2.4 有理数的乘方 2025-2026学年数学北师大版（2024）七年级上册

第二章 有理数及其运算
2.4 有理数的乘方
第二章 有理数及其运算
2.4 课时1 有理数的乘方
1. 认识有理数乘方的意义,知道乘方、幂、指数、底数等概念.
2.能根据有理数乘方的意义将有理数的乘方转化为有理数的乘法,并能熟练地进行有理数的乘方运算.
问题1：
(1) 完成下列填空，并说一说这两个式子有什么相同点？
2cm
2cm
S正 =_________ = ____( )
V正 = _________= ____ ( )
2×2
2×2×2
cm2
cm3
4
8
都是相同因数的乘法
探究一：乘方
(2) 这两个过程有什么简单的写法吗？(类比单位的写法)
S正 =__________ = __________= 4 ( cm2 )
V正 = _________= __________ = 8 ( cm3 )
2×2
2×2×2
22
平方厘米
立方厘米
23
2 的平方
2 的二次方
2 的立方
2 的三次方
(3) 这种写法读作什么呢？
类比
类比
问题2：如图，某种细胞每过 30 min 便由 1 个分裂成 2 个。经过 5 h，这种细胞能由 1 个分裂成多少个？
30 min 2 个
1 h 2×2 个
1.5 h 2×2×2 个
… ……
5 h 2×2×…×2×2 个
10 个 2
一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即 ，
记作_____，读作___________.
a 的 n 次方
n 个 a
a · a · … · a
an
n 个 a
a · a · … · a = an
求 n 个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫幂.
幂
_____运算：
乘方
读作：a 的 n 次幂
↓
底数
指数
↗
→ 因数
→ 因数个数
二次方→平方
三次方→立方
为 1 时可省略 ←
例 1 （1）(-5)2 的底数是 ，指数是 ，(-5)2 表示 2 个 相乘，读作 的二次方，也读作 -5 的 ；
（2） 表示 个 相乘，读作 的 次方，也读作 的 次幂，其中 叫作 ，6 叫作
。
-5
2
-5
-5
平方
6
六
六
底数
指数
问题3：类比以上研究，完成下列填空.
(1) (-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2) 记作________，
读作_____________；
(-2)5
-2 的五次方
(-2)5 与 -25 一样吗？为什么？
结果相等，意义不同
(2) 记作________，
读作_______________.
的五次方
与 一样吗？
结果不等，意义不同
例2 计算：
(1) 53； (2) (-3)4； (3) ； (4) -(-2)3。
解：（1）53 = 5×5×5 = 125；
（2）(-3)4 = (-3)×(-3)×(-3)×(-3) = 81；
（4）-(-2)3 = -[(-2)×(-2)×(-2)] = -(-8) = 8。
（3） ；
1. 计算：
(1) 51 = ，52 = ，53 = ；
(2) (-2)2 = ，(-2)3 = ，(-2)4 = ，(-2)4 = ；
(3) = ， = ， = ；
(4) 02 = ， 09 = 。
5
-8
25
125
4
16
-32
0
0
观察幂的正负性，你发现了什么规律？
练一练
1. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
2. 正数的任何次幂都是正数，
0 的任何正整数次幂都是 0。
根据有理数的乘法法则可以得出：
1次
2次
20次
问题4：有一张厚度是 0.1 mm 的纸，将它对折 1 次后，厚度为 2×0.1 mm。
（1）将这张纸对折 2 次后，厚度为多少毫米？
（2）假设可以将这张纸对折 20 次，那么对折 20 次后厚度为多少毫米？
尝试·思考
探究二：规律探究
对折
次数
1次
2次
3次
4次
…
20次
纸的
层数




