第24章 圆 单元培优-2025-2026学年人教版数学九年级上册

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第24章 圆
一、选择题
1．如图，若OA⊥OB，则∠C＝（　　）
A．22.5° B．67.5° C．90° D．45°
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（　　）
A．3＜r＜4 B．3＜r＜5 C．3≤r≤5 D．r＞4
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标是（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（1，﹣2）
4．如图，若正方形ABCD的边长为6，则其外接圆半径OA与内切圆半径OE的比值为（　　）
A． B． C．2 D．3
5．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝40°，则∠CDA的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．15°
6．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B． C．2 D．2
7．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，AB＝12，则的长为 （　　）
A．π B．2π C．4π D．.6π
8．简易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），A为三角板与直尺的交点，B为量角器与直尺的接触点，C为量角器与三角板的接触点．若点A处刻度为4，点B处刻度为6，则该量角器的直径长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，直线MN是⊙O的切线，B是切点．若∠C＝80°，∠CBN＝48°，则∠ADB的度数为（　　）
A．52° B．54° C．56° D．58°
10．如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点，连接AC，BC点P从点B出发，沿折线B→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A，图2是点P运动时，△PAB的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则线段AC的长为（　　）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
二、填空题
11．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 　 　 ．（结果保留π）
12．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数是 　 　 ．
13．如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B＝∠EAC，根据弦AB的位置变化，试探究直线EF与⊙O的位置关系．
甲：如图（1），当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；
乙：如图（2），当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切．
你认为 　 　 的判断正确．
14．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA＝　 　 时，△PAD为等腰三角形．
三、解答题
15．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．”请你解答这个问题．
16．某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，如图，摩天轮半径为44m，中心O距离地面56m，匀速运行一圈的时间为18min．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面之间超过一定距离时，可视为最佳观赏位置．已知在运行的一圈里最佳观赏时长为12min，求最佳观赏位置与地面的最小距离（即BD的长）．
17．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长．
18．如图AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1cm，求图中阴影部分的面积．
19．如图，已知⊙O的直径AB＝2，C是上一个动点（不与点A、B重合），切线DC交AB的延长线于点D，连接AC、BC、OC．
（1）请添加一个条件使△BAC≌△ODC，并说明理由；
（2）若点C关于直线AB的对称点为E．
①当∠CDB＝　 　 度时，四边形ACDE为菱形；
②当AD＝　 　 时，四边形OCDE为正方形．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD∥OC．
（2）小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究：
小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值；
小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化．
若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x，你认为他们之中谁说的是正确的？若你认为小聪说的正确请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系．
21．【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵MD⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
①　 　 ，
②　 　 ，
③　 　 ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　 ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
第24章 圆
参考答案与试题解析
一、选择题
1．如图，若OA⊥OB，则∠C＝（　　）
A．22.5° B．67.5° C．90° D．45°
【答案】D
【分析】根据OA⊥OB，得∠AOB＝90°，再根据圆周角定理得∠C∠AOB＝45°．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠C∠AOB＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（　　）
A．3＜r＜4 B．3＜r＜5 C．3≤r≤5 D．r＞4
【答案】B
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，
则BD5．
由图可知3＜r＜5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是点A（﹣3，0）、点B（﹣1，2）、点C（3，2），则△ABC的外心的坐标是（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，0） C．（1，﹣1） D．（1，﹣2）
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【解答】解：∵点P到△ABC三个顶点距离相等，
∴点P是线段BC、AB的垂直平分线的交点，
由图可知，点P的坐标为（1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形外心的概念及线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．如图，若正方形ABCD的边长为6，则其外接圆半径OA与内切圆半径OE的比值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】连接OD，根据已知得点O为正方形ABCD的中心，从而可求可求出∠AOD＝90°，再根据切线的性质得OE⊥AD，从而得AE＝3，∠AOE＝45°，进而证△AED为等腰直角三角形得AE＝OE＝3，然后再利用勾股定理求出，据此即可得出答案．
