第22章 二次函数 单元预习（含解析）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

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第22章 二次函数
一．选择题（共10小题，共30分）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2x2﹣1 D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
3．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
4．（3分）对于二次函数y＝3x2+2，下列说法错误的是（　　）
A．最小值为2
B．图象与y轴没有公共点
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．其图象的对称轴是y轴
5．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
6．（3分）如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为2米，则水面下降（　　）米．
A．1米 B．2米 C．3米 D．10米
7．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝﹣3
9．（3分）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二．填空题（共6小题，共18分）
11．（3分）抛物线y＝2x2+4x﹣1顶点坐标是 　 　 ．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
y … m n m 1 0 …
由表可知，抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 　 　 ．
13．（3分）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行 　 　 秒才能停下来．
14．（3分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是yx2x．则他将铅球推出的距离是 　 　 m．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 　 　 ．
16．（3分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）已知函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数；
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．（8分）已知抛物线y＝﹣x2﹣6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
19．（8分）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式．
（2）若墙长a＝30米，求S的最大值．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）与直线l：y＝x﹣1．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 　 　 ；
（2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上；
（3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？
22．（10分）如图，一小球M（看作一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数yx刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为A，求A点的坐标；
（3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
23．（10分）大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？
24．（12分）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
第22章 二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，共30分）
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝2x2﹣1 D．
【答案】C
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：A、分母中含字母，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
C、y＝2x2﹣1是二次函数，故此选项符合题意；
D、y不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（1，3）
【答案】C
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝（x﹣1）2﹣3，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣3）．
故选：C．
【点评】此题考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
3．（3分）抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（　　）
A．y＝3（x﹣1）2﹣2 B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2 D．y＝3（x﹣1）2+2
【答案】A
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
【解答】解：抛物线y＝3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
4．（3分）对于二次函数y＝3x2+2，下列说法错误的是（　　）
A．最小值为2
B．图象与y轴没有公共点
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．其图象的对称轴是y轴
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案．
【解答】解：A、开口向上有最小值2，正确；
B、图象与y轴交于点（0，2），错误；
对称轴为y轴，开口向上，所以当x＜0时，y随着x的增大而减小，C、D正确，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，了解二次函数的性质是解决本题的关键．
5．（3分）已知抛物线y＝2（x﹣1）2+1经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【答案】B
【分析】利用二次函数的对称性和增减性即可判断．
【解答】解：由y＝2（x﹣1）2+可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵抛物线y＝2（x﹣1）2+1经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，
∴（，y3）关于直线x＝1的对称点为（，y3），
∵﹣2，
∴y1＞y2＞y3，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．（3分）如图所示是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为2米，则水面下降（　　）米．
A．1米 B．2米 C．3米 D．10米
【答案】A
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再把x代入抛物线解析式得出水面高度，即可得出答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，
由题意可得：顶点坐标为（0，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2，
把点坐标（﹣2，﹣2）代入得出：a，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2，
当x时，y＝﹣0.5x2＝﹣3，
所以水面高度下降3﹣2＝1（米），
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系，从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
7．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2+a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1），则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝9，x2＝﹣3
C．x1＝1，x2＝9 D．x1＝1，x2＝﹣3
【答案】D
