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5.4 二元一次方程与一次函数
第2课时 用二元一次方程组确定
一次函数表达式
1. 会用二元一次方程组求一次函数表达式，解决实际问题.(重点)
2. 通过方程组与函数的对应关系和数形结合思想，掌握用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法.(难点)
1. 二元一次方程组与一次函数有何联系
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解．
2. 二元一次方程组有哪些解法？
消元法
图象法
是一种代数方法
探究：A，B 两地相距 100 km，甲、乙两人骑车同时分别从 A，B 两地相向而行．假设他们都匀速行驶，则他们各自与 A 地的距离 s (单位：km) 都是骑车时间 t (单位：h) 的一次函数．骑行 1 h ，乙距 A 地 80 km，骑行 2 h ，甲距 A 地 30 km．经过多长时间两人相遇
1 h
2 h甲距A地 30 km
乙距 A 地 80 km
A
B
乙
甲
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
可以分别画出两人 s 与 t 之间关系的图象，找出交点的横坐标就行了.
s/km
t/ h
甲
乙
小亮
1.用图象法解决问题
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
2.用二元一次方程组的方法确定一次函数表达式
b1＝100，
k1＋b1＝80
b1＝100
k1＝－20，
解得
∴s＝－20t＋100.
对于乙，s 是 t 的一次函数，可设 s = k1t + b1.
当 t = 0 时，s = 100；当 t = 1 时，s = 80.
将它们分别代入 s = k1t + b1 中，
小明
s = －20t + 100，
s = 15t
联立
解得
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
2k2＝30
k2＝15
s = 15t
对于甲，s 是 t 的正比例函数，可设 s = k2t .
当 t = 2 时，s = 30，代入 s = k2t 中，
小明
设同时出发后 t 小时相遇，则 (15 + 20)t = 100．
3.用一元一次方程的方法解决问题
1 h
2 h甲距A地 30 km
乙距 A 地 80 km
A
B
乙
甲
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
骑行1 h 乙距 A 地 80 km，即乙的速度是 20 km/h
骑行 2 h 甲距 A 地 30 km，即甲的速度是 15 km/h
小颖
【归纳总结】
用画图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
例1 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，超过该质量则需购买行李票，且行李费 y (单位：元) 是行李质量 x (单位：kg) 的一次函数．
已知李明带了 60 kg 的行李，交了行李费 5 元；张华带了 90 kg 的行李，交了行李费 10 元．
(1) 写出 y 与 x 之间的关系式；
(2) 每名乘客最多可免费携带多少千克的行李
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
解：(1) 设 y = kx + b (k≠0)，根据题意，得
所以旅客最多可免费携带 30 千克的行李.
所以
(2) 令 y = 0， ，解得 x = 30.
当 x＞30 时，y＞0.
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
解得
像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法。
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
【归纳总结】
一次函数的表达式有两个参数 k，b，因此要确定一次函数的表达式，需要两个条件!
（1）设：设一次函数的一般形式 ； （2）列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的解析式，组成_________方程组；
（3）解：解二元一次方程组得 k，b；
（4）还原：把 k，b 的值代入一次函数的解析式.
y = kx + b (k ≠ 0)
二元一次
求一次函数解析式的步骤：
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
思考：已知函数 y = 2x + b 的图象经过点 (a，7) 和
(-2，a)，求这个函数的表达式.
解得
∴这个函数的表达式是 y = 2x + 5.
解：将点 (a，7) 和 (-2，a) 代入函数 y = 2x + b 中，
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
得
1. 已知一个正比例函数的图象经过点 (-2，4)，则这个正比例函数的表达式是________.
2. 已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点 (-1，2)，则
k =______.
y = -2x
3
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
【练一练】
4. 在某个范围内，某产品的购买量y(单位:kg)与单价x(单位:元)之间满足一次函数，若购买1000 kg，单价为800元；若购买2000 kg，单价为700元.若一客户购买400 kg，单价是多少
解：设购买量 y 关于单价 x 的函数表达式为 y = kx + b，
∵当 x = 1000 时 y = 800；当 x = 2000 时 y = 700，
∴
800k + b = 1000，
700k + b = 2000.
｛
解得
b = 9000.
∴购买量 y 关于单价 x 的函数表达式为 y = -10x + 9000.
当 y = 400 时，-10x + 9000 = 400，
∴ x = 860.
答：若一客户购买 400 kg，单价是 860 元.