…


厚度
（mm）




…

22
23
24
220
2
2×0.1
22×0.1
23×0.1
24×0.1
220×0.1
（3）每层楼平均高度为 3 m，这张纸对折 20 次后有多少层楼高？
（1）0.4 mm
（2）104857.6 mm
解：104857.6 mm = 104.8576 m
104.8576÷3 ≈ 35（层）
变式：按如图方式，将一个边长为 1 的正方形纸片分割成 6 个部分.
①的面积是 ；②的面积是 ；
③的面积是 ；④的面积是 ；
⑤的面积是 ；⑥的面积是 .
受此启发，你能求出
的值吗？
1. 下列各组运算中，结果相等的是( )
A. -32 与 -23
B. -23 与 (-2)3
C. -32 与 (-3)2
D. (-3×2)2 与 -3×22
B
2. 如果一个数的 15 次幂是负数，那么这个数的 2 025 次幂是_________。(填“正数”“负数”或“0”)
负数
3. 厚度是 0.1 毫米的足够大的纸，将它对折 1 次后，厚度为 0.2 毫米.
(1) 对折 3 次后，厚度为多少毫米 ?
(2) 对折 7 次后，厚度为多少毫米 ?
(3) 利用计算器计算：对折 30 次后，厚度为多少米？是否超过珠峰的高度（8848.86 米）？
答案：(1) 0.8 毫米. (2) 12.8 毫米.
(3) 107374.1824 米，超过了珠峰的高度.
一项
两项和
三项和
四项和
1
结果
3
7
15
幂
4. 计算：
一般地，n 个相同的因数a相乘，即
乘方
符号规律
负数的奇次幂是______，负数的偶次幂是_______，正数的任何次幂都是______，0 的任何正整数次幂都是_____
求 n 个相同因数的___的运算叫作乘方，乘方的结果叫____；在 an 中，a叫作____，n 叫作______
n 个
a · a · … · a
记作：__________
读作：_____________
负数
正数
正数
0
积
幂
底数
指数
a 的 n 次方
an
第二章 有理数及其运算
2.4 课时2 科学记数法
1.会利用科学记数法表示较大的数,会把科学记数法表示的数还原.
2.经历用科学记数法表示一些大数的过程,建立初步的数感和符号感.
问题1：下列用幂的形式表示的数，原来分别是什么数？
102 =____，
103 =_______，
104 =_______，
105 =_______，
100
1000
10000
100000
108 =____________，
100000000
10n =______________.
1000···0(n 个 0)
探究一：科学记数法
问题2：把下列各数写成 10 的幂的形式.
1000 =____， 1000000 =_____，
10000000 =_____， 1000···0(n 个 0) =_______。
103
10n
106
探究：(1) 等号左边整数中 0 的个数与右边 10 的指数有什么关系？
107
10 ··· 0 = 10n，n 恰好是 1 后面 0 的个数.
n 个 0
光的速度约为 300 000 000 m/s
第七次全国人口普查时，我国全国总人口
约为 1 440 000 000 人
地球半径约为 6 400 000 m
我们可以借用乘方的形式表示大数。
1.44×109
6.4×106
3×108
科学记数法：
一般地，一个大于10的数可以表示成 a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n是正整数，这种记数方法叫作科学记数法。
如何用科学记数法来表示数：
6 4 0 0 0 0 0
小数点原来的位置
小数点最后的位置
小数向左移动了 6 次
6 400 000 = 6.4×106
方法一：小数点往左移动几位，则 10 的指数就是几；
对于小于 -10 的数能否用类似的科学记数法表示？若能，怎么表示？
-2 590 000 = × = 。
-2.59
1 000 000
-2.59×106
想一想
例1 用科学记数法表示下列数据：
（1）赤道长约为 40 000 000 m；
（2）地球表面积约为 510 000 000 km2。
解：（1）40 000 000 m = 4×107 m；
（2）510 000 000 km2 = 5.1×108 km2。
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
位数
科学记数法
10 的指数
40 000 000
4×107
510 000 000
5.1×108
6 400 000
6.4×106
8
6
9
8
7
方法二：用科学记数法表示一个 n 位数，其中 10 的指数为_______.
n - 1
7
探究二：还原用科学记数法表示的数
下列用科学记数法表示的数的原数是什么?
(1) ????.????×????????????= ；(2) ????.????????????×????????????= ；
(3) ????.?????????????????×????????????= ；(4)?????.????????????????×????????????= .
?
????????????????????????
?
????????????????????????????????
?
????????????.????????
?
?????????????????
?
归纳:
????×????????????的原数的整数位数为????＋????，原数等于把????的小数点向右移动????位所得的数，若向右移动时位数不够，则用????补上。注意符号。
?
2016 年，由我国自主研发的“神威·太湖之光”超级计算机运算速度可达到 1 250 000 000 亿次/s。假设一个人每秒可做一次简单的运算，要完成 1 250 000 000 亿次运算大约需要多少年？用科学记数法表示结果，并与同伴进行交流。
60×60×24×365 = 31 536 000（次）
1.25×1018÷31 536 000 ≈ 4×1010（年）
思考·交流
探究三：科学记数法的计算
1. 一个整数 815550···0 用科学记数法表示 8.1555×1010，则原数中“0”的个数为______个.
2. 用科学记数法表示的数 -1.96×104 则它的原数是( )
A. 0.000196
B. -1960
C. 196000
D. -19600
6
D
3. 太平洋最深处是马里亚纳海沟，它的深度是海平面以下 11034 米，记为 －11034 米，用科学记数法表示为 (　　)
A．1.1×104 米 B．1.1034×104 米
C．－11.034×104 米 D．－1.1034×104 米
D
4. 在以下各数中，最大的数为 ( )
A. 7.2×105
B. 2.5×106
C. 9.9×105
D. 1×107
D
5.一个正常人平均每分钟心跳约70次，一年大约跳多少次？用科学记数法表示这个结果。一个正常人一生心跳次数能达到1亿次吗？
一年以365天计算，一天24时，一时60分，一分跳70次；
解：一年大约跳 ：
70 ×60 ×24 ×365=36792000（次）
=3.6792 ×107（次）
不到三年人的心跳次数就能达到1亿次，即一个正常人一生心跳次数能达到1亿次。
一个绝对值大于 10 的数都可记成 a×10n 的形式，其中 a 的取值范围1≤a＜10 .
n 等于原数整数位数减 1.
这种记数方法叫作科学记数法
科学记数法
概念
应用
表示绝对值大于 10 的数
根据科学记数法写原数
n 等于整数位数减 1
原数整数位数等于指数 n 加 1