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【解答】解：由图象可知，关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解，就是抛物线y＝ax2（a≠0）与直线y＝bx+c（b≠0）的两个交点坐标分别为A（﹣3，9），B（1，1）的横坐标，即x1＝1，x2＝﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设AE＝x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题需先设正方形的边长为m，然后得出y与x、m是二次函数关系，从而得出函数的图象．
【解答】解：设正方形的边长为m，则m＞0，
∵AE＝DH＝x，
∴AH＝m﹣x，
∵EH2＝AE2+AH2，
∴y＝x2+（m﹣x）2，
y＝x2+x2﹣2mx+m2，
y＝2x2﹣2mx+m2，
＝2[（xm）2m2]，
＝2（xm）2m2，
∴y与x的函数图象是D．
故选：D．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象顶点为P（1，m），经过点A（2，1）．有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1时，y随x的增大而减小；⑤对于任意实数t，总有at2+bt≤a+b，其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函数图象的性质确定a、b、c的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图象即可解答；⑤运用作差法判定即可．
【解答】解：①由抛物线的开口方向向下，
则a＜0，故①正确；
②∵抛物线的顶点为P（1，m），
∴1，b＝﹣2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故②错误；
③∵抛物线经过点A（2，1），
∴1＝a 22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正确；
④∵抛物线的顶点为P（1，m），且开口方向向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，即④正确；
⑤∵a＜0，
∴at2+bt﹣（a+b）
＝at2﹣2at﹣a+2a
＝at2﹣2at+a
＝a（t2﹣2t+1）
＝a（t﹣1）2≤0，
∴at2+bt≤a+b，则⑤正确
综上，正确的共有4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，灵活运用二次函数图象的性质以及掌握数形结合思想成为解答本题的关键．
二．填空题（共6小题，共18分）
11．（3分）抛物线y＝2x2+4x﹣1顶点坐标是 　（﹣1，﹣3）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】将抛物线解析式配方成顶点式即可得出答案．
【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴抛物线y＝2x2+4x﹣1的顶点坐标是（﹣1，﹣3），
故答案为：（﹣1，﹣3）．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练将抛物线的一般式配方成顶点式．
12．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
y … m n m 1 0 …
由表可知，抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 　（﹣8，0）　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格找出抛物线对称轴，然后结合抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），计算出抛物线与x轴的另一个交点坐标．
【解答】解：由图表可知，横坐标x＝﹣4和x＝0对应的纵坐标均为m，
则抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为2×（﹣2）﹣4＝﹣8，
则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣8，0），
故答案为：（﹣8，0）．
【点评】本题考查了抛物线的对称性，根据表格判断出抛物线的对称轴是解题关键．
13．（3分）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离S（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是S＝﹣0.25t2+8t，无人机着陆后滑行 　16　 秒才能停下来．
【答案】见试题解答内容
【分析】飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的t值．
【解答】解：由题意得，
S＝﹣0.25t2+8t
＝﹣0.25（t2﹣32t+256﹣256）
＝﹣0.25（t﹣16）2+64，
∵﹣0.25＜0，
∴t＝16时，飞机滑行的距离最大，
即当t＝16秒时，飞机才能停下来．
故答案为：16．
【点评】本题考查了二次函数的应用，能熟练的应用配方法得到顶点式是解题关键．
14．（3分）如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是yx2x．则他将铅球推出的距离是 　10　 m．
【答案】见试题解答内容
【分析】成绩就是当高度y＝0时x的值，所以解方程可求解．
【解答】解：当y＝0时，x2x0，
解之得x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
所以推铅球的距离是10米．
【点评】此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 　1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD＝AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD＝AC，
而AC⊥x轴，
∴AC的长等于点A的纵坐标，
当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，
∴对角线BD的最小值为1．
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．
16．（3分）若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 　﹣1或2或1　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b2﹣4ac＝0，进而解方程得出答案．
【解答】解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，
当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0，
解得：a1＝﹣1，a2＝2，
当函数为一次函数时，a﹣1＝0，解得：a＝1．
故答案为：﹣1或2或1．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）已知函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数；
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）m＝﹣1；（2）开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣3）．
【分析】（1）根据形如函数y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案．
（2）化成顶点是，根据二次函数的性质得到开口方向、对称轴及顶点坐标．
【解答】解：（1）由题意：，
解得m＝﹣1，
∴m＝﹣1时，函数y＝（m﹣1）4x﹣5是二次函数．
（2）∵二次函数的解析式为y＝﹣2x2+4x﹣5＝﹣2（x﹣1）2﹣3，
∴这个二次函数的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣3）．
【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数；也考查了二次函数的性质．
18．（8分）已知抛物线y＝﹣x2﹣6x+7与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）通过解方程﹣x2﹣6x+7＝0得点A、B的坐标；
（2）先确定C点坐标，然后根据三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣6x+7＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣7，0），点B的坐标为（1，0）；
（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣6x+7＝7，
∴C点坐标为（0，7），
∴△ABC的面积（1+7）×7＝28．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
19．（8分）某小区计划建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为a的墙，另三边用总长为79米的篱笆围成，围成的花圃是如图所示的矩形ABCD，并在BC边上留有一扇1米宽的门．设AD边的长为x米，矩形花圃的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式．
（2）若墙长a＝30米，求S的最大值．
【答案】（1）S与x之间的函数关系式为S＝﹣x2+40x；（2）墙长a＝30米，S的最大值为750平方米．