｛
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
利用二元一次方程确定一次函数表达式
用含字母的系数设出一次函数的表达式：
y = kx + b
将已知条件代入上述表达式中得关于 k，b的二元一次方程组
解这个二元一次方程组得 k，b
1. 如图，一次函数的图象经过A，B两点，则这个
函数的表达式为( C )
C. y＝2x＋2
D. y＝－x＋2
第1题图
C
2. 如图是某航空公司托运行李的费用y(元)与行李
重量x(kg)之间的关系，由图象可知，乘客可以免费
托运行李的最大质量为( A )
A. 20kg
B. 30kg
C. 40kg
D. 50kg
第2题图
A
3. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应
值，则m＝ .
x … 0 1 2 …
y … m 3 5 …
1
4. 某公司市场部的营销人员的个人月收入与其每月
的销售业绩满足一次函数关系，其图象如图所示，
由图中给出的信息可知营销人员没有销售业绩时的
收入是 .
2000元 5.4 二元一次方程与一次函数
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
1.会用二元一次方程组求一次函数表达式，解决实际问题.
2.通过方程组与函数的对应关系和数形结合思想，掌握用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法.
重点：利用二元一次方程组求一次函数表达式.
难点：理解方程与函数的联系，体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
知识链接
如图，求一次函数的图象对应的表达式.
直线l是一次函数y＝kx＋b的图象.
（1）b＝ 2 ，k＝ － ；
（2）当x＝30时，y＝ －18 ；
（3）当y＝30时，x＝ －42 .
创设情境——见配套课件
出示：
A，B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（km）都是骑车时间t（h）的一次函数.1h后乙距A地80km；2h后甲距A地30km.问经过多长时间两人将相遇？
你是怎样做的？与同伴交流.
小明：可以分别作出两人s与t之间的函数图象（如图所示），找出交点的横坐标就行了！
小颖：对于乙s是t的一次函数，可设s＝kt＋b，当t＝0时，s＝100；t＝1时，s＝80；将它们分别代入s＝kt＋b中可求出k，b的值，即可求出乙s与t的函数表达式.同理可以求出甲s与t之间的函数表达式，再联立这个表达式求解方程组就行了.
小彬：1h后乙距A地80km，即乙的速度是20km/h，2h后甲距A地30km，即甲的速度是15km/h，由此可以求出甲、乙两人的速度和为20＋15＝35（km/h），所以两人相遇需要的时间为＝＝2（h）.
由此可以看出一道题可以用三种不同的方法来解：通过画图象解方程，用消元法解方程组，根据行程问题中的相遇问题，找等量关系列式求解.由此可知，二元一次方程和一次函数密切相关——这节课我们继续研究：二元一次方程和一次函数的关系.
探究点：用二元一次方程组确定一次函数表达式
你明白他们的想法吗？用他们的方法做一做，看看和你的结果一致吗？小明的方法求出的结果准确吗？
小明的想法是：由于在前一课时已经有了用作图象的方法解方程组的经验，因此较为自然的做法是画图象，但画图的结果多是近似的难以精确.
小颖的想法是：确定甲、乙各自的s与t之间的函数表达式，再用消元法解方程组，能准确地求出结果.
小彬的想法是：根据行程问题中的相遇问题，找出等量关系列算式来解.
通过对上述几种方法的比较，发现小颖的想法很好，既利用了小明的想法的优点，又克服了他的想法的缺点.优点：直观地获得问题的结果，使考虑问题的思路清晰，借助图象帮助我们寻找解题途径；缺点：作图象的方法难以获得准确的结果.由此可见当遇到一次函数、二元一次方程有关的问题，要认真审清题意，必要时要借助数形结合，从图象信息确定一次函数表达式，加强一次函数与二元一次方程的联系.
总结：用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数.已知李明带了60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10元.
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设y＝kx＋b.由题意，得
②－①，得30k＝5，k＝.
将k＝代入①，得b＝－5.所以y＝x－5.
（2）令y＝0，即x－5＝0，解得x＝30；当x＞30时，y＞0.所以乘客最多可免费携带30kg的行李.
像本例这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法.
【针对训练】
（教材P131随堂练习T2）在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数.当所挂物体的质量为1kg时弹簧长15cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.写出y与x之间的函数关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
解：设y与x之间的关系式为y＝kx＋b.由题意得
解得所以y＝0.5x＋14.5.把x＝4代入，得y＝16.5，即当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度为16.5cm.
1.如图，一次函数的图象经过A，B两点，则这个函数的表达式为（ C ）
A.y＝－x＋1 B.y＝x＋2 C.y＝2x＋2 D.y＝－x＋2
第1题图 第2题图 第4题图
2.如图是某航空公司托运行李的费用y（元）与行李重量x（kg）之间的关系，由图象可知，乘客可以免费托运行李的最大重量为（ A ）
A.20kg B.30kg C.40kg D.50kg
3.已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m＝ 1 .
x … 0 1 2 …
y … m 3 5 …
4.某公司市场部的营销人员的个人月收入与其每月的销售业绩满足一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知营销人员没有销售业绩时的收入是 2000元 .
