2.2 有理数的加减运算 2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

第二章 有理数及其运算
2.2 有理数的加减运算
第二章 有理数及其运算
2.2 课时1 有理数加法法则
1. 理解有理数加法的意义，初步掌握有理数的加法法则，并能
准确地进行有理数的加法运算。
2. 能运用有理数的加法解决实际问题。
3. 会用分类和归纳的思想方法探索有理数加法法则。
小学学过的加法是正数与正数相加、正数与 0 相加. 引入负数后，加法有哪几种情况？
第二个加数
第一个加数
正数
0
负数
正数
正数＋正数
0＋正数
负数＋正数
0
正数＋0
0＋0
负数＋0
负数
正数＋负数
0＋负数
负数＋负数
活动：某班举行知识竞赛，评分标准是：
答对 1 题加 1 分，答错 1 题扣 1 分，不回答得 0 分。 每个参赛队的基本分均为 0 分。
“加 1 分、扣 1 分，得 0 分”、“扣 1 分、加 1 分，得 0 分”可以如何表示？
(+1) + (-1) = 0
(-1) + (+1) = 0
探究一：有理数的加法
（1）第一环节和第二环节各有 5 道题。三个参赛队在前两个环节的得分情况如下表所示，你能把下表补充完整吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}参赛队
第一环节的得分
第二环节的得分
前两个环节的得分之和
算式表示
第一队
2
3
第二队
-2
-3
第三队
-3
2
5
-5
-1
2 + 3 = 5
(-2) + (-3) = -5
(-3) + 2 = -1
－
－
－
－
－
?????
?
?????
?
－
－
－
－
－
(?????)?＋?(?????)?＝?????
?
?????
?
－
（2）小明用????个 表示+????，用????个 表示?????，用 直观表示
（+1）+（?1）=0，用 直观表示（?1）+（+1）=0。他列出了两个算式，并给出了直观的解释，你能理解他的做法吗？
?
＋
＋
－
＋
－
－
（2）小明用????个 表示+????，用????个 表示?????，用 直观表示
（+1）+（?1）=0，用 直观表示（?1）+（+1）=0。他列出了两个算式，并给出了直观的解释，你能理解他的做法吗？
?
＋
＋
－
＋
－
－
－
?????
?
????
?
－
?(?????)?＋???????＝?????
?
＋
＋
＋
＋
－
－
－
?????
?
（3）如果有第四个参赛队，那么第四队前两个环节的得分可能会出现哪些情形，据此可以列出哪些算式？你能直观解释运算过程和结果吗？
解：可能会出现：5 + (-5) = 0 或 -5 + 0 = -5
（1）两个有理数相加，有哪几种情形？你是怎样分类的？
{FABFCF23-3B69-468F-B69F-88F6DE6A72F2}
正
正
0
0
负
负
一
二
正+负
负+正
正+正
0 +正
正+0
0 +0
0 +负
负+0
负+负
2. 异号两数相加
1. 同号两数相加
3. 一个数与0相加
思考·交流
（2）对于（1）中的每种情形，和是怎样确定的？与同伴进行交流。
{FABFCF23-3B69-468F-B69F-88F6DE6A72F2}
正
正
0
0
负
负
一
二
正+负
负+正
正+正
0 +正
正+0
0 +0
0 +负
负+0
负+负
2. 异号两数相加
1. 同号两数相加
3. 一个数与0相加
思考·交流
（+????）+（+????）=?+?????
?
同正
相加
（?????）+（?????）=??????
?
同负
相加
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
1. 同号两数相加
（+????）+（?????）=?+????
?
异号，取“+”
?
相减
（?????）+（+????）=???????
?
异号，取“?”
?
相减
异号两数相加，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值；
绝对值相等时和为0.
（+????）+（?????）=?????
?
绝对值相等
异号
2. 异号两数相加
（+????）+????=????
?
一个数同0相加，仍得这个数.
3. 一个数与0相加
（?????）+????=?????
?
????+????=????
?
有理数加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值．
一个数同0相加，仍得这个数．
互为相反数的两数相加得0.
例1 计算：
(1) 180 + (-10)； (2) (-10) + (-1)；
(3) 5 + (-5)； (4) 0 + (-2)。
解：（1）180 + ( - 10 )
异号两数相加
取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
= + ( 180 - 10 )
= 170.
（2）( - 10 ) + ( - 1 )
同号两数相加
取相同的符号，并把绝对值相加
= - ( 10 + 1 )
= - 11.
