1.3 几何证明举例 课件（共44张PPT）2025-2026学年数学青岛版（2024）八年级上册

(共44张PPT)
1.3 几何证明举例
第1章 推理与证明
1.3 课时1 平行线的性质定理和判定定理
第1章 推理与证明
1.能证明平行线的性质和判定定理，并能应用它们解决其他证明问题．
2.了解互逆命题、逆定理的概念，能判断逆命题的真假.
学习目标
在七年级下册我们曾探索了哪些平行线的性质和判定方法？
性质 判定
两直线平行，同位角相等 同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补 同旁内角互补，两直线平行
怎样用有关的基本事实、平行线的性质定理1以及已经证实了的定理证明平行线的其它性质和判定方法呢？
注：性质定理1，现阶段不用证明，直接作为结论应用于各种证明问题中.
(性质定理1)
(基本事实)
复习导入
任务一：证明平行线的性质和判定定理，并应用它们解决其他证明问题．
活动1：运用已学的命题证明知识，解决下列证明问题.
(1)证明平行线的性质定理 2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
①指出定理的条件和结论，并画出图形，结合图形写出已知、求证．
②试着写出证明过程，与同学交流，说说你的证明思路.
已知：如图1，直线a∥b，∠1，∠2是直线a，b被直线c所截得的内错角.
求证：∠1 =∠2 .
证明：因为a∥b（已知），
所以∠3 = ∠2（两直线平行，同位角相等）.
因为∠1 = ∠3（对顶角相等），
所以∠1 = ∠2（等量代换）.
a
b
c
3
1
2
如图1
活动探究
试一试：你能沿用问题1所画的图，去证明“平行线的性质定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补”吗？试独立完成.
a
b
c
3
2
1
4
已知：如图2，直线a∥b，∠2，∠4是直线a，b被直线c所截得的同旁内角.
求证：∠2 +∠4 = 180°.
证明： 因为∠1 = ∠2（两直线平行，内错角相等），
∠1 +∠4 = 180°（平角的定义），
所以∠2 + ∠4= 180°（等量代换）.
如图2
(2)借助同位角的基本事实或已证定理，你能证明“平行线的判定定理 1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行”吗？
已知：如图3，直线AB，CD被EF所截，∠1 = ∠2 .
求证：AB∥CD.
证明：因为∠2 = ∠3（对顶角相等），
∠1 = ∠2（已知），
所以∠1 = ∠3（等量代换）.
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
B
D
E
3
2
1
A
C
F
如图3
思考
如何证明“平行线的判定定理2：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行” 与同学交流，说说你的证明依据.
活动2：阅读并理解下面的证明过程，思考每步后的括号内应填写的推理依据.
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB，CD分别交于点P和Q，AB⊥EF.
求证：CD⊥EF .
证明：因为AB∥CD（ ），
所以∠EPB = ∠PQD（ ）.
因为AB⊥EF（ ），
所以∠EPB是直角（ ）.
所以∠PQD是直角（ ）.
所以CD⊥EF（ ）.
已知
两直线平行，同位角相等
已知
垂直的定义
等量代换
垂直的定义
任务二：了解互逆命题、逆定理的概念，能判断逆命题的真假.
活动：分析下面的两个命题，你发现它们的条件和结论之间有什么关系？
(1)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.
把一个命题的条件和结论交换后,就构成了一个新命题.这两个命题叫做互逆命题.
原来的命题叫做原命题,新的命题叫做原命题的逆命题.
思考：你能说出下列命题的逆命题吗？它们的逆命题是真是假？
(1)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
(2)对顶角相等.
一个命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是原定理的逆定理.
1.说出下列命题的逆命题，并指出它们是真命题还是假命题.
（1）如果两个角相等，那么这两个角的补角相等.
（2）全等三角形的对应角相等.
解:（1）如果两个角的补角相等，那么这两个角相等.(真命题)
（2）如果两个三角形的三个对应角相等，那么这两个三角形全等.(假命题)
当堂检测
2.已知：如图，∠1=∠2.求证：∠3+∠4=180°.
A
B
C
D
1
2
3
4
证明：因为∠1=∠2（ 已知 ），
所以AB//CD（同位角相等，两直线平行).
所以∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角相等）.
