人教版（2024）八年级数学上册14.3第2课时角的平分线的判定 教案 （表格式）

14.3 角的平分线
第2课时 角的平分线的判定
教学设计
课题 第2课时 角的平分线的判定 授课人
教学目标 1.探究并证明角的平分线的判定定理.（重点） 2.会用角的平分线的判定定理解决实际问题.（难点） 3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
教学重点 探究并证明角的平分线的判定
教学难点 会用角的平分线的判定解决实际问题
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言：∵OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D,E，∴PD=PE. 【思考】如果交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 复习角的平分线的性质，引入角的平分线的判定定理.
探究新知 1.角的平分线的判定 猜想证明:已知：如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：作射线OP，∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴∠PDO=∠PEO=90°， 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）. ∴点P在∠AOB的平分线上. 【归纳】角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 【注意】 使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上. 【拓展】 1.在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的几何. 2.角的平分线的性质定理与判定定理的关系： 性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据. 2.角的平分线的综合应用 【归纳】 三角形三个内角的平分线的性质： 三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该 三角形三条角平分线的交点. 带领学生通过猜想证明，归纳处角的平分线的判定定理，培养学生的抽象概括能力.
典例精析 【例1】 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证： （1）点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等. （2）△ABC的三条角平分线交于一点. 【解析】(1)由已知可得点P到边AB，BC的距离相等，点P到边BC，CA的距离相等，由此可得点P到三边的距离相等; (2)要证△ABC的三条角平分线交于一点，只要证点P也在∠A的平分线上. 【证明】（1）过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为点D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. (2)由（1）得，点P到边AB，CA的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上. ∴△ABC的三条角平分线交于一点. 【针对练习】 1．如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 答案： 2．如图，于点F，于点E，，和相交于点D．求证：平分． 证明：∵于点F，于点E， ， 在和中， ， ， ． 又于点F，于点E， 平分． 让学生体会对角的平分线的判定的应用，获得新知.
随堂检测 1．如图，P是内一点，，，，垂足分别为D，E，F，且，则点P是的（ ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 答案：A 2.如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ） A.一处 B.两处 C.三处 D.四处 答案：D 3.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且∠BDE＝∠CDF.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°. ∵D是BC的中点，∴BD＝CD. 在△BED和△CFD中， ∴△BED≌△CFD(AAS)，∴DE＝DF. 又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况.
课堂小结 这节课你有什么收获？ 1.角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 2.三角形三个内角的平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等. 巩固所学知识，加深对所学内容的理解.
作业布置
板书设计
教学反思