（3）5 + ( - 5 )
互为相反数的两数相加
= 0.
（4）0 + ( - 2 )
一个数同0相加
= - 2.
1. 计算：(1) (－2)＋(－6)； (2) (－8)＋0；
(3) 12＋(－8)； (4) (－7.2)＋3.9；
加法计算时：先定和的符号，再算和的绝对值.
解：(1) (－2)＋(－6)＝－(2＋6)＝－8.
(2) (－8)＋0 ＝－8.
(3) 12＋(－8)＝12－8＝4.
(4) (－7.2)＋3.9＝－(7.2－3.9)＝－3.3.
练一练
（1）根据有理数加法法则，如果两个数互为相反数，那么它们的和等于 0。反过来，如果两个数的和等于 0，那么这两个数互为相反数吗？
（2）根据有理数加法法则进行正数或 0 的运算，得到的结果与小学的加法运算一致吗？
两个数的和等于 0，那么这两个数互为相反数。
一致。
思考·交流
（3）一个数加一个正数，所得的和与这个数有怎样的大小关系？一个数加一个负数呢？与同伴进行交流。
a
任何一个数
正数
负数
＋
一个正数
(向右移动某个单位)
大于原来的数
b
b＞a
a
c
c＞a
0
0
思考·交流
a
任何一个数
正数
负数
＋
一个负数
(向左移动某个单位)
小于原来的数
b
b＜a
a
c
c＜a
总结：当 b＞0 时，a＋b＞a ；
当 b＜0 时，a＋b＜a .
0
0
1. 两个有理数的和为零，则这两个有理数一定（ ）
A.都是零 B.至少有一个是零
C.一正一负 D.互为相反数
2. 在 1，-1，-2 这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）
A.1 B.0 C.-1 D.3
D
B
3. 若 |x| = 3，|y| = 2，且 x＞y，则 x + y 的值为（ ）
A. 1 B. -5
C. -5 或 -1 D. 5 或 1
分析：因为 |x| = 3，|y| = 2
所以 x = ±3，y = ±2.
D
因为 x＞y，
所以 x = 3，y = ±2.
所以 x + y = 5 或 1.
4. 计算：
（1）(-3) + (-9)； （2）(-4.7) + 3.9；
（3）(-6) + 6； （4）0 + (-7.1)。
解：（1）(-3) + (-9) = -(3 + 9) = -12；
（2）(-4.7) + 3.9 = -(4.7 - 3.9) = -0.8；
（3）(-6) + 6 = -(6 - 6) = 0；
（4） 0 + (-7.1) = -7.1。
5. 某城市一天早晨的气温是 -25 ℃，中午上升了 11 ℃，夜间又下降了 13 ℃，那么这天中午、夜间的气温分别是多少？
解：中午的气温为 -25 + 11 = -14（℃）；
夜间的气温为 -14 + (-13) = -27（℃）
有理数加法法则
同号两数
绝对值不相等
同 0 相加
取相同的符号，并把绝对值相加
取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值
仍得这个数
同号两数
绝对值相等时
和为 0
第二章 有理数及其运算
2.2 课时2 有理数加法运算律
1. 理解有理数加法运算律。
2. 会运用加法交换律、结合律进行有理数加法简便运算。
3. 掌握加法交换律、结合律在实际运算中的运用。
有理数的加法法则
1.同号两数相加，取________的符号，并把绝对值________．
2.异号两数相加，绝对值相等时和为________；绝对值不等时，取绝对值__________的符号，并用较大的绝对值________较小的绝对值．
3.一个数同0相加，____________．
相同
相加
0
较大的数
减
仍得这个数
巩固练习1．计算(－5)＋(－6)的值是(　　)
A．－11 B．－1 C．1 D．11
巩固练习2．计算(－19)＋20等于(　　)
A．－39 B．－1 C．1 D．39
A
C
如图，数轴上的一个点，从原点出发沿着数轴先向左移动 3 个单位长度，再向右移动 2 个单位长度，到达原点左边 1 个单位长度处。
-3
0
-3
+2
-2
-1
1
-4
-5
（1）根据上图你能写出怎样的算式？这个运算的结果与根据运算法则得到的结果一致吗？
(-3) + 2 = -1
任务一：有理数加法的几何解释
（2）对于 (-3) + (-2)，你能借助数轴解释运算结果吗？
-3
0
-3
-2
-2
-1
1
-4
-5
(-3) + (-2) = -5
② 11 + ( -3) = ____，
( -3) + 11 = ____。
① 2 + ( -4) = ____ ，
( -4) + 2 = ____；
探究一 计算并观察：
-2
-2
8
8
(1) 比较以上各组两个算式的结果，它们有什么关系？每组两个算式有什么特征？
(2) 请你再换几个加数试一试，所得的结果如何？
小学学过的加法交换律在有理数范围内还适用吗？
任务二：有理数加法的交换律与结合律
在有理数的加法中，
两个数相加，交换加数位置，___不变。
和
加法交换律：
a + b = b + a 。
你能用精炼语言表述这一结论吗？
探究二 计算并观察：
[8 + ( -5)] + (-4)， 8 + [( -5) + (-4)]。
两次所得的和相同吗？换几个加数再试试。
类比加法的交换律，用精炼语言表述这一结论。
在有理数的加法中，
三个数相加，先把___两个数相加，或者先把___两个数相加，和不变。
前
后
加法结合律：
(a + b) + c = a + (b + c ).
