第23章 旋转 单元预习（含解析）-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

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第23章 旋转
一、选择题
1．如图是神舟十三号载人飞行任务标识，该标识经过旋转能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知点P1（a，﹣2）与点P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2023＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣52023 D．52023
3．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
4．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与点A对应，则角α等于（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
6．如图，已知在 ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，AD＝5，DC＝4，则DA′的大小为（　　）
A．1 B． C． D．2
7．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（﹣3，﹣4）则点A′的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（3，1）
8．如图，正方形ABCD的边长为1；将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．2 C．1 D．
9．三角板是我们数学课必备工具之一，小米同学某天上数学拓展课的时候，转动其中一个三角板发现了一个很奇妙的结论：如图1，小米将含有45°角的三角板ABC绕点A顺时针旋转，当∠BAD＜90°时，延长线段ED和线段CB使之相交于点F（如图2），则CF﹣DF的长始终不变．若AB＝5，则CF﹣DF的值为（　　）
A．10 B．10 C．15 D．
10．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（2，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点F2022的坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（﹣2，﹣2）
二、填空题
11．请任写一个成中心对称图形的汉字、字母或数字　 　 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为　 　 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针方向旋转得到，其中点A′与点A、点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则A′B′的长为　 　 ，AA′的长为　 　 ．
14．如图，△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是　 　 °时，CD∥AB．
三、解答题
15．图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
16．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，则A点坐标为 　 　 ，C点坐标为 　 　 ．
（3）若点C2是点C关于原点的对称点，则C2的坐标为 　 　 ．
17．如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．
（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是　 　 ；
（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
18．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，点B落在DE上，延长AC交DE于点F，AB，DC交于点G．
（1）若C是AF的中点，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若BC＝5，BG，求BD的长．
19．阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（点C与点C′重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2，在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α（0°≤α≤360°），连接AD，BE，如图3，在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？
20．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP＝　 　 °；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．
第23章 旋转
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图是神舟十三号载人飞行任务标识，该标识经过旋转能得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转变换的性质判定即可．
【解答】解：根据旋转变换的性质可知选项B符合题意．
故选：B．
【点评】本题利用旋转设计图案，生活中的旋转现象，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
2．已知点P1（a，﹣2）与点P2（3，b）关于原点对称，则（a+b）2023＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣52023 D．52023
【答案】A
【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特点求出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵点P1（a，﹣2）与点P2（3，b）关于原点对称，
∴a＝﹣3，b＝2，
∴（a+b）2023＝（﹣3+2）2023＝﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题的关键．
3．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的意义，如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形．将②涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕正方形的中心O旋转180°后，这个图形能自身重合，是中心对称图．
【解答】解：如图，
将②涂黑后，与图中阴影部分构成的图形绕正方形的中心O旋转180°后，这个图形能自身重合，是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题是考查中心对称图形的意义及特征．根据意义及特征即可确定哪个小正方形与图中阴影部分构成中心对称图形．
