第5章 二元一次方程
5.3 二元一次方程组的应用
第3课时 图表问题与行程问题
【素养目标】
1. 学会利用二元一次方程组解决图形、行程问题,提高综合素养能力,加强用数学语言描述现实世界的能力,培养模型意识和观念. (重、难点)
2. 自主学习,小组合作交流,通过构建等量关系解决实际问题.
【合作探究】
探究点一:用二元一次方程组解决图表问题
已知: 长方形 , ,将长方形 分割为两个小长方形,长方形 1 号和长方形 2 号分别种甲、乙作物,甲、 乙单位面积产量的比是 . 怎样划分这块长方形 ,使甲、乙两种作物的总产量的比是
你能设计出什么样的方案
分析: 1.将一个长方形分成两个小长方形.
① 竖画: ② 横画:
2. 找等量关系:
① 大长方形的长 ____________；
② 甲、乙两种作物总产量比 __________.
3. 列方程解决问题:
① 竖画；
② 横画；
例1 8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形,每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少
(1) 这个问题涉及哪些量？ 这些量之间有怎样的等量关系
(2) 你能列方程组解决这个问题吗？
【练一练】
1.一批货物要运往某地,货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车,已知过去两次租用这两种货车的情况如下表:
表: 第一次 第二次
甲种货车的车辆数 2 5
乙种货车的车辆数 3 6
累计运货吨数 15.5 35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货,如果按每吨付运费30元计算, 你能算出货主应付运费多少元吗？
探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题
例2 火车以 的速度经过一个隧道,从车头进入隧道到车尾驶出隧道,共用时 ,其中火车全身都在隧道里的时间是 ,求隧道和火车的长度.
思考: 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的
【练一练】
2. 甲、乙两地相距 ,以各自的速度同时出发. 如果同向而行,甲 追上乙；如果相向而行,两人 后相遇. 试问两人的速度各是多少
3. 两地相距 ,一艘轮船在其间航行, 顺流用 ,逆流用 ,求这艘轮船在静水中的速度和水流速度。
【总结】顺水(风)速度 静水(风)速度+水(风)速；
逆水(风)速度 静水(风)速度-水(风)速:
当堂反馈
1. 根据所给信息, 请你求出每只玩具小猫和玩具小狗的价格(单位:元). 若设玩具小猫的价格为 元, 玩具小狗的价格为 元,则可得方程组为____________.
第1题图 第3题图
2. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路. 如果上坡平均每小时走 ,下坡平均每小时走 ,那么从甲地走到乙地需要 15 min,从乙地走到甲地需要 . 则从甲地到乙地上坡路程和下坡路程分别为____________.
3. 如图,长方形 是由 7 个大小相同的小长方形组成的,长方形 的周长是 则每一个小长方形的面积是________.
4. 某中学新建的塑胶操场跑道一圈长 ,甲、乙两名运动员从同一起点同时出发,相背而跑, 40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑, 200 s后甲首次追上乙, 求这两名运动员的速度.
参考答案
探究点一:用二元一次方程组解决图表问题
分析: 2. 找等量关系: ① 大长方形的长 ；
② 甲、乙两种作物总产量比 .
3. 列方程解决问题:
① 竖画；
解: 设 . 则有: 解得
② 横画；
解:设 .则有: 解得
例1 (1) 大长方形的长和宽小长方形的长和宽
等量关系: 大长方形的长小长方形的宽+小长方形的长
大长方形的宽 小长方形的长+小长方形的长
(2)列方程组求解 设小长方形墙砖的长为 , 宽为 。
根据上述等量关系列方程组:
所以每块小长方形墙砖长是 ,宽是 。
【练一练】1.解: 设甲、乙两种货车每次分别运货 吨、 吨,
总运费为: .
例2 解:“从车头进入隧道到车尾驶出隧道” “火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图1、图2表示。
设隧道的长度为 ,火车的长度为 ,
根据题意, 得
所以,隧道和火车的长度分别是 和 。
【练一练】2. 解: 设甲、乙的速度分别为 . 根据题意与分析中图示的两个相等关系,得
解方程组,得
答:甲的速度为 ,乙的速度为 .
3.解: 设这艘船在静水中的速度为 ,水流速度为 . 依题意,得
解得
答:这艘船在静水中的速度为 ,水流速度为 。
当堂反馈
1. 2. 0.1 km , 0.6 km . 3. 3.
4. 解: 设甲运动员的速度为 ,乙运动员的速度为 ,
由题意得 解得
经检验, 符合题意.
答:甲运动员的速度为 ,乙运动员的速度为 .(共22张PPT)
5.3 二元一次方程组的应用
第3课时 图表问题与行程问题
1. 学会利用二元一次方程组解决图形、行程问题，提高综合素养能力，加强用数学语言描述现实世界的能力，培养模型意识和观念.(重、难点)
2. 自主学习，小组合作交流，通过构建等量关系解决实际问题.
已知：长方形 ABCD， AB = CD = 200 m，AD = BC = 100 m，将长方形 ABCD 分割为两个小长方形，长方形 1 号和长方形 2 号分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是 1∶2. 怎样划分这块长方形 ABCD，能使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？
分析：问题实质
长方形的面积分割问题.