例1 计算：31 + (-28) + 28 + 69。
解：31+ (-28) + 28 + 69
= 31+ 69 + [(-28)+ 28 ]
= 100 + 0
= 100
（加法交换律和结合律 ）
计算：(1) 20 + (-17) + 15 + (-10)；
解：原式 = 20 + 15 + [(-17) + (-10)]
= 35 + (-27)
= 8
符号相同
(2) (-1.8) + (-6.5) + (-4) + 6.5；
解： 原式 = [(-1.8) + (-4) ]+[(-6.5) + 6.5]
= -5.8 + 0
= -5.8
相反数
练一练
(3) (-12) + 34 + (-38) + 66；
解：原式 = [(-12) + (-38)] + (34 + 66)
= (-50) + 100
= 50
符号相同、
凑整十整百
同分母
(4) 。
解： 原式
请思考我们在哪些情况下会考虑使用加法运算律？
考虑使用加法运算律
互为相反数
符号相同
分母相同
相加得整数
先结合相加
例2 10 袋小麦称后记录如图所示. 10 袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以 90 kg 为标准，10 袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？(请用多种方法解题)
91
91
91.3
88.7
91.5
89
91.2
88.8
91.8
91.1
解法1：先计算 10 袋小麦一共多少千克：
91＋91＋91.5＋89＋91.2＋91.3＋88.7＋88.8＋91.8＋91.1＝905.4 (kg)
再计算总计超过多少千克：
905.4－90×10＝5.4 (kg)
答：10 袋小麦一共 905.4 kg，总计超过 5.4 kg。
解法2：每袋小麦超过 90 kg 的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10 袋小麦对应的数分别为 +1，+1，+1.5，－1，+1.2，+1.3，－1.3，－1.2，+1.8，+1.1
1+1+1.5+(－1)+1.2+1.3+(－1.3)+(－1.2)+1.8+1.1
＝[1+(－1)]+[1.2+(－1.2)]+[1.3+(－1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)
90×10＋5.4＝905.4 (kg)
答：10 袋小麦一共 905.4 kg，总计超过 5.4 kg。
＝5.4 (kg)
1.下列变形中，正确运用加法运算律的是 ( )
B
2. 计算：
（1） 16 + (-25) + 24 + (-35)；
（2） (-2.48) + 4.33 + (-7.52) + (-4.33)。
解：（1）原式 = 16 + 24 + [(-25) + (-35)]
= 40 + (-60)
= -20
（2） 原式 = [(-2.48) + (-7.52) ]+[4.33 + (-4.33)]
= (-10) + 0
= -10
3. 快速公交 B1 某次途经 A，B，C，D 四站时乘客的数量变化情况如下表所示．其中正数表示上车人数，负数表示下车人数。
A 站
B 站
C 站
D 站
－8
－12
－5
－10
＋9
＋7
＋13
＋5
假设到达 A 站前此辆公交上有乘客 20 人。
(1) 从 C 站开出时，有乘客多少人？
(2) 经过这 4 站后，此辆公交上还有乘客多少人？
解：(1) 20＋(－8)＋(＋9)＋(－12)＋(＋7)＋(－5)＋(＋13)
故经过这 4 站后，此辆公交上还有乘客 19 人。
(2) 24＋(－10)＋(＋5)＝[24＋(＋5)]＋(－10)＝19 (人)，
故从 C 站开出时有乘客 24 人。
＝24 (人)，
＝[20＋(－20)]＋[(＋9)＋20]＋(－5)
＝20＋[(－8)＋(－12)]＋(＋9)＋[(＋7)＋(＋13)]＋(－5)
数的加法运算律
有理数加法运算律
加法交换律
加法结合律
两个数相加，交换加数的位置，____不变
三个加数相加，先把__两个数相加，或者先把__两个数相加，____不变
和
前
后
和
a+b=b+a
(a+b)+c= a+(b+c)
第二章 有理数及其运算
2.2 课时3 有理数减法
1. 经历探索有理数减法法则的过程，体会有理数减法与加法的关系。
2. 理解并掌握有理数的减法法则。
3. 能熟练进行有理数的减法运算。
1有理数加法的交换律:a+b= .
