14.3 角的平分线（共2课时，38张PPT）2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册
文档属性
| 名称 | 14.3 角的平分线（共2课时，38张PPT）2025-2026学年数学人教版（2024）八年级上册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 435.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-09-14 07:50:46 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
14.3 角的平分线
课时1 角平分线的性质
第十四章 全等三角形
01
会用尺规作一个角的平分线.
02
探索并证明角的平分线的性质，能用角的平分线的性质解决简单问题.
怎样得到已知角的角平分线？
A
O
B
1.度量法；
2.折纸法．
C
思考：能利用简单的直尺和圆规作出一个角的角平分线吗？
任务一：用尺规作角的平分线.
活动1：探究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN ？
C
A
B
O
M
N
P
当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN ？
C
A
B
O
M
N
P
OP = OP，∠POM =∠PON，
在△OPM 和△OPN 中，
如果 OM = ON，
那么△OPM △OPN (SAS)
就有 PM = PN.
问题：反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN，点P在∠AOB的角平分线上吗？
A
B
O
M
N
P
OP = OP，OM = ON，PM = PN，
连接 OP，在△OPM 和△OPN 中，
那么△OPM △OPN (SSS)，
就有∠POM =∠PON.
即点 P 在∠AOB 的平分线上.
活动2：探究角平分线的作法.
思考1：由活动1的结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？其依据是什么？
可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点；
再在角的内部作出与这两点距离相等的点；
以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
A
B
O
M
N
P
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
动手：已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：(1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
A
B
O
M
N
C
(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所求.
思考2：为什么以大于MN的长为半径作弧？
A
B
O
M
N
以小于MN的长为半径，两弧无交点；
以等于MN的长为半径，不易操作.
任务二：角的平分线的性质.
活动1：角平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系.
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，
P3D3 = P3E3······
问题：给出你关于角平分线的点与角两边上的点所连线段的猜想.
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，
P3D3 = P3E3······
活动2：验证猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
思考1：这里的“已知”和“求证”分别是什么？
已知：一个点在一个角的平分线上.
求证：这个点到这个角两边的距离相等.
P
A
O
B
C
D
E
分析：证明△OPD△OPE
PD = PE
思考2：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE.
思考2：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO △PEO(AAS).
∴PD=PE.
∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC.
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD= PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
P
A
O
B
C
D
E
1.如图所示，已知：OC为∠AOB的平分线,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.∠AOB=60°，PD=3.则∠DPO= ，PE= .
O
B
A
C
P
D
E
60°
3
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
2. 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E、F.求证：EB=FC.
针对本课关键词“角平分线的性质”，回答以下问题.
1.说说证明几何命题的一般步骤.
2.角的平分线的性质的作用是什么？在应用这一性质时要注意哪些问题？
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
C
2.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．
（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）.
解：作∠AOB的平分线交MN于点P，则点P满足条件.
O
B
A
N
M
P
证明：∵DE⊥AB于E，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴CD=DE，
∴△ACD≌△BED(SAS)，
∴AD=BD.
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AC=BE．求证：AD=BD.
CD=DE
∠C=∠DEB
AC=BE
B
C
D
E
A
在△ACD与△BED中
14.3 角的平分线
课时2 角平分线的判定
第十四章 全等三角形
01
理解角平分线判定定理.
02
掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
03
学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
S
思考：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
任务一：角平分线的判定.
猜想:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
活动1：回忆角的平分线的性质，如果交换其中的已知和结论，所得的结论是否依然成立？你能用以前学过的知识证明吗？和同伴交流.
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP，
B
A
D
O
P
E
证明猜想：
角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
书写格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
B
A
D
O
P
E
角的平分线的性质及判定的关系
点在角的平分线上
角的内部，点到角两边距离相等
性质
判定
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
任务二：判断一个点是否在一个角的平分线上.
活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(1)点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；
(2)△ABC 的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
分析:（1）△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，所以点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等.
活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(1)点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；
A
B
C
P
N
M
证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 .
D
E
F
活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(2)△ABC 的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
D
E
F
分析:（2）要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上．
活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(2)△ABC 的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
D
E
F
证明：（2）由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，
∴点 P 在∠A 的平分线上 .
∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
A
B
C
P
N
M
D
E
F
问题：这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线交于内部一点，并且这点到三边的距离相等.
（这个点叫三角形的内心）
2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为( )
A．35° B．125°
C．55° D．135°
B
针对本课关键词“角平分线的判定”，说说你学到了什么？
角平分线
的判定定理
角的内部到角两边距离相等的点
在这个角的平分线上
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
内容
作用
1.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 若S△ABC=28，DE=4，AB=8，则AC长是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
C
证明：过点P作PF，PG，PH分别
垂直于直线AB，BC，CA，垂足分别为F,G,H.
∵点P在△ABC的外角的平分线上，∴PF＝PG.
同理可证PH＝PG,
∴PF＝PG＝PH,
∴P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
2.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD和∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．
A
B
C
P
D
E
H
F
G
14.3 角的平分线
课时1 角平分线的性质
第十四章 全等三角形
01
会用尺规作一个角的平分线.
02
探索并证明角的平分线的性质，能用角的平分线的性质解决简单问题.
怎样得到已知角的角平分线？
A
O
B
1.度量法；
2.折纸法．
C
思考：能利用简单的直尺和圆规作出一个角的角平分线吗？
任务一：用尺规作角的平分线.
活动1：探究角的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系.