针对本节课的关键词“平行线的定理”，你能说说学到了哪些知识吗？
平行线的判定定理
互逆命题 逆定理
平行线的性质定理
课堂总结
1.3 课时2 三角形内角和定理及推论
第1章 推理与证明
1.理解并掌握三角形内角和定理及其推论的证明方法；
2.掌握直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用于相关证明.
学习目标
怎样才能验证三角形三个内角的和等于180°的真实性呢？
我们曾用拼接的方式，将三角形的三个内角拼成了一个平角，得到三角形的三个内角之和等于180°.现在，请同学们动手，在纸上任意画一个三角形，把三角形纸片的三个内角撕下来，拼成一个平角，有哪些拼接方法呢？
B
B
C
A
C
A
A'
B'
B'
C'
方法1
方法2
E
E
D
D
课堂导入
任务一：证明三角形内角和定理及其推论.
活动1：小组合作交流，证明命题三角形三个内角的和等于180°的真实性
（1）根据前面展示的三角形图片，写出上述命题的已知和求证
（2）你能表述方法1、方法2的作法吗？与同学交流.
A
B
C
D
E
1
2
为了证明的需要，在原图形上添加的线叫做辅助线，辅助线通常画成虚线.
法1：延长BC到D,过点C作射线CE∥BA(图①)，这相当于把∠A、∠B分别移到∠1、∠2的位置.
法2：过点A作直线DE∥BC(图②),这相当于把∠B、∠C分别移到∠1、∠2的位置.
A
B
C
D
E
1
2
图①
图②
活动探究
（3）你能用（2）中所作的两种辅助线的方法，分别证明上述命题吗？试一试.
证明：
法1：延长BC到D，过点C作射线CE∥BA，
∴∠A=∠1(两直线平行，内错角相等).
∠B=∠2(两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定义),
∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°
法2：过点A作PQ∥BC，
∴∠1=∠B(两直线平行，内错角相等).
∠2=∠C(两直线平行，内错角相等).
∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定义)，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换).
以上证明是从平角的角度构造辅助线，你还能想到从什么角度构造辅助线去证明？尝试画出辅助线，与同学交流.
构造两平行线间的同旁内角
A
B
C
E
3
4
1
2
思考
A
B
C
活动2：独立思考，应用已学的三角形内角和定理，解决下列问题.
A
B
C
D
E
1
2
图①
∵∠A +∠B+∠ACB = 180°（三角形内角和定理），
∴∠A +∠B = 180°-∠ACB（等式的基本性质），
∵∠ACD +∠ACB = 180°（平角的定义），
∴∠ACD = 180°-∠ACB（等式的基本性质），
∴∠ACD = ∠A +∠B（等量代换）.
∴∠ACD >∠A，∠ACD >∠B.
观察图①，∠ACD是三角形的一个外角，∠A与∠B是与∠ACD不相邻的两个内角.
（1）∠ACD与其相邻的内角∠ACB有何数量关系？
（2）∠ACD与其不相邻的内角∠A，∠B有何数量关系？
由基本事实或定理直接推出的真命题叫做推论.它可作为定理使用.
推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角.
活动小结
任务二：掌握直角三角形的性质定理和判定定理，能用于相关证明.
活动1：小组合作交流：
在Rt△ABC中,∠C=90°，两个锐角∠A与∠B有什么数量关系
在Rt△ABC中, 因为∠A+∠B+∠C=180°,
所以∠A+∠B=180°-∠C.
因为∠C=90°,
所以∠A+∠B=90°.
反过来，在△ABC中, ∠A+∠B=90° ， △ABC是直角三角形吗
在△ABC中, 因为∠A+∠B=90° （已知）
∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理）,
所以∠C =180°-（ ∠A+∠B ）=90°（等式的性质）.
所以△ABC是直角三角形.
直角三角形的性质定理 直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
活动2：如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上的一点.过D作DE⊥AB，DF⊥BC,垂足分别为点E，D.求证:∠FDE=∠C.
证明:因为DE⊥AB,DF⊥BC(已知),
所以∠DEB=90°,∠FDC=90°
(垂直的定义).
因为∠EDC是△EBD的外角(已知),
所以∠EDC=∠B+∠DEB(三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和).
所以∠FDE+∠FDC=∠B+∠DEB.
所以∠FDE+90°=∠B+90°(等量代换).
所以∠FDE=∠B(等式的基本性质).
因为∠B=∠C(已知),
所以∠FDE=∠C(等量代换).