2.有理数加法的结合律:(a+b)+c= .
3．计算43＋(－77)＋27＋(－43)的结果是(　　)
A．50 B．－104 C．－50 D．104
4.设a是最小的自然数，b是最小的正整数,c是最大的负整数,则a,b,c三数之和为 .
b+a
a+(b+c)
0
C
复习回顾
.5
-10
0
10
-10
0
10
℃
.5
-10
0
10
-10
0
10
℃
(1) －6－(－12) = ____
借助温度计求出温差，思考有理数减法的计算过程：
6
整体
－6＋[－(－12)] = 6
转化为有理数的加法
－6＋12 = 6
探究：有理数的减法
.5
10
0
10
10
0
10
℃
.5
10
0
10
10
0
10
℃
(2) 9－(－13) = ____
22
整体
9＋[－(－13) ] = 22
9＋13 = 22
借助上面的方法，计算下列算式，从中你有哪些发现？
(1) 3 － (－11) = ____；
(2) 3 ＋ 11 = ____；
(3) 7 － (－13) = ____；
(4) 7 ＋ 13 = ____；
(5) 5 － (－10) = ____；
(6) 5 ＋ 10 = ____.
20
20
15
15
14
14
减法变加法
变成相反数
动手实践
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的_______。
相反数
a － b = a ＋ (－b)
你能用精炼语言表述这一结论吗？
有理数的减法可以转化为加法来进行。
例1 计算：
(1) 9 - (-5)； (2) (-3) - 1；
(3) 0 - 8； (4) (-5) - 0。
（1）9 - (-5) = 9 + 5 = 14；
（2）(-3) - 1 = (-3) + (-1) = -4；
（3）0 - 8 = 0 + (-8) = -8；
（4）(-5) - 0 = (-5) + 0 = -5。
解：
解：(1) (－3)－(－5)＝(－3)＋5＝2.
(2) 0－7＝0＋(－7)＝－7.
(4) 7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12.
1. 计算 (1) (－3)－(－5) (2) 0－7 (3) 2－5
(4) 7.2－(－4.8)
(5)
(3) 2－5＝2＋(－5)＝－3.
(5)
练一练
思考：观察例题中的算式和结果，想一想：一个数减去一个正数，结果会怎样变化？减去一个负数呢？
（1）9 - (-5) = 9 + 5 = 14；
（2）(-3) - 1 = (-3) + (-1) = -4；
（3）0 - 8 = 0 + (-8) = -8；
（4）(-5) - 0 = (-5) + 0 = -5。
一个数减去一个正数，结果会变小
减去一个负数，结果会增大
一个数减去0，结果不变
例2 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔大约是8848.86 m，吐鲁番盆地最低处的海拔大约是 -154.31 m。两处海拔相差多少米？
海平面
珠穆朗玛峰
吐鲁番盆地
8848.86 米
-154.31 米
高度看作 0 米
解：8848.86 - (-154.31)
= 8848.86 + 154.31
= 9003.17 (m)
因此，两处高度相差 9003.17 m。
1. 如图，点 A 与点 D 两处高度相差 ( )
A. 100 m
B. 40 m
C. 80 m
D. 140 m
A
2.若两个不为零的数 a 与 b 的差为负数，根据题意，举例表示具体 a 与 b 的值。
例如：① a ，b 均为正数，举例 a = 2，b = 3；
② a ，b 均为负数，举例____________________；
③ a 为负数，b 为正数，举例________________。
a＝－12，b＝－11
(答案不唯一，仅供参考)
a＝－1，b＝7
解：（1）(+7) - (-4) = 7 + 4 = 11；
（2）(-0.45) - (-0.55) = -0.45 + 0.55 = 0.1；
（3）0 - (-9) = 0 + 9 = 9；
（4）(-4) - 0 = -4；
(1) (＋7)－(－4) ； (2) (－0.45)－(－0.55) ；
(3) 0－(－9)； (4) (－4)－0 ；
(5) (－5)－(＋3)； (6) (－3)－3 。