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
待定系数法求一次函数表达式第5章 二元一次方程
5.4 二元一次方程与一次函数
第2课时 用二元一次方程组确定一次函数表达式
【素养目标】
1. 会用二元一次方程组求一次函数表达式, 解决实际问题. (重点)
2. 通过方程组与函数的对应关系和数形结合思想, 掌握用二元一次方程组确定一次函数表达式的方法.(难点)
【复习导入】
1. 二元一次方程组与一次函数有何联系
2. 二元一次方程组有哪些解法
【合作探究】
探究点:用二元一次方程组确定一次函数表达式
探究: 两地相距 ,甲、乙两人骑车同时分别从 , 两地相向而行。假设他们都匀速行驶, 则他们各自与 地的距离 (单位: )都是骑车时间 (单位: ) 的一次函数。骑行 乙距 A 地 ,骑行 甲距 地 。经过多长时间两人相遇
1. 用图象法解决问题
可以分别画出两人 与 之间关系的图象,找出交点的横坐标就行了.
2. 用二元一次方程组的方法确定一次函数表达式
对于乙，s 是 t 的一次函数，可设 s = k1t + b1.当 t = 0 时，s = 100；当 t = 1 时，s = 80.将它们分别代入 s = k1t + b1中，
解得 s＝－20t＋100
对于甲, 是 的正比例函数,可设. 当 时, ,代入 中,
联立 解得
3. 用一元一次方程的方法解决问题
骑行1 h乙距 A 地 80 km,即乙的速度是
骑行 甲距 地 ,即甲的速度是
设同时出发后 小时相遇,则
【归纳总结】
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果, 但有时却难以准确,为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.
例1 某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,超过该质量则需购买行李票,且行李费 (单位: 元) 是行李质量 (单位: ) 的一次函数.
已知李明带了 的行李,交了行李费 5 元；张华带了 的行李,交了行李费 10 元.
(1) 写出 与 之间的关系式;
(2)每名乘客最多可免费携带多少千克的行李？
【归纳总结】
像这样,先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法, 叫作待定系数法。
一次函数的表达式有两个参数 ,因此要确定一次函数的表达式, 需要两个条件!
求一次函数解析式的步骤:
(1) 设:设一次函数的一般形式_________________；
(2) 列:把图象上的点代入一次函数的解析式,组成_______方程组；
(3) 解:解二元一次方程组得 ；
(4)还原:把 的值代入一次函数的解析式.
思考: 已知函数 的图象经过点( a,7 )和 (-2, a),求这个函数的表达式.
【练一练】
1. 已知一个正比例函数的图象经过点(-2,4),则这个正比例函数的表达式是_________ .
2. 已知一次函数 的图象经过点(-1,2),则 .
3. 已知函数 的图像经过点(a,7)和(-2, a), 则这个函数的表达式为 .
4. 在某个范围内,某产品的购买量 与单价 (单位: 元)之间满足一次函数,若购买1000 kg ,单价为800元; 若购买2000 kg ,单价为700元. 若一客户购买400 kg ,单价是多少？
当堂反馈
1. 如图,一次函数的图象经过 两点,则这个函数的表达式为( )
A. B. C. D.
第1题图 第2题图
2. 如图是某航空公司托运行李的费用 与行李重量 之间的关系,由图象可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为( )
A. B. 30kg C. D.
3. 已知 是 的一次函数,下表列出了部分对应值,则 _____.
... 0 1 2 ...
... m 3 5 ...
4. 某公司市场部的营销人员的个人月收入与其每月的销售业绩满足一次函数关系,其图象如图所示, 由图中给出的信息可知营销人员没有销售业绩时的收入是 _________元.
参考答案
1. 二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之,两个一次函数图象的交点坐标也是它们所对应的二元一次方程组的解.
2. 消元法 图象法
探究点:用二元一次方程组确定一次函数表达式
例1 解: (1) 设 ,根据题意,得
②一①,得 .
将 代入①,得 . 所以 .
(2) 令 ,解得 ;当 时, .
所以旅客最多可免费携带 30 千克的行李.
求一次函数解析式的步骤:
(1) ；(2) 二元一次 ；
思考: 解: 将点(a,7)和(-2, a)代入函数中,
这个函数的表达式是 .
【练一练】
1. .
2. .
3. .
4. 解: 设购买量 与单价 的函数表达式为 ,
因为当 时 ; 当 时 ,
所以 解得 因此,购买量 与单价 的函数表达式为 , 当 时, . 答: 当客户购买 ,单价是 860 元.
当堂反馈
1. C 2. A 3. . 4. 2000 .