【解答】解：连接OD，如图：
∵点O是正方形ABCD内切圆和外接圆的圆心，
∴点O为正方形ABCD的中心，
∴∠AOD＝360°÷4＝90°，
又∵正方形ABCD的内切圆与AD切于点E，且AB＝6，
∴OE⊥AD，
∴AE＝AD＝1/2AB＝3，∠AOE∠AOD＝45°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴AE＝OE＝3，
在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA3，
∴．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形与圆，切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，解答此题的关键是确定点O为正方形的中心，并求出中心角∠AOD＝90°，进而利用等腰直角三角形的性质及勾股定理求出OA，OE的长．
5．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，OA⊥BC，∠AOB＝40°，则∠CDA的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【答案】C
【分析】连接OC，根据垂径定理求出，求出∠AOC＝∠AOB，根据圆周角定理得出∠CDA∠AOC，再求出答案即可．
【解答】解：连接OC，
∵OA⊥BC，OA过圆心O，
∴，
∴∠AOC＝∠AOB，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝40°，
∴∠CDA∠AOC＝20°，
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
6．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（　　）
A．2 B． C．2 D．2
【答案】C
【分析】连接OM，根据正六边形OABCDE和点M为劣弧FG的中点，可得△OFM是等边三角形，进而可得⊙O的半径．
【解答】解：如图，连接OM，
∵正六边形OABCDE，
∴∠FOG＝120°，
∵点M为劣弧FG的中点，
∴∠FOM＝60°，OM＝OF，
∴△OFM是等边三角形，
∴OM＝OF＝FM＝2．
则⊙O的半径为2．
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是学会添加常用辅助线．
7．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，AB＝12，则的长为 （　　）
A．π B．2π C．4π D．.6π
【答案】B
【分析】由圆周角定理求出∠COB＝∠B＝60°，再根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OC．
∵∠ADC＝120°，
∴∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠COB＝∠B＝60°，
∵AB＝12，
∴OB＝6，
∴的长为2π，
故选：B．
【点评】本题考查弧长的计算和圆周角定理，掌握等边三角形的性质，三角形内角和定理以及圆周角定理是正确解答的关键．
8．简易直尺、含60°角的直角三角板和量角器如图摆放（无重叠部分），A为三角板与直尺的交点，B为量角器与直尺的接触点，C为量角器与三角板的接触点．若点A处刻度为4，点B处刻度为6，则该量角器的直径长为（　　）
A．2 B．2 C．4 D．4
【答案】D
【分析】连接OA、OB，由题意得AB＝6﹣4＝2，∠BAC＝180°﹣60°＝120°，由切线的性质定理得∠ABO＝90°，由切线长定理得∠OAB＝∠OAC＝60°，所以OBAB＝2，所以该量角器的直径是4．
【解答】解：三角尺和量角器放在直尺上的示意图如图所示，连接OA、OB，
根据题意得AB＝6﹣4＝2，∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∵AB、AC分别与⊙O相切于点B、点C，
∴AB⊥OB，∠OAB＝∠OAC∠BAC＝60°，
∴∠ABO＝90°，
∴tan∠OAB＝tan60°，
∴OBAB2＝2，
∴2×24，
∴该量角器的直径是4．
故选：D．
【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，直线MN是⊙O的切线，B是切点．若∠C＝80°，∠CBN＝48°，则∠ADB的度数为（　　）
A．52° B．54° C．56° D．58°
【答案】A
【分析】连接OB、OD，由∠C＝80°，求得∠BOD，再由OB＝OD，求得∠OBD，再根据切线性质，求得∠OBC，进而由平行线的性质求得∠ADB．
【解答】解：连接OB、OD，
∵∠C＝80°，
∴∠BOD＝160°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵直线MN是⊙O的切线，
∴∠OBN＝90°，
∵∠CBN＝48°，
∴∠OBC＝42°，
∴∠DBC＝∠OBC+∠DBO＝52°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝52°，
故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，圆内接四边形的性质等知识，熟记这些性质是本题的关键．
10．如图1，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一点，连接AC，BC点P从点B出发，沿折线B→C→A以1cm/s的速度匀速运动到点A，图2是点P运动时，△PAB的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则线段AC的长为（　　）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
【答案】D
【分析】从图2看，当t＝a时，y取得最大值，此时BC＝a，而y＝a，利用yAC×BCAC×a＝a，即可求解．
【解答】解：从图2看，当t＝a时，y取得最大值，
此时BC＝a，而y＝a，
即：yAC×BCAC×a＝a，
解得：AC＝2，
故选：D．
【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到圆的基本知识、三角形面积计算等知识，此类问题关键是，要弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
二、填空题
11．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 　2π　 ．（结果保留π）
【答案】2π．
【分析】】根据三个扇形的半径都是2，由扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵三个扇形的半径都是2，三个圆心角的和是180°，
∴图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为2π．
故答案为：2π．
【点评】考查了扇形面积的计算，因为三个扇形的半径相等，所以不需知道各个扇形的圆心角的度数，只需知道三个圆心角的和即可．
12．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝15°，则这个正多边形的边数是 　12　 ．
【答案】12．
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB＝36°，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，OB，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝15°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝30°，
∴这个正多边形的边数12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．
13．如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B＝∠EAC，根据弦AB的位置变化，试探究直线EF与⊙O的位置关系．