4．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与点A对应，则角α等于（　　）
A．45° B．60° C．90° D．120°
【答案】C
【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
【解答】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C．
【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝80°，由等腰三角形的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝80°，
∴∠B＝∠ADB（180°﹣∠BAD）＝50°，
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
6．如图，已知在 ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC＝60°，AD＝5，DC＝4，则DA′的大小为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】过A′作A′F⊥DA于点F，由旋转的性质可得求得A′B，在Rt△ABE中可求得BE，则可求得A′E，则可求得DF和A′F，在Rt△A′FD中由勾股定理可求得A′D．
【解答】解：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴BEAB＝2，AE＝A′FAB＝2，
∵取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴A′B在线段BC上，且A′B＝AB＝4，
∴A′E＝A′B﹣BE＝4﹣2＝2，
∴AF＝A′E＝2，
∴DF＝DA﹣AF＝5﹣2＝3，
在Rt△A′FD中，由勾股定理可得A′D，
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质及勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键．
7．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（﹣3，﹣4）则点A′的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（3，1）
【答案】A
【分析】把△ABC和△A′B′C向上平移1个单位，此时A点的对应点的坐标为（﹣3，﹣3，由于平移后△ABC和△A′B′C关于原点中心对称，则A′点的对应点的坐标为（3，3），然后还原，把点（3，3）向下平移1个单位即可得到点A′的坐标．
【解答】解：把△ABC和△A′B′C向上平移1个单位，则平移后△ABC和△A′B′C关于原点中心对称，此时A点的对应点的坐标为（﹣3，﹣3），所以A′点的对应点的坐标为（3，3），把点（3，3）向下平移1个单位得点（3，2），即点A′的坐标为（3，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．本题的关键是利用平移把图形转化为关于原点对称的图形．
8．如图，正方形ABCD的边长为1；将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG的位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．2 C．1 D．
【答案】C
【分析】依据△BFH、△CEF为等腰直角三角形，即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，
∴EF＝CE＝1，
∴CF，
∴BF1，
∵∠BFE＝45°，
∴BH＝BF1，
∴阴影部分的面积1×1（1）21，
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是利用△BFH、△CEF为等腰直角三角形求解线段的长．
9．三角板是我们数学课必备工具之一，小米同学某天上数学拓展课的时候，转动其中一个三角板发现了一个很奇妙的结论：如图1，小米将含有45°角的三角板ABC绕点A顺时针旋转，当∠BAD＜90°时，延长线段ED和线段CB使之相交于点F（如图2），则CF﹣DF的长始终不变．若AB＝5，则CF﹣DF的值为（　　）
A．10 B．10 C．15 D．
【答案】A
【分析】利用HL证明Rt△ABF≌Rt△AEF，得BF＝EF，从而CF﹣DF＝BC+EF﹣DF＝BC+DE+DF﹣DE＝2BC．
【解答】解：如图，在FC上截取FG＝FD，连接AG，AF，
由题意得：∠ABF＝∠AEF＝90°，AB＝AE，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF（HL），
∴BF＝EF，
∴CF﹣DF＝BC+EF﹣DF＝BC+DE+DF﹣DE＝2BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝5，
∴CF﹣DF＝2×5＝10，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，顶点A，B，C，D在坐标轴上，且B（2，0），以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点F2022的坐标为（　　）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（﹣2，﹣2）
【答案】D
【分析】根据旋转，分别求出点Fi（i为正整数）的坐标，依据发现的规律即可求出点F2022的坐标．
【解答】解：由题知，
因为四边形ABCD是正方形，且B（2，0），
所以OA＝OB＝OC＝OD＝2．
则在Rt△AOB中，
根据勾股定理得，AB．
又四边形ABEF为菱形，
则AF＝AB．
所以点F的坐标为（，2）．
又每次绕原点顺时针旋转90°，
则有F1（2，），F2（，﹣2），F3（﹣2，），F4（，2），F5（2，）……
不难发现从第五次旋转开始，点Fi的坐标与前面的重复了．
又2022÷4＝505余2，即旋转第2022次时，点F2022与点F2重合．
所以点F2022的坐标为（，﹣2）．
故选：D．
【点评】本题考查平面直角坐标系中点的坐标变化规律，能依次表示出Fi（i为正整数）并发现规律是解题的关键．
二、填空题
11．请任写一个成中心对称图形的汉字、字母或数字　田，N，0等　 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用中心对称图形的概念求解．
【解答】解：成中心对称图形的汉字、字母或数字可以为：田，N，0等．
故答案为：田，N，0等．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
12．如图，在平面直角坐标系中，若将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，则点A的对应点A1的坐标为　（4，﹣2）　 ．
【答案】（4，﹣2）．
【分析】分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
【解答】解：如图，△A1B1C1即为所求．A1（4，﹣2）
