2.1 认识有理数（共69张PPT）2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

第二章 有理数及其运算
2.1 认识有理数
第二章 有理数及其运算
2.1 课时1 有理数的概念与分类
1.在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义；
2. 经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要；
3.会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类.
某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．下表是用下图所示的表情表示的两个参赛队的答题情况.：
答对
不回答
答错
探究一：认识负数
答对题的得分
答错题的得分
不回答题的得分
第一队
第二队
-3
0
+8
(1)你能用适当的方式表示每个队答题得分的情况吗？试完成下表：
(2)如果用“+1”表示答对1题的得分，用“-1”表示答错1题的得分，那么你如何填写(1)中的表？
+6
-2
0
吐鲁番盆地
(2)珠穆朗玛峰的海拔大约是8848.86m,吐鲁番盆地最低处的海拔大约是-154.31m.
8848.86 m，-154.31m的实际意义分别是什么?
(1)下表是 2023年1月1日四个城市的气温情况。你能说出表中各数的实际意义吗?
气温为零下7℃~零上5℃.
低于海平面154.31米.
尝试·交流
(3)下图展示了2023年7月我国居民消费价格分类别同比涨幅情况.请你说一说-0.5%，2.4%等数的实际意义，并与同伴进行交流.
食品烟酒同比下跌0.5%.
教育文化娱乐同比上涨2.4%.
“加分与扣分”““零上温度与零下温度”“高于海平面与低于海平面”
“上涨量与下跌量”等都是具有相反意义的量。
为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的量规定为负的，并分别用“+”“-”来表示。例如,“加3分”记为+3分,“扣2分”就记为-2分。
正数和负数的概念
1.像+3,+15,+2.4%，...都是正数，正数前面的“+”可以省略不写.
2.像-2，-8，-0.5%，…都是负数.
3.0既不是正数,也不是负数.
注意：负数与对应的正数在数量上相等，表示的意义相反.
1.（1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？
（2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作＋0.02克，那么﹣0.03g表示什么？
（3）某大米包装袋上标注着“净含量：10kg±50g”， 这里的“10kg±50g” 表示什么？
解：（1）沿顺时针方向转了12圈记作-12圈；
（2）-0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g；
（3）每袋大米的标准质量应为10kg，但实际每袋大米可能有50g的误差，即每袋大米的净含量最多是10kg+50g，最少是10kg-50g。
练一练
(1)选定一个高度作为标准，用正负数和0表示你们班每名同学的身高与选定的身高标准的差。你是怎样表示的？从你的表示能看出谁最高吗？
提示：比如设定160cm为标准，则高出的记作＋，低于的记作－.
(答案不唯一)
(2)你能将所学的数进行分类吗？与同伴进行交流.
探究二：有理数的概念与分类
思考·交流
整数
分数
负分数：-????????，-3.5，-56…
?
正分数：如????????，13，5.2…
?
有理数
负整数：-1，-2，-3…
正整数：如1，2，3…
零：0
整数和分数统称为有理数。
有理数的概念
按定义分类.
（3）有理数还可以进行其他分类吗？
正有理数
负有理数
正分数
负分数
负整数
正整数
0
有理数
还可以按性质分类.
正数集合{ …}；
负数集合{ …}；
整数集合{ …}；
分数集合{ …}．
总结：大于0的数都是正数；正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限.
2.把下面各数填在相应的括号里.
练一练
有理数分类的“三性”
相对性
正数是相对于负数而言的，整数是相对于分数而言的.
特殊性
0既不是正数也不是负数，但0是整数和自然数.
多属性
同一个数可能属于多个不同的集合，如－3既是负数，也是整数.