甲：如图（1），当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；
乙：如图（2），当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切．
你认为 　甲、乙　 的判断正确．
【答案】甲、乙．
【分析】甲、根据直径推出∠CAB+∠B＝90°，推出∠EAC+∠CAB＝90°，根据切线判定推出即可；
乙、作直径AM，连接CM，推出∠M＝∠B＝∠EAC，求出∠EAC+∠CAM＝90°，根据切线的判定推出即可．
【解答】解：甲、∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∵∠EAC＝∠B，
∴∠EAC+∠CAB＝90°，
∴EF⊥AB，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线；
乙、作直径AM，连接CM，
即∠B＝∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∵∠EAC＝∠B，
∴∠EAC＝∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM＝90°，
∴∠CAM+∠M＝90°，
∴∠EAC+∠CAM＝90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．
故甲、乙正确，
故答案为：甲、乙．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形的内角和定理等知识点，注意：经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，直径所对的圆周角是直角．
14．如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径向正方形内作半圆，P为半圆上一动点（不与A、B重合），当PA＝　2或　 时，△PAD为等腰三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】分别从当PA＝PD，PA＝AD，AD＝PD时，△PAD是等腰三角形讨论，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．
【解答】解：①当PA＝PD时，
此时P位于四边形ABCD的中心，
过点P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
则四边形EAMP是正方形，
∴PM＝PEAB＝2，
∵PM2＝AM BM＝4，
∵AM+BM＝4，
∴AM＝2，
∴PA＝2，
②当PA＝AD时，PA＝4（舍）；
③当PD＝DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG＝PG，
∴AP＝2AG，
又∵DA＝2AO，
∴AG＝2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）2+x2＝4，
∴x，
∴AG＝2x，
∴PA＝2AG；
∴PA＝2或4或，
故答案为：2或．
【点评】此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．
三、解答题
15．《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系．第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．”请你解答这个问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC＝OB＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．
【解答】解：如图，连接OC，
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝10寸，
∴CE＝DECD＝5寸，
设OC＝OB＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，
由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
∴AB＝26寸，
答：直径AB的长为26寸．
【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．
16．某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，如图，摩天轮半径为44m，中心O距离地面56m，匀速运行一圈的时间为18min．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面之间超过一定距离时，可视为最佳观赏位置．已知在运行的一圈里最佳观赏时长为12min，求最佳观赏位置与地面的最小距离（即BD的长）．
【答案】34米．
【分析】先求摩天轮转动的角速度为每分钟20°，再求出OC＝22米，得∠OBC＝30°，即可求解．
【解答】解：如图所示：
摩天轮转动的角速度为每分钟：20°，
则AB上方的圆心角为12×20°＝240°，
则∠AOB＝120°，则∠AOB＝30°，
则OCOB＝22，
则CM＝OM﹣CO＝56﹣22＝34．
则BD＝CM＝34（米），
即最佳观赏位置与地面的最小距离为34米．
【点评】本题考查了垂径定理的应用、含30°角的直角三角形的判定、直角三角形的性质等知识，熟练掌握垂径定理，求出∠OBC＝30°是解题的关键．
17．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据在同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，相等的弧所对的圆周角相等，可以判断出BC、MD的位置关系；
（2）根据垂径定理和AE＝16，BE＝4，可以得到AB和OE的长度，然后根据勾股定理可以求得CE的长度，进而求得CD的长度．
【解答】解：（1）BC、MD的位置关系是平行，
理由：∵∠M＝∠D，
∴，
∴∠M＝∠MBC，
∴BC∥MD；
（2）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝16，BE＝4，
∴∠OEC＝90°，EC＝ED，AB＝AE+BE＝20，
∴OC＝10，OE＝OB﹣BE＝6，
∴CE，
∴CD＝2CE＝16，
即线段CD的长是16．
【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解题此类问题的关键是明确题意，根据所要证明或求解的问题找出相应的条件，利用圆周角定理、垂径定理和勾股定理的相关知识解答．
18．如图AB是⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1cm，求图中阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得出∠AOD＝120°，得出∠DOP＝60°，∠APD＝30°，得∠ODP＝90°，即可证明DP是⊙O的切线；
（2）用△ODP的面积减去扇形BOD的面积即可求出图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵∠ACD＝60°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠DOP＝180°﹣120°＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线；
（2）解：∵∠ODP＝90°，∠P＝30°，OD＝1cm，
∴OP＝2cm，DP cm．
∴图中阴影部分的面＝S△ODP﹣S扇形BOD
OD DP
1
（cm2）．
【点评】本题考查了切线的判定与性质，扇形面积的计算等知识，正确切线的判定定理与扇形的面积计算公式是解决问题的关键．
19．如图，已知⊙O的直径AB＝2，C是上一个动点（不与点A、B重合），切线DC交AB的延长线于点D，连接AC、BC、OC．
（1）请添加一个条件使△BAC≌△ODC，并说明理由；
（2）若点C关于直线AB的对称点为E．
①当∠CDB＝　30　 度时，四边形ACDE为菱形；
②当AD＝　1　 时，四边形OCDE为正方形．