活动2：如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC边上的一点.过D作DE⊥AB，DF⊥BC,垂足分别为点E，D.求证:∠FDE=∠C.
1.如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于（ ）
F
A
B
E
C
D
A.26° B.63° C.37° D.60°
A
当堂检测
2.证明：四边形四个内角和等于360°.
证明：如图所示四边形，连接其对角线，将四边形分割成两个三角形.而三角形内角和为180°，所以四边形内角和为360°.
针对本节课的关键词“三角形内角和定理”，你能说说学到了哪些知识吗？
借助辅助线，证明三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°
推论
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
课堂总结
1.3 课时3 反证法
第1章 推理与证明
学习目标
1.理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，会用反证法证明一些简单的数学命题.（重点）
2.会正确地提出反设，会根据反设推出矛盾.（难点）
课堂导入
一般地证明，都是从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理或推论可以直接证得结论.
前面我们学习了命题的证明.
当一个命题从已知条件出发不易直接证得结论时,还有其他方法吗
活动探究
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点G、H.
求证：∠1=∠2.
A
C
B
D
E
F
G
H
A`
B`
1
2
证明:假设∠1≠∠2.
过点G作直线A'B',使∠EGB'=∠2.
∴A'B'∥CD(同位角相等,两直线平行).
∵AB∥CD(已知),
∴过点G 就有两条直线AB,A'B'与直线CD 平行.
∴∠1≠∠2的假设是不成立的.
这与基本事实 “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
∴∠1=∠2.
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点G、H.
求证：∠1=∠2.
A
C
B
D
E
F
G
H
A`
B`
1
2
这种证明方法有怎样的特点
这种证明方法不是从已知条件出发直接证得结论的，
而是从结论的反面出发证明的结论与“基本事实”矛盾.
证明方法的特点：
思考
这种先提出与命题的结论相反的假设,再从假设出发推出矛盾,从而证明命题成立的方法叫作反证法.
反证法的定义：
反证法包括了哪几个步骤
概括与表达
③ 肯定结论———由矛盾判定假设不成立,从而证明命题成立.
用反证法证明一个命题,一般有三个步骤:
① 否定结论———假设命题的结论不成立；
② 推出矛盾———从假设出发,根据已知条件,经过推理,得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果；
活动小结
练一练
1.用反证法证明命题“直角三角形中至少有一个内角不大于45°”时,首先应假设这个三角形中（ ）
A.每一个内角都小于45° B.每一个内角都大于45°
C.有一个内角大于45° D.有一个内角小于 45°
B
2.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C >180°，这与三角形内角和为180°相矛盾,所以∠A=∠B=90°不成立;
②所以一个三角形中不能有两个直角;
③假设三角形的三个内角∠A,∠B,∠C中有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°.正确的顺序应( )
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①②
D
例1.证明:平行于同一条直线的两条直线平行.
a
b
c
已知:如图,直线a∥c,b∥c.
求证:a∥b.
分析：a、b平行的反面是不平行，那就相交.
典例精析
∴a∥b.
证明:假设直线a与b不平行,
∵a∥c,b∥c(已知),
∴过点P有两条直线a,b都与直线c平行.
这与基本事实 “过直线外一点有且
只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
∴直线a与b不平行的假设是不成立的.
a
b
c
P
那么a与b相交,设交点为P.
解答时一定要注意找准它们的否定词.
用反证法证明的常见类型有三种:
(1)证明“否定性”命题;(“不能，不是”等词语）
(2) 证 明“至多”“至少”型命题；
(3)证明“唯一性”命题.
活动小结
当堂检测
1.用反证法证明:若abc=0,则a,b,c至少有一个为0,应该假设( )
A.a,b,c没有一个为0
B.a,b,c只有一个为0
C.a,b,c至多一个为0
D.a,b,c三个都为0
A
2.用反证法证明:
已知:a<|a|,求证:a必为负数.
∴假设不成立，
证明:假设a≥0.则|a|=a,
这与已知 a<|a|相矛盾.
∴a必为负数.
课堂总结
1.反证法本质：
通过“否定结论→推导矛盾→肯定原结论”的间接证明方法
2. 三步骤流程（逻辑闭环）
步骤 关键操作
① 否定结论 假设命题结论不成立
② 推出矛盾 结合已知条件，推导出矛盾
③ 肯定结论 因假设不成立，原命题得证