3. 计算：
（5）(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8；
（6）(-3) - 3 = (-3) + (-3) = -6。
4. 某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得 20 分，答错一题扣 10 分，问答对一题与答错一题得分相差多少分？
解：20－(－10) = 20＋10 = 30 (分)。
答：答对一题与答错一题相差 30 分。
所以当 a = 7，b = 15 时，a - b = -8；
所以 a - b 的值为 ±8 或 ±22。
当 a = 7，b = -15 时，a - b = 22；
当 a = -7，b = 15 时，a - b = -22；
当 a = -7，b = -15 时，a - b = 8。
解：因为 |a| = 7， |b| = 15，
5. 若 |a| = 7， |b| = 15，试求 a - b 的值。
所以 a =±7， b =±15，
有理数减法法则
有理数的减法可以转化为______来进行
减去一个数，等于_____这个数的_______，
用式子表示：
_______________。
加上
相反数
加法
a－b = a＋(－b)
第二章 有理数及其运算
2.2 课时4 有理数的
加减混合运算
1. 熟练掌握有理数的加法和减法运算法则。
2. 能进行有理数的加减混合运算，能适当运用运算律简化有理数的混合运算，培养学生的计算能力。
3. 会从数学的角度理解实际问题，从具体情境中抽象出有理数加减混合运算的问题。
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 ．
字母表示：a－b＝a＋________．
(－b)
巩固练习1．下列各式错误的是(　　)
A．1－(＋6)＝－5 B．0－(＋3)＝－3
C．(＋6)－(－6)＝0 D．(－15)－(－5)＝－10
巩固练习2．下列运算结果为1的是(　　)
A．|＋3|－|＋4| B．|(－3)－(－4)|
C．|－3|－|－4| D．|＋3|－|－4|
C
B
相反数
小学我们就学习过加法和减法属于 运算，在加减混合运算中，按照 的顺序依次运算。
那么，在学习了有理数的加法和减法后，如何进行有理数的加减混合运算呢？
从左到右
事实上，小学学习过的运算顺序同样适用于有理数.
同级
例1 计算：（1） ；
解：（1）原式 =
（2） 。
（2）原式 =
探究一：有理数的加减混合运算
一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表：
高度变化
上升
4.5 km
下降
3.2 km
上升
1.1 km
下降
1.4 km
记 作
＋4.5 km
－3.2 km
＋1.1 km
－1.4 km
4.5 + (-3.2) + 1.1 + (-1.4)
此时飞机比起飞点高了多少千米？
4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4
= 1.3 + 1.1 - 1.4 = 2.4 - 1.4 = 1（km）
= 1.3 + 1.1 + (－1.4) = 2.4 + (－1.4) = 1（km）
思考·交流
4.5 + (-3.2) + 1.1 + (-1.4)
4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4
思考1：比较两种算法，你发现了什么？与同伴进行交流。
总结：有理数的加减混合运算可以统一成加法运算。
思考2：运用有理数的加法运算律，你还能想到什么计算方法吗？
4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4
= 4.5 + 1.1 - 3.2 - 1.4
= 5.6 - 4.6 = 1（km）
运用加法交换律、结合律使同号两数分别相加
探究：例1中（2） 有什么简便方法吗？
解：原式 =
……减法转化成加法
……运用加法交换律使
整数分数分别相加
有理数加减混合运算的步骤：
（1）将减法转化为加法运算；
（2）写成省略加号和括号的形式；
（3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；
（4）按有理数加法法则计算。
例2 计算：
(1) ； (2) 。