【答案】（1）添加条件∠A＝30°，理由见解答过程；（2）①30，②．
【分析】（1）如添加条件∠A＝30°，由已知∠ACB＝∠DCO＝90°得△BOC是等边三角形，可得OC＝OB，∠ABC＝∠BOC＝60°，从而得出结论；
（2）①当∠CDB＝30°时，四边形ACDE是菱形，连接CE，根据CD是切线，可得∠CDB＝∠CAB＝30°，从而的AC＝CD，根据对称的性质可得CD＝ED，AC＝AE，从而得到四边形ACDE四边相等，即可得出结论；
②由已知得OA＝OC＝1，若四边形OCDE是正方形，则△OCD是等腰直角三角形，从而得到OD，进而得到AD的长．
【解答】解：（1）如添加条件∠A＝30°（条件不唯一），
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，即∠DCO＝90°，
∴∠ACB＝∠DCO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OC，∠ABC＝∠BOC＝60°，
∴△BAC≌△ODC（ASA）；
（2）①当∠CDB＝30°时，四边形ACDE是菱形，
如图，连接CE，
根据对称的性质，则CD＝ED，AC＝AE，∠EDB＝∠CDB＝30°，
∵OC⊥CD，
∴∠COD＝90°﹣∠CDB＝60°，
∵OC＝OA，
∴∠CAB，
∴∠CDB＝∠CAB＝30°，
∴AC＝CD，
∴AC＝CD＝ED＝AE，
∴四边形ACDE是菱形，
故答案为：30；
②∵AB＝2，
∴OA＝OC＝1，
若四边形OCDE是正方形，则△OCD是等腰直角三角形，
∴OD，
∴AD＝OD+OA1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了圆的性质，切线的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定，正方形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
20．如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，连接AD．
（1）求证：AD∥OC．
（2）小聪与小明在做这个题目的时候，对∠CDA与∠AOC之间的关系进行了探究：
小聪说，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值；
小明说，∠CDA+∠AOC的值随∠A度数的变化而变化．
若∠CDA+∠AOC的值为y，∠A度数为x，你认为他们之中谁说的是正确的？若你认为小聪说的正确请你求出这个固定值：若你认为小明说的正确，请你求出y与x之间的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OD，要证明AD∥OC，只要证明∠ODA＝∠DOC即可；
（2）小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，根据AD∥OC，证明∠CDA+∠AOC＝270°即可．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示，
∵BC与⊙O相切于点B，CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
在Rt△ODC和Rt△OBC中，
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）．
∴∠DOC＝∠BOC．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD．
∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°，∠AOD+∠DOC+∠BOC＝180°，
∴∠ODA+∠OAD＝∠DOC+∠BOC
∴∠ODA＝∠DOC，
∴AD∥CO．
（2）解：小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定的值，
∵∠CDA+∠AOC＝y，∠A＝x，
∴∠ODA＝∠OAD＝x，∠ODC+∠ODA+∠AOC＝y，
∵∠ODC＝90°，
∴90°+x+∠AOC＝y，
∵AD∥CO，
∴∠OAD+∠AOC＝180°，
即x+∠AOC＝180°，
∴90°+180°＝y，
即y＝270°．
∴小聪说的对，∠CDA+∠AOC的值是一个固定值．
【点评】此题主要考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，根据已知得出△ODC≌△OBC是解题关键．
21．【问题呈现】阿基米德折弦定理：
如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．
证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC①
又∵∠A＝∠C②
∴△MAB≌△MCG③
∴MB＝MG
又∵MD⊥BC
∴BD＝DG
∴AB+BD＝CG+DG
即CD＝DB+BA
根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：
①　相等的弧所对的弦相等　 ，
②　同弧所对的圆周角相等　 ，
③　有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等　 ；
【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　1　 ；
【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：
如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．
【答案】见试题解答内容
【分析】【问题呈现】：根据圆的性质即可求解；
【理解运用】CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；
【变式探究】证明△MAB≌△MGB（SAS），则MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，则DC＝DG，即可求解；
【实践应用】已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1（6+8）＝7．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2．
【解答】【问题呈现】
①相等的弧所对的弦相等
②同弧所对的圆周角相等
③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等
故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；
【理解运用】CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，
BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，
故答案为：1；
【变式探究】DB＝CD+BA．
证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，
∵M是弧AC的中点，
∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．
又MB＝MB
∴△MAB≌△MGB（SAS）
∴MA＝MG
∴MC＝MG，
又DM⊥BC，
∴DC＝DG，
AB+DC＝BG+DG，
即DB＝CD+BA；
【实践应用】
如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．
因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．
已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，
则CG1+AB＝AG1，
所以AG1（6+8）＝7．
所以AD1＝7．
如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2．
所以AD的长为7或．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
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