在进行数的分类时，要先确定分类标准，分类的标准不同，其结果一般也不相同，注意分类时要做到不重不漏．
例1：(1)转动转盘时，若规定顺时针转动为正，则逆时针转动5圈表示为________．
(2)若把后退规定为负，则＋102米表示___________，0米表示__________．
(3)如果正午12时记作0时，午后3时记作＋3时，那么上午8时记作________．
－5圈
前进102米
原地不动
－4时
例2：把下列各数填入相应的集合中：
1．如果收入100元记作＋100元，那么支出100元记作(　　)
A．－100元 B．＋100元 C．－200元 D．＋200元
A
2．如果汽车向东行驶30米记作＋30米，那么－50米表示(　　)
A．向东行驶50米 B．向西行驶50米 C.向南行驶50米 D．向北行驶50
3.在一次数学测试中，七(2) 班的平均分为 85 分，把高于平均分的高出部分数记为正数，老师将某一小组的美美、多多、田田、乐乐四位同学的成绩记为+7，-4，-11，+13，则这四位同学实际成绩最高的是 ( )
A.美美 B.多多 C.田田 D.乐乐
B
D
4．下列说法中，正确的是(　　)
A．正整数和负整数统称整数
B．整数和分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负整数
D．一个有理数不是正数就是负数
B
5．某食品包装袋上标有“净含量(385±5)克”，这包食品合格的净含量范围是____________．
380～390克　
6．将下列各数填入相应的集合内：
－2,3.5,0，－14，4，????，0.010010001…，31%
(1)整数集合：{ ??????????????????}
(2)正分数集合：{ ?????????????}
(3)有理数集合：{ ?????????????}
?
－2,0，4
3.5,31%
－2,3.5,0，－????????，4，31%
?
按照定义分为：整数和分数.
认识有理数
认识负数
有理数的概念
有理数的分类
按照性质分为：正有理数、0和负有理数.
为了表示具有相反意义的量，我们可把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示．
整数和分数统称为有理数.
1.像+3,+15,+2.4%，...都是正数，正数前面的“+”可以省略不写.
2.像-2，-8，-0.5%，…都是负数.
3.0既不是正数,也不是负数.
第二章 有理数及其运算
2.1 课时2 相反数与绝对值
1.理解相反数的概念，会求一个数的相反数。
2.初步理解绝对值的意义，掌握求有理数的绝对值的方法，体会
数形结合的思想方法。
3.会利用绝对值比较两个负数的大小。
新课导入
如图，两位同学背靠背站好(分左右),规定向右为正，以两位同学未走时的位置为原点，两人各自向前走3步。则：右边同学所在位置，记作 ,左边同学所在位置，记作 。
0
原点
＋3
－3
－3
＋3
正方向
问题：3与-3，????????与-????????，5与-5这三组数有什么共同特点？你还能列举几组具有这种特点的数吗？与同伴进行交流.
?
它们的符号不同，数量相等.
探究一：相反数与绝对值
特别地，0的相反数是0.
我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.
理解：一个正数的相反数是一个 ;一个负数的相反数是一个 ;一个数的相反数是它本身的数是 。
负数
正数
0
像3与-3，32与－32，5与-5这样的两个数，它们的符号不同，数量相等.
?
1.相反数的概念
1.判断题，看谁回答的又对又快！
(1)－6是6的相反数.(　　)
(2)30是30的相反数.(　　)
(3)1.2与－1.2互为相反数.(　　)
(4)－3是相反数.　　　(　　)
×
√
√
×
注意：相反数是成对出现的
练一练
求一个数的相反数，就是在这个数的前面添上“-”号。
一般地，a的相反数是 ；-a的相反数是 。
即a和-a互为相反数。
-a
a
相反数的求法
2.(1)如果a＝13，那么－a＝____；
(2)如果a＝－5.4，那么－a＝____；
(3)如果－x＝－6，那么x＝____；
(4)如果－x＝9，那么x＝_____．
-13
5.4
6
-9
练一练
一个数的数量大小叫作这个数的绝对值，如3和-3 的绝对值都等于3，0的绝对值等于0。通常用|a|表示数a的绝对值，如3的绝对值记作|3|=3，-5 的绝对值记作|-5|=5。
2.绝对值的概念
3.求下列各数的相反数和绝对值：-2，????????，0，-3.8，30.
?
解：-2，????????，0，-3.8，30的相反数分别是2，-????????，0，3.8，-30.
?
?????=????，????????=????????，????=????，?????.????=????.????，????????=????????.
?
一个数的绝对值与这个数有什么关系？
练一练
观察·思考
正数的绝对值是它本身.
负数的绝对值是它的相反数.
0的绝对值是0.
绝对值的性质
如果a＞0，那么|a|＝a;
如果a＜0，那么|a|＝－a;　　
如果a＝0，那么|a|＝0.　　
4.(1) 绝对值是7的数是 ， （填“有”或“没有”）
绝对值是－2的数。
(2) 绝对值是0的数有 个，是 。
7与－7
1
没有
0
练一练
探究二：有理数的大小比较
思考·交流
（1)下表是2023年1月1日四个城市的最低气温和最高气温。你能将这四个城市的最低气温从低到高进行排列吗？你是怎样比较的？
结合生活常识可知，
最低气温由低到高依次是-19 ℃，-7℃，-2 ℃，7 ℃ 。
（2)你能仿照气温的比较将下列这组数按照从小到大的顺序进行排列吗?