故答案为（4，﹣2）．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针方向旋转得到，其中点A′与点A、点B′与点B是对应点，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则A′B′的长为　4　 ，AA′的长为　6　 ．
【答案】4，6．
【分析】先计算出AB＝4，再根据旋转的性质得到A′B′＝AB＝4，CA＝CA′，CB′＝BC＝2，∠A′＝∠BAC＝30°，∠A′B′C＝∠B＝60°，即可计算出∠B′CA＝∠B′AC＝30°，则B′C＝B′A＝2，从而计算A′B′+B′A即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×2＝4，
∵△A'B'C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，
∴A′B′＝AB＝4，CA＝CA′，CB′＝BC＝2，∠A′＝∠BAC＝30°，∠A′B′C＝∠B＝60°，
∴∠A′AC＝∠A′＝30°，
∵∠A′B′C＝∠B′AC+∠B′CA，
∴∠B′CA＝∠B′AC＝30°，
∴B′C＝B′A＝2，
∴AA′＝A′B′+B′A＝4+2＝6．
故答案为：4，6．
【点评】本题考查了旋转的性质、直角三角形性质及应用，掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是解题的关键．
14．如图，△AOB和△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在OA上．将△COD绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当旋转角是　100或280　 °时，CD∥AB．
【答案】见试题解答内容
【分析】作出图形，分两种情况：①两三角形在点O的同侧时，设CD与OB相交于点E，根据两直线平行，同位角相等可得∠CEO＝∠B，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角∠AOD；②两三角形在点O的异侧时，延长BO与CD相交于点E，根据两直线平行，内错角相等可得∠CEO＝∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠DOE，然后求出旋转角度数．
【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO＝∠B＝40°，
∵∠C＝60°，∠COD＝90°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°，
∴旋转角∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°+10°＝100°；
②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E，
∵AB∥CD，
∴∠CEO＝∠B＝40°，
∵∠C＝60°，∠COD＝90°，
∴∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°，
∴旋转角为270°+10°＝280°，
综上所述，当旋转角为100°或280°时，边CD恰好与边AB平行．
故答案为：100或280．
【点评】本题考查了平行线的判定，平行线的性质，旋转变换的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
三、解答题
15．图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影：
（1）在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（2）在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（3）在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意涂阴影；
（2）根据题意涂阴影；
（3）根据题意涂阴影；
【解答】解：（1）如图1；
（2）如图2．
（3）如图3．
【点评】本题考查中心对称、轴对称，熟练掌握中心对称与轴对称图形的性质是解题的关键．
16．在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．
（1）试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；
（2）若点B的坐标为（﹣3，5），试在图中画出直角坐标系，则A点坐标为 　（0，1）　 ，C点坐标为 　（﹣3，1）　 ．
（3）若点C2是点C关于原点的对称点，则C2的坐标为 　（3，﹣1）　 ．
【答案】（1）见解答；
（2）（0，1），（﹣3，1）；
（3）（3，﹣1）．
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点即可；
（2）利用B点坐标建立平面直角坐标系，然后写出A点和C点坐标；
（3）根据关于原点对称的点的坐标特征求解．
【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）如图，A点坐标为（0，1），C点坐标为（﹣3，1）；
故答案为：（0，1），（﹣3，1）；
（3）如图，点C2的坐标为（3，﹣1）．
故答案为：（3，﹣1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
17．如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．
（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是　AE＝AF　 ；
（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）AE＝AF；
（2）结论仍然成立，理由见解析过程．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF；
（2）由菱形的性质可得AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，可证△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，可得AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，由“ASA”可证△BAE≌△CAF，可得AE＝AF．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
故答案为：AE＝AF；
（2）仍然成立，
理由如下：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，
∵∠MAN＝60°＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴AE＝AF．
【点评】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
18．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，其中点A，点B的对应点分别是点D，点E，点B落在DE上，延长AC交DE于点F，AB，DC交于点G．
（1）若C是AF的中点，求证：△ABC是等腰三角形；
