件A为：该箱需要喷洒营养剂．请估计事件A的概率．
【答案】（1）2；（2）0.15．
【分析】（1）根据加权平均数的公式计算即可求解；
（2）让菌苗失活率大于10%的箱数除以总箱数即为所求的概率．
【解答】解：（1）2（株）．
故抽检的20箱平均每箱有2株失活菌苗；
（2）40×10%＝4（株），
0.15．
即事件A的概率约为0.15．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．也考查了加权平均数．
17．随信息技术的迅猛发展，移动支付已成为一种常见的支付方式．在一次购物中，甲和乙随机从“A微信”、“B支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付．
（1）请用列表法或画树状图法，求甲和乙所有可能出现的支付方式；
（2）求甲和乙恰好都选择“微信”支付的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）画树状图即可；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲和乙恰好都选择“微信”支付的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）把“银行卡”支付方式记为C，
画树状图如下：
甲和乙所有可能出现的支付方式共有9种；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中甲和乙恰好都选择“微信”支付的结果有1种，
∴甲和乙恰好都选择“微信”支付的概率为．
【点评】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．为创建“全国文明城市”，周末团委组织志愿者进行宣传活动．班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签方式确定2名女生去参加．抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下姓名，
（1）该班男生“小刚被抽中”是 　不可能　 事件（填“不可能”“必然”“随机”）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 　　 ．
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，求出“小惠被抽中”的概率．
【答案】（1）不可能；；
（2）．
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；
（2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，第一次抽取卡片“小悦未抽中”的概率为．
故答案为：不可能；；
（2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，列表如下：
A B C D
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，其中小惠被抽中的有6种结果，
所以小惠被抽中的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”（如13，35，56等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．
（1）请用列表法或树状图写出所有的等可能性结果，写出所有个位数字是6的“两位递增数”；
（2）求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被5整除的概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）画树状图展示所有15种等可能的结果数，写出所有个位数字是6的“两位递增数”；
（2）找出“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被5整除的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）根据题意画树状为：
所有个位数字是6的“两位递增数”是16，26，36，46，56这5个；
（2）共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被5整除的结果数为5，
所以个位数字与十位字之积能被5整除的概率．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．如图，两个可以自由转动的转盘均被三等分，分别转动转盘A，B，两个转盘停止后，观察两个指针所指的数字（若指针指在分界线，则重转）．
（1）请用画树状图法或列表法表示所有可能出现的结果．
（2）若将转盘A停止后指针所指的数字记为m，转盘B停止后指针所指的数字记为n．
①求点（m，n）在函数y＝x+1图象上的概率．
②求m，n是方程x2﹣5x+6＝0的解的概率．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据题意列表即可；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中点（m，n）在函数y＝x+1图象上的结果有3种，再由概率公式求解即可；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中m，n是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）列表如下：
1 2 3
2 （1，2） （2，2） （3，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4）
所有等可能的情况有9种；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中点（m，n）在函数y＝x+1图象上的结果有3种，
即（1，2），（2，3），（3，4），
∴点（m，n）在函数y＝x+1图象上的概率为；
（2）由（1）可知，共有9种等可能的结果，其中m，n是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2种，
即m＝2，n＝3或m＝3，n＝2，
∴m，n是方程x2﹣5x+6＝0的解的概率为．
【点评】本题考查的是用列表法求概率、一元二次方程的解以及一次函数图象上点的坐标特征．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．“五一”假期，黔西南州某公司组织部分员工分别到甲、乙、丙、丁四地考查，公司按定额购买了前往各地的车票，如图所示是用来制作完整的车票种类和相应数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
（1）若去丁地的车票占全部车票的10%，请求出去丁地的车票数量，并补全统计图（如图所示）．
（2）若公司采用随机抽取的方式发车票，小胡先从所有的车票中随机抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同、均匀），那么员工小胡抽到去甲地的车票的概率是多少？
（3）若有一张车票，小王和小李都想去，决定采取摸球的方式确定，具体规则：“每人从不透明袋子中摸出分别标有1、2、3、4的四个球中摸出一球（球除数字不同外完全相同），并放回让另一人摸，若小王摸得的数字比小李的小，车票给小王，否则给小李．”试用列表法或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据丁地车票的百分比求出甲，乙，丙地车票所占的百分比之和，用甲，乙，丙车票之和除以百分比求出总票数，得出丁车票的数量，补全条形统计图即可；
（2）根据甲，乙，丙，丁车票总数，与甲地车票数为20张，即可求出所求的概率；
（3）列表得出所有等可能的情况数，求出两人获胜概率，比较即可得到公平与否．
【解答】解：（1）根据题意得：（20+40+30）÷（1﹣10%）＝100（张），
则丁地车票数为100﹣（20+40+30）＝10（张），补全图形，如图所示：
（2）总票数为100张，甲地票数为20张，
则员工小胡抽到去甲地的车票的概率为；
（3）列表如下：
1 2 3 4
1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1）
2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2）
3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3）
4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4）
所有等可能的情况数有16种，其中小王掷得数字比小李掷得的数字小的有6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
∴P小王掷得的数字比小李小，
则P小王掷得的数字不小于小李＝1，
则这个规则不公平．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
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