-1，0，-3，2.5，-1.5，4。
从小到大依次为 -3，-1.5，-1，0，2.5，4。
(3)你认为负数和正数应怎样比较大小?负数和0呢?两个负数呢?与同伴进行交流。
有理数大小比较的法则：
正数大于0，负数小于0，正数大于负数.
两个负数，绝对值大的反而小.
5.比较下列每组数的大小：
（1）-2，6； （2）0，-1.8； （3）-????????，-4.
?
解:(1)因为正数大于负数，所以-2<6；
(2)因为负数小于0，所以 0>-1.8;
(3)因为两个负数，绝对值大的反而小，
而?????????=????????，?????=????，????????＜????，
所以?????????＞?????.
?
练一练
例1：求下列各数的相反数和绝对值.
2，-????????，3????????，0，-0.4.
?
例2：比较下列每组数的大小：(1)－2和－5；(2)－1.2和－????????????.
?
解：(1)因为|－2|＝2，|－5|＝5，2＜5，所以－2＞－5.
例3：已知某零件的规定直径是10 mm，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下：
序号
1
2
3
4
5
直径长度/mm
＋0.1
－0.15
－0.2
－0.05
＋0.25
(1)试指出哪件样品的大小更符合要求；
解：(1)因为|-0.05|<|+0.1|<|－0.15|<|－0.2|<|+0.25|，
所以第4件样品的大小更符合要求．
分析：判断哪个产品更符合标准的问题，关键是求各数据的绝对值，绝对值越小的越接近标准．
(2)因为|＋0.1|＝0.1<0.18，|－0.15|＝0.15<0.18，|－0.05|＝0.05<0.18，
所以第1，2，4件样品是正品；
因为|－0.2|＝0.2，0.18<0.2<0.22，所以第3件样品为次品；
因为|＋0.25|＝0.25>0.22，所以第5件样品为废品．
(2)如果规定误差的绝对值在0.18 mm之内是正品，误差的绝对值在0.18 mm～0.22 mm之间的是次品，误差的绝对值超过0.22 mm的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品？
1.下列说法中，正确的是 ( )
A. 正数与负数互为相反数
B. 符号不同的两个数互为相反数
C. 0 没有相反数
D. 任何一个有理数都有相反数
D
2．下列几对数中互为相反数的一对为（ ）
A．+(-8) 和 -(+8) B．-(-8) 与 +(+8)
C．-(-8) 与 -(+8) D．-[-(-8)] 与 +(-8)
C
3. 化简：
| x | = (x ＜0)；
| m – n | = (m＞n)。
| 0 | = ；
m - n
-x
0
4.（1）若 a = 3.2，则 -a = ；
（2）若 -a = 2，则 a = ；
（3）若 -(-a) = 3，则 -a = ；
（4） -(a - b) = 。
-3.2
-2
b - a
-3
5．比较下列各组数的大小：
（1）- ，- ；
（2）-0.5，- ；
（3）0，|- |；
（4）|-7|，|7|。
|-7| = |7|
解：根据题意可知
6. 已知 | x - 4 |+| y - 3 | = 0，求 x + y 的值。
分析：
| a |≥0
| x - 4 |≥0；
| y - 3 |≥0
| x - 4 | = 0；
| y - 3 | = 0
所以 x＝4，y＝3，故 x＋y＝7。
x－4＝0，y－3＝0。
相反数与
绝对值
相反数
绝对值
比较数的大小
一个数的数量大小叫作这个数的绝对值，通常用|a|表示数a的绝对值.
正数的绝对值是它本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0.
如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.特别地，0的相反数是0.
正数大于0，负数小于0，正数大于负数.
两个负数，绝对值大的反而小.
第二章 有理数及其运算
2.1 课时3 数轴
1.掌握数轴的三要素，能正确画数轴；
2.能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上的已知点所表示的数;
3.会用数轴比较有理数的大小.
1.（1） 和 统称为有理数；
（2）整数包括 、0、 ；
（3）分数包括 、 .
2.把下列各数填入相应的集合内：5，-2，????????，0，1.5，????????????，-3.14.
