2.5 简单的幂函数 同步测试（含答案）

2.5
简单的幂函数
同步测试
一、选择题
1．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是(　　)
A．y＝x
B．y＝x3
C．y＝x2
D．y＝x－2
[答案]　C
[解析]　函数y＝x和y＝x－2我们不太熟悉，但对于y＝x2的图像与性质，我们记忆深刻，并且知道y＝x2在(－∞，0)上为减函数，故选C.
2．幂函数y＝x的定义域是(　　)
A．R
B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．以上皆错
[答案]　B
[解析]　∵y＝x，∴y＝的定义域为[0，＋∞)．
3．函数y＝x的图像大致是(　　)
[答案]　B
[解析]　∵>0，∴图像过原点且递增，又>1，故选B.
4．f(x)＝(x2－2x)－的定义域是(　　)
A．{x|x≠0或x≠2}
B．(0,2)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
[答案]　D
[解析]　由x2－2x>0可得x<0或x>2，故选D.
5．已知函数f(x)＝(a＋2)x－2是幂函数，则f(a)的值为(　　)
A．1
B．－1
C．±1
D．0
[答案]　A
[解析]　由于f(x)是幂函数，所以a＋