（2）若BC＝5，BG，求BD的长．
【答案】（1）见解析过程；
（2）．
【分析】（1）由旋转的性质可得CE＝CB，∠BCE＝90°＝∠ACD，AC＝CD，∠A＝∠D，由直角三角形的性质可得AC＝BC，
即可求解；
（2）由“ASA”可证△ECF≌△BCG，可得EF＝BG，由等腰直角三角形的性质和锐角三角函数可求解．
【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，
∴CE＝CB，∠BCE＝90°＝∠ACD，AC＝CD，∠A＝∠D，
又∵∠AGC＝∠BGD，
∴∠DBG＝∠ACG＝90°，
∵点C是AF的中点，
∴BC＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）解：如图，过点C作CH⊥DE于H，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转90°得△DEC，
∴CE＝CB，∠BCE＝90°＝∠ACD＝∠FCD，∠A＝∠D，
∴∠E＝∠CBE＝45°，∠BCD＝∠ECF，
∵∠A＝∠D，∠BGD＝∠AGC，
∴∠DBG＝∠ACD＝90°，
∴∠ABC＝∠EBC＝45°＝∠E，
在△ECF和△BCG中，
，
∴△ECF≌△BCG（ASA），
∴EF＝BG，
∵CE＝CB＝5，∠BCE＝90°，CH⊥BE，
∴BE＝5，CH＝BH＝EH，
∴FH，
∵∠D+∠DFC＝90°＝∠DFC+∠FCH，
∴∠FCH＝∠D，
∴tanD＝tan∠FCH，
∴，
∴，
∴BD．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．阅读与理解：
图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片ABC和C′DE叠放在一起（点C与点C′重合）的图形．
操作与证明：
（1）操作：固定△ABC，将△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，连接AD，BE，如图2，在图2中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
（2）操作：若将图1中的△C′DE，绕点C按顺时针方向任意旋转一个角度α（0°≤α≤360°），连接AD，BE，如图3，在图3中，线段BE与AD之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
猜想与发现：
根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD的长度最小，最小是多少？
【答案】（1）BE＝AD，证明见解答；
（2）BE＝AD，证明见解答；
当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．
【分析】（1）根据旋转的性质及等边三角形的性质，利用SAS判定△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等，可得到BE＝AD．
（2）围绕证明△BCE≌△ACD，根据SAS寻找全等的条件，方法不变．
【解答】解：（1）BE＝AD．
证明：∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转30°，
∴∠BCE＝∠ACD＝30°，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，
∴CA＝CB，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
（2）BE＝AD．
∵△C′DE绕点C按顺时针方向旋转的角度为α，
∴∠BCE＝∠ACD＝α，
∵△ABC与△C′DE是等边三角形，
∴CA＝CB，CE＝CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
猜想与发现：
当α为180°时，线段AD的长度最大，等于a+b；当α为0°（或360°）时，线段AD的长度最小，等于a﹣b．
【点评】此题主要考查学生对旋转的性质，等边三角形的性质及全等三角形的判定方法的综合运用能力．
20．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．
（1）如图1，猜想∠QEP＝　60　 °；
（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，且AC＝4，求BQ的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）猜想∠QEP＝60°；
（2）以∠DAC是锐角为例进行证明，如图2，根据等边三角形的性质得AC＝BC，∠ACB＝60°，再根据旋转的性质得CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，则∠ACP＝∠BCQ，
根据“SAS”可证明△ACP≌△BCQ，得到∠APC＝∠Q，然后利用三角形内角和定理可得到∠QEP＝∠PCQ＝60°；
（3）作CH⊥AD于H，如图3，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，则AP＝BQ，由∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，易得∠APC＝30°，∠PCB＝45°，则可判断△ACH为等腰直角三角形，所以AH＝CHAC＝2，在Rt△PHC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得PHCH＝2，于是可计算出PA＝PH﹣AH＝22，所以BQ＝22．
【解答】解：（1）∠QEP＝60°；
证明：如图1，EQ与PC相交于M点，
∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，
则△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CQB＝∠CPA，
又因为△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，
∴∠QEP＝∠QCP＝60°．
故答案为：60；
（2）∠QEP＝60°．以∠DAC是锐角为例．
证明：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，
∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC＝∠Q，
∵∠1＝∠2，
∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；
（3）作CH⊥AD于H，如图3，
与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP＝BQ，
∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，
∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH＝CHAC4＝2，
在Rt△PHC中，PHCH＝2，
∴PA＝PH﹣AH＝22，
∴BQ＝22．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质．
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