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …};整数集合：{ …}；
分数集合：{ …};正整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}
?
整数 分数
正整数 负整数
正分数 负分数
5
-3.14
问题：（1）图中温度计上显示的温度各是多少？
（2）温度计上的刻度有什么特点？
﹢5℃
﹣10℃
0℃
(2)温度计上的刻度有正数、负数和0，刻度之间的距离是均匀的。
0
思考：(1)如果把温度计平放，我们能从中发现什么？
零下
零上
分刻度
(2)你能类比温度计，用直线上的点表示有理数吗？
探究一：数轴
在一条水平直线上取一点(称为原点)表示0，选取某一长度作为单位长度，规定这条直线上向右的方向为正方向，那么相反方向就是负方向。原点右边的点可以表示正数，原点左边的点可以表示负数。这样，所有有理数就都可以用直线上的点表示了。
用直线上的点表示有理数的方法
如图，通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向.
三者称为“数轴三要素”，缺一不可.
数轴
规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴.
原点
正方向
单位长度
像一个平放的温度计.
2.定原点：在这条直线上的适当位置取一点作为原点(如图)，原点表示0;
0
3.定方向：确定正方向，用箭头表示出来（一般规定从原点向右的方向为正方向）;
4.定单位长度：确定单位长度，用细短线画出，并对应地标注各数.
?
0
0
1
2
3
-1
-2
-3
?
?
1.先画一条水平的直线；
思考：(3)如何画一条数轴呢？
练一练
1.判断下面所画数轴是否正确,并说明理由。
×
×
×
×
×
×
×
√
你能用数轴上的点来表示有理数吗？
(1)在数轴上，+3可以用位于原点 边 个单位长度的点表示，-4可以用位于原点 边 个单位长度的点表示.
右
3
左
4
(2)????????用数轴上的哪个点表示？-1.5呢？其他数呢？
?
????????
?
-1.5
探究二：用数轴上的点表示有理数
用数轴上的点表示有理数
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
正有理数用原点右边的点表示（在数轴上要画出实心的小圆点），负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示。
2.(1)指出数轴上A，B，C，D，E各点分别表示什么数．
解：（1）点A表示1.5；点B表示－0.5；
点C表示－3；点D表示3；点E表示－2.
练一练
(2)画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
????????，-3，0，5，-4，-????????，3，-5.
?
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
????????
?
?????????
?
（2）如上图所示.
观察下图中表示3，-3的两个点，它们在数轴上的位置有什么关系？表示????????与-????????的两个点呢？表示5与-5的两个点呢？
?
3个单位长度
3个单位长度
观察·思考
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等.一个数的绝对值就是这个数所对应的点到原点的距离.
绝对值的几何意义
将下列各数：????????，-3，0，5，-4，-????????，3，-5，按照从小到大的顺序排列，并用“<”连接起来；观察它们在数轴上对应点的位置(如下图)，你有什么发现?与同伴进行交流。
?
越来越大
归纳：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.
探究三：利用数轴比较有理数的大小
解：（1）－2＜＋6
(正数大于负数）；
（2）0＞－1.8
(负数小于零）；
3.比较下列每组数的大小：
（1）－2和＋6;　 （2）0和－1.8; （3）－????????和4.　
?
（3）－????????＞－4(数轴上，－????????所对应的点在－4所对应点的右侧）.
?
练一练
解：如图所示：
例2：一只蚂蚁从原点出发，先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位长度到达点B，然后向左爬了9个单位长度到达点C.
(1)写出A，B，C三点表示的数；(2)根据点C在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？
解：(1)点A表示2，点B表示5，点C表示－4；
(2)蚂蚁实际上是从原点出发，向左爬行了4个单位长度．
0
1
2
3
4
5
6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
A
B
C
2.如图，在数轴上点M表示的数可能是(　　)
A．1.5　?? B．－1.5　?? C．－2.4　?? D．2.4
1.如图所示的图形为四名同学画的数轴，其中正确的是(　　)
D
C
3.如图所示，点A，B，C，D所表示的数分别是：
____，____，_____，_____．
4.与原点的距离为3个单位长度的点所表示的有理数是_____．
±3
0
－1
－4
－2.5
正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，0用原点表示。
数轴
数轴
用数轴上的点表示有理数
利用数轴比较有理数的大小
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
规定了原点、单位长度和正方向的直线称为数轴.通常将数轴画成水平直线，并选择向右的方向为正方向.
数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.