你能设计出什么样的方案？
分析：1.将一个长方形分成两个小长方形.
① 竖画：
② 横画：
① 大长方形的长 = 200 m；
② 甲、乙两种作物总产量比 = 3∶4.
2. 找等量关系：
3. 列方程解决问题：
探究点一：用二元一次方程组解决图表问题
① 竖画；
解：如左图所示分割，
设 AE＝ x m，BE＝ y m.
则有：
解得
x
y
探究点一：用二元一次方程组解决图表问题
x＋y＝200，
100x∶200y＝3∶4.
x＝120，
y＝80.
② 横画；
解：如左图所示分割，
设 DE＝ x m，AE＝ y m.
则有：
解得
x
y
探究点一：用二元一次方程组解决图表问题
x＋y＝100，
200x∶400y＝3∶4.
x＝60，
y＝40.
例1 8 块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少
40
探究点一：用二元一次方程组解决图表问题
(1) 这个问题涉及哪些量 这些量之间有怎样的等量关系
大长方形的长和宽
小长方形的长和宽
等量关系：
2×大长方形的长＝3×小长方形的宽＋小长方形的长
大长方形的宽＝小长方形的长＋小长方形的宽
(2) 你能列方程组解决这个问题吗
40
探究点一：用二元一次方程组解决图表问题
设小长方形墙砖的长是 x cm，
宽是 y cm.
根据上述等量关系列方程组：
所以每块小长方形墙砖的长是 30 cm，宽是10 cm.
解得
【练一练】1.一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：
第一次 第二次
甲种货车的车辆数 2 5
乙种货车的车辆数 3 6
累计运货吨数 15.5 35
现租用该公司 3 辆甲种货车和 5 辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨 30 元付运费，那么货主应付运费多少元？
探究点一：用二元一次方程组解决图表问题
解：设甲、乙两种货车每次分别运货 x 吨、y 吨，则
解得
x = 4，
y = 2.5.
2x + 3y = 15.5，
5x + 6y = 35.
第一次 第二次
甲种货车的车辆数 2 5
乙种货车的车辆数 3 6
累计运货吨数 15.5 35
总运费为 30×(3×4 + 5×2.5) = 735（元）.
探究点一：用二元一次方程组解决图表问题
例3 火车以 40 m/s 的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时 30 s ，其中火车全身都在隧道里的时间是 20 s ，求隧道和火车的长度.
分析：本题涉及哪些量？
你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗？
这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间有什么关系？
类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，相信你也可以得到相应的关系！
探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题
火车
火车
火车
火车
解：“从车头进人隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用图1、图2表示。
图 1
图 2
30 s
20 s
探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题
设隧道的长度为 x m，火车的长度为 y m，根据题意，得
解得
∴隧道和火车的长度分别是 1000 m 和 200 m.
探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题
找等量关系
审题
设元
列方程组
解方程组
检验作答
2个未知数
根据等量关系
代入法
加减法
思考：列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的
探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题
【练一练】2. 甲、乙两地相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
探究点二: 用二元一次方程组解决行程问题
(1) 同时出发，
同向而行
甲出发点
乙出发点
4 km
甲追上乙
乙 2 h 行程
甲 2 h 行程
甲 2 h行程 = 4 km + 乙 2 h行程
(2) 同时出发，
相向而行
甲出发点
乙出发点
4 km
甲 0.5 h 行程
乙 0.5 h 行程
甲0.5 h行程 + 乙0.5 h行程 = 4 km
相遇地
解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得
解方程组，得
答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h.
2x－2y＝4，
0.5x＋0.5y＝4.
x＝5，
y＝3.
【练一练】3.两地相距 280 km，一艘轮船在其间航行，顺流用 14 h，逆流用 20 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.
【总结】顺水(风)速度＝静水(风)速度＋水(风)速；
逆水(风)速度＝静水(风)速度－水(风)速.
解：设这艘船在静水中的速度为 x km/h，
水流速度为 y km/h. 依题意，得
解得
答:这艘船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.
图表问题
行程问题
① 路程 = 时间×速度；
追及问题：快车路程-慢车路程=被追路程.
相遇问题：两者路程之和=两者开始的距离.
② 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；
逆水速度 = 静水速度 - 水流速度.
1. 根据所给信息，请你求出每只玩具小猫和玩具小
狗的价格(单位：元).若设玩具小猫的价格为x元，
玩具小狗的价格为y元，则可得方程组为
.
2. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路.如果上
坡平均每小时走 2 km，下坡平均每小时走 3 km，那
么从甲地走到乙地需要 15 min，从乙地走到甲地需
要 20 min.则从甲地到乙地上坡路程和下坡路程分别
为 .
0.1 km，0.6 km
3. 如图，长方形ABCD是由 7 个大小相同的小长方形组成的，长方形ABCD的周长是19，
则每一个小长方形的面积是 .
3
4. 某中学新建的塑胶操场跑道一圈长400 m，甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求这两名运动员的速度.
解：设甲运动员的速度为xm/s，
乙运动员的速度为ym/s，
由题意得
解得
经检验，符合题意.
答：甲运动员的速度为6m/s，乙运动员的速度为4m/s.