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一些特殊情况. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是 OC 上的任意一点，M，N 分别是 OA，OB 上的点，当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN ？
C
A
B
O
M
N
P
当 OM 与 ON 满足什么关系时，PM = PN ？
C
A
B
O
M
N
P
OP = OP，∠POM =∠PON，
在△OPM 和△OPN 中，
如果 OM = ON，
那么△OPM △OPN (SAS)
就有 PM = PN.
问题：反过来，如图，M，N分别是∠AOB的边OA，OB上的点，OM = ON，点 P 在∠AOB 的内部，PM = PN，点P在∠AOB的角平分线上吗？
A
B
O
M
N
P
OP = OP，OM = ON，PM = PN，
连接 OP，在△OPM 和△OPN 中，
那么△OPM △OPN (SSS)，
就有∠POM =∠PON.
即点 P 在∠AOB 的平分线上.
活动2：探究角平分线的作法.
思考1：由活动1的结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？其依据是什么？
可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点；
再在角的内部作出与这两点距离相等的点；
以角的顶点为端点，作过这个点的射线，就能得到角的平分线了.
A
B
O
M
N
P
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
动手：已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
作法：(1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
A
B
O
M
N
C
(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所求.
思考2：为什么以大于MN的长为半径作弧？
A
B
O
M
N
以小于MN的长为半径，两弧无交点；
以等于MN的长为半径，不易操作.
任务二：角的平分线的性质.
活动1：角平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关系.
如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P1，P2，P3，···在 OC 上，过点 P1，P2，P3，···分别画 OA 与 OB 的垂线，垂足分别为 D1 与 E1、D2 与 E2、D3 与 E3······. 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3······，你有什么发现？
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，
P3D3 = P3E3······
问题：给出你关于角平分线的点与角两边上的点所连线段的猜想.
C
A
B
O
D1
E1
P1
D2
E2
P2
D3
E3
P3
D4
E4
P4
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
P1D1 = P1E1，P2D2 = P2E2，
P3D3 = P3E3······
活动2：验证猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等.
思考1：这里的“已知”和“求证”分别是什么？
已知：一个点在一个角的平分线上.
求证：这个点到这个角两边的距离相等.
P
A
O
B
C
D
E
分析：证明△OPD△OPE
PD = PE
思考2：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE.
思考2：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证 PD = PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO △PEO(AAS).
∴PD=PE.
∵OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC =∠BOC.
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD= PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
证明几何命题的一般步骤：
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
P
A
O
B
C
D
E
1.如图所示，已知：OC为∠AOB的平分线,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.∠AOB=60°，PD=3.则∠DPO= ，PE= .
O
B
A
C
P
D
E
60°
3
A
B
C
D
E
F
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
2. 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E、F.求证：EB=FC.
针对本课关键词“角平分线的性质”，回答以下问题.
1.说说证明几何命题的一般步骤.
2.角的平分线的性质的作用是什么？在应用这一性质时要注意哪些问题？
1.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，AD=3CD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
C
2.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等．
（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）.
解：作∠AOB的平分线交MN于点P，则点P满足条件.
O
B
A
N
M
P
证明：∵DE⊥AB于E，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴CD=DE，
∴△ACD≌△BED(SAS)，
∴AD=BD.
3.如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，AC=BE．求证：AD=BD.
CD=DE
∠C=∠DEB
AC=BE
B
C
D
E
A
在△ACD与△BED中
14.3 角的平分线
课时2 角平分线的判定
第十四章 全等三角形
01
理解角平分线判定定理.
02
掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
03
学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
S
思考：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
任务一：角平分线的判定.
猜想:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
活动1：回忆角的平分线的性质，如果交换其中的已知和结论，所得的结论是否依然成立？你能用以前学过的知识证明吗？和同伴交流.
角的平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP，
B
A
D
O
P
E
证明猜想：
角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
书写格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
B
A
D
O
P
E
角的平分线的性质及判定的关系
点在角的平分线上
角的内部，点到角两边距离相等
性质
判定
角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
小区C
P
A
O
B
M
N
任务二：判断一个点是否在一个角的平分线上.
活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(1)点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；
(2)△ABC 的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
分析:（1）△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P，所以点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等.
活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(1)点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；
A
B
C
P
N
M
证明：(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F.
∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，
∴PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 .
D
E
F
活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(2)△ABC 的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
D
E
F
分析:（2）要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上．
活动：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P.
求证：(2)△ABC 的三条角平分线交于一点.
A
B
C
P
N
M
D
E
F
证明：（2）由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，
∴点 P 在∠A 的平分线上 .
∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
A
B
C
P
N
M
D
E
F
问题：这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线交于内部一点，并且这点到三边的距离相等.
（这个点叫三角形的内心）
2.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A=70°，则∠BOC的度数为( )
A．35° B．125°
C．55° D．135°
B
针对本课关键词“角平分线的判定”，说说你学到了什么？
角平分线
的判定定理
角的内部到角两边距离相等的点
在这个角的平分线上
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点
内容
作用
1.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 若S△ABC=28，DE=4，AB=8，则AC长是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
C
证明：过点P作PF，PG，PH分别
垂直于直线AB，BC，CA，垂足分别为F,G,H.
∵点P在△ABC的外角的平分线上，∴PF＝PG.
同理可证PH＝PG,
∴PF＝PG＝PH,
∴P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
2.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD和∠ACB的外角的平分线CE相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等．
A
B
C
P
D
E
H
F
G
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