= (-1) + (-15) = -16；
解：（1）原式
（2）原式

（1）

（2）

（3）

（4）
练一练
1. 计算：
下表是某一年全年某加油站 92 号汽油价格的调整情况（正号表示比表中前一次调价上涨，负号表示比表中前一次调价下降）：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}时间
1月14日
3月25日
6月
1日
6月30日
7月28日
9月
1日
9月29日
11月9日
价格变化/（元/t）
-140
+290
+400
+600
-220
+300
-190
+480
探究二：有理数的加减混合运算的应用
尝试·思考
与上一年年底相比，11 月 9 日该加油站 92 号汽油价格是上涨了还是下降了？变化了多少元？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}时间
1月14日
3月25日
6月
1日
6月30日
7月28日
9月
1日
9月29日
11月9日
价格变化/（元/t）
-140
+290
+400
+600
-220
+300
-190
+480
解：-140 + 290 + 400 + 600 + (-220) + 300+ (-190) + 480 = 1520（元/t）
答：11 月 9 日汽油价格是上升了，每吨变化了 1520 元。
1. 计算：（1）-11 - 9 - 7 + 6 - 8 + 10；
（2）(-17) - (-8) - (-9) - (+6) - (-14)；
解：（1）原式 = (-11 - 9 - 7 - 8) + (6 + 10)
= -35 + 16 = -19；
（2）原式 = -17 + 8 + 9 - 6 + 14
= (-17 - 6) + (8 + 9 + 14)
= -23 + 31 = 8；
（3）-5.75 - (-3) + (-5) - 3.25；
（4）
（3）原式 = (-5.75 - 3.25) + (3 - 5)
= -9 - 2 = -11；
（4）原式 =
= = 。
2. 小乐某星期微信收发红包的记录如下：收到 22.9 元，发出 9.9 元，收到 8.8 元，发出 35.5 元，收到 2.7 元，发出 6.6 元，收到 0.8 元，这时
她的微信钱包里钱数是增加了还是减少了？增加了或减少了多少钱？
解：记收到红包为正，发出红包为负，故小乐收发红包记录为：
＋22.9、－9.9、＋8.8、－35.5、＋2.7、－6.6、＋0.8
22.9－9.9＋8.8－35.5＋2.7－6.6＋0.8＝－16.8 。
所以她微信的钱数减少了，减少了 16.8 元。
3. 某养护小组乘车沿南北方向公路巡视维护，某天从 A 地出发，约定向南行驶为正，到收工时的行驶记录如下 (单位：千米)：
8，-5，7，-4，-6，13，4，12，-11。
(1) 收工时，养护小组在 A 地的哪一边？距离 A 地多远？
(2) 若汽车行驶每千米耗油 0.5 升，求从出发到收工共耗油多少升。
答案：(1) 养护小组在 A 地的南边，距离 A 地 18 千米。
(2) 从出发到收工共耗油 35 升。
_____________________
有理数加减混合运算
加减混合运算可以统一为____运算
使用加法的______律与______律，可以达到简化运算的目的
交换
加法
a ＋b－c ＝ a ＋b＋(－c )
结合
第二章 有理数及其运算
2.2 课时5 有理数的加减混合
运算的实际应用
1.能运用有理数的加减混合运算解决简单的实际问题。
2.能够灵活处理复杂数据，能感受到折线统计图可以直观地反映事物的变化。
有理数加减混合运算的步骤：
(1)将加减混合运算统一为 运算；
(2)写成 的形式；
(3)运用加法 ，使运算简便 ．
加法
省略括号和加号的和
交换律和结合律
活动1 请按下列规则做游戏：
（1）每人每次抽取 4 张卡片。若抽到白底卡片，则加卡片上的数字；若抽到红底卡片，则减卡片上的数字。
（2）比较两人所抽 4 张卡片的计算结果，结果大的为胜者。
5
-2
-1
0
1.5
3
【点击卡片参与活动】
2.5
????????
?
探究一：有理数的加减混合运算的应用
小丽抽到的 4 张卡片依次为：
0
-3
7
5
她抽到的卡片的计算结果是多少？
解：-3 + 7 - 0 + 5 =
4
4
9
小彬抽到的 4 张卡片依次为：
获胜的是谁？
????????
?