【分析】（1）设AD边的长为x米，则AB边长为（40x）米，然后利用矩形的面积公式列出函数关系式即可；
（2）利用二次函数的性质求最大值即可．
【解答】解：（1）设AD边的长为x米，则AB边长为（40x）米，
根据题意得：S＝（40x）xx2+40x，
∴S与x之间的函数关系式为Sx2+40x；
（2）由（1）知，Sx2+40x（x﹣40）2+800，
∵0，a＝30，
∴当x≤40时，S随x的增大而增大，
∴当x＝30时，S有最大值，最大值为750，
∴墙长a＝30米，S的最大值为750平方米．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）在同一坐标系中画出直线y＝x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；
（2）令y＝0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；
（3）画出图象，再根据图象直接得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点，
∴，
∴a，b，c＝﹣1，
∴二次函数的解析式为yx2x﹣1；
（2）当y＝0时，得x2x﹣1＝0；
解得x1＝2，x2＝﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0）；
（3）图象如图，
当一次函数的值大于二次函数的值时，x的取值范围是﹣1＜x＜4．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x轴的交点问题，是中档题，要熟练掌握．
21．（8分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）与直线l：y＝x﹣1．
（1）若抛物线的对称轴为直线x＝1，直接写出该抛物线的顶点坐标为 　（1，0）　 ；
（2）若抛物线的顶点为P，求证：点P在直线l上；
（3）问将抛物线向上平移多少个单位后与直线l有唯一公共点？
【答案】（1）（1，0）；
（2）证明过程见解答部分；
（3）将抛物线向上平移个单位后与直线l有唯一公共点，理由见解答．
【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，然后直接得到答案；
（2）将顶点P的坐标代入直线方程进行验证即可；
（3）联立方程组，转化为关于x的一元二次方程，利用一元二次方程的根的判别式符号进行判断．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴对称轴是直线x＝m．
又∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴m＝1，
∴该抛物线解析式为：y＝（x﹣1）2，
∴其顶点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）；
（2）证明：∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴点P的坐标为（m，m﹣1），
∵当x＝m时，y＝x﹣1＝m﹣1，
∴点P在直线l上；
（3）设将抛物线向上平移n个单位后与直线l有唯一公共点，
则平移后的抛物线解析式为y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1+n，
与直线l：y＝x﹣1联立，得，
消去y，并整理得，x2﹣（2m+1）x+m2+m+n＝0，
由Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m+n）＝0，
解得，n，
∴将抛物线向上平移个单位后与直线l有唯一公共点．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、二次函数与一次函数的交点问题，有一定的难度．
22．（10分）如图，一小球M（看作一个点）从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数yx刻画、若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题：
（1）求抛物线的表达式；
（2）小球落点为A，求A点的坐标；
（3）在斜坡OA上的B点有一棵树（树高看成线段且垂直于x轴），B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由．
【答案】（1）；
（2）A（7，）；
（3）小球M能飞过这棵树，理由见解答过程．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，把（0，0）代入即可得到答案；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）把x＝2分别代入和，即可得到答案．
【解答】解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（4，8），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，
把（0，0）代入得，0＝a（0﹣4）2+8，
解得：a，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解方程，得x1＝0，x2＝7，
当x＝7时，y，
所以A（7，）；
（3）当x＝2时，，6，
∵4+1＝5，6＞5，
∴小球M能飞过这棵树．
【点评】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
23．（10分）大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价x元每星期销售量为y件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论．
（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．
（3）列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题．
【解答】解：（1）y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700；
（2）设每星期利润为W元，
W＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，
当x≤45时，W随x的增大而增大，
∴x＝45时，W最大值＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750，
当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元；
（3）由题意：﹣10（x﹣50）2+4000≥3910，
令﹣10（x﹣50）2+4000＝3910，
解得：x＝53或47，
∴47≤x≤53，
∵y＝100+10（60﹣x）＝﹣10x+700．
170≤y≤230，
∴每星期至少要销售该款童装170件．
【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题．
24．（12分）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）已知B（4，m）在直线y＝x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．
（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．
【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，
∴m＝4+2＝6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
＝﹣2n2+9n﹣4，
＝﹣2（n）2，
∵PC＞0，
∴当n时，线段PC最大且为．
（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC＝90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°．
如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON，AN．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN＝AN，∴OM＝ON+MN3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y＝kx+b，
则：，解得，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3 ①
又抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6 ②
联立①②式，解得：x＝3或x（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x＝3时，y＝x+2＝5，
∴P1（3，5）；
iii）若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°．
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x＝2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x时，y＝x+2．
∴P2（，）．
∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．
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