-5
4
因为 9>7
所以小丽获胜。
如图呈现了流花河的水位情况（单位：m），取河流的警戒水位作为 0 点，那么图中的其他数据
可以分别记作什么？
解：最高水位记作：
35.3 - 33.4 = +1.9 m；
平均水位记作：22.6 - 33.4 = -10.8 m；
最低水位记作：11.5 - 33.4 = -21.9 m。
思考·交流
35.3
33.4
22.6
11.5
流花河水位
最高水位
警戒水位
平均水位
最低水位
下表是某年雨季流花河一周内的水位变化情况（正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降；上周日的水位达到警戒水位）。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/m
+0.20
+0.81
-0.35
+0.03
+0.28
-0.36
-0.01
（1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警系水位之上还是之下？到警戒水位的距离分别是多少米？
解：＋0.20＋0.81 = 1.01 m；
1.01＋(－0.35) = 0.66 m；
0.66＋0.03 = 0.69 m；
0.69＋0.28 = 0.97 m；
0.97＋(－0.36) = 0.61 m；
0.61＋(－0.01) = 0.60 m。
周二水位最高，位于警戒线之上，距离警戒线 1.01 m；
周一水位最低，位于警戒线之上，距离警戒线 0.20 m。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/m
+0.20
+0.81
-0.35
+0.03
+0.28
-0.36
-0.01
（2）与上周日相比，本周日河流水位是上升了还是下降了？
（3）完成本周水位记录表：
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录/m
33.60
34.41
34.06
34.09
34.37
34.01
34.00
解：与上周日相比，本周日河流水位是上升了 0.6 m。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化/m
+0.20
+0.81
-0.35
+0.03
+0.28
-0.36
-0.01
（4）以警戒水位为 0 点，在图中画折线表示本周的水位情况。
（5）你还能提出什么数学问题？与同伴进行交流。
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录/m
33.60
34.41
34.06
34.09
34.37
34.01
34.00
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1. 某汽车制造厂计划前半年内每月生产汽车 20 辆，由于另有任务，每月上班人数有变化，1 月至 6 月实际每月生产量和计划每月生产量相比，变化情况如下 (增加为正，减少为负，单位：辆)：
＋3，－2，－1，＋4，＋2，－5.
(1) 生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产多少辆？
解：(＋4)－(－5)＝9 (辆)。
即生产量最多的一个月比生产量最少的一个月多生产了 9 辆。
练一练
(2) 前半年的实际总产量是多少？比计划的总产量多了还是少了？相差多少？
解：(+3) + (-2) + (-1) + (+4) + (+2) + (-5)
= +1 (辆)．
前半年的实际总产量是 20 + 1 = 21 (辆)．
答：前半年的实际总产量是 21 辆，比原计划的总产量多了 1 辆．
1.某地星期一上午的温度是 -7 ℃，中午上升了 8 ℃，下午由于冷空气南下，到夜间又下降了 10 ℃，则这天夜间的温度是 ℃。
-9
2.某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下。（单位：km）
（1）求收工时距 A 地多远？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
-4
+7
-9
+8
+6
-5
-2
解：（1）－4＋7－9＋8＋6－5－2
= －4－9－5－2＋7＋8＋6
= －20＋21 = 1 km；
答：收工时距 A 地 1 km。
（2）由题意得，第一次距 A 地 4 千米；
（2）在第几次记录时距 A 地最远？
第二次距 A 地 －4＋7 = 3 千米；
第三次距 A 地 |－4＋7－9| = 6 千米；
第四次距 A 地 |－4＋7－9＋8| = 2 千米；
第五次距 A 地 |－4＋7－9＋8＋6| = 8 千米；
而第六次、第七次是向相反的方向又行驶了共 7 千米，所以在第五次记录时距 A 地最远。
3. 在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4 个单位长度到达 A 点 ，再向右爬了 2 个单位长度到达 B 点，然后又向左爬了 10 个单位长度到达 C 点，最后向左爬了 2 个单位长度到达 D 点。
(1) 请问点 D 的表示的数是多少？
解：(＋4)＋(＋2)＋(－10)＋(－2) = 6－12 =－6。
答： D 点的表示的数是－6。
(2) 点 A、 点 B 到原点的距离分别是多少？可以列出怎么样的算式.
(3) 点 A 到点 C 距离是多少？可以怎么列算式？
解：4－0＝4，
4＋2－0＝6。
所以点 A、 点 B 到原点的距离分别是 4 个单位长度和 6 个单位长度。
解：点 A：＋4，点 C：(＋4)＋(＋2)＋(－10) = －4，
所以 4－(－4) = 8。
所以点 A 到点 C 距离是 8 个单位长度。
有理数加减法混合运算的步骤为：
方法一：减法转化成加法
1. 减法变加法：a + b - c = a + b + ( -c)；
2. 运用加法交换律和结合律使同号两数分别相加；
3. 按有理数加法法则计算.
方法二：去括号法
1. 去括号；
2. 同号放一起；
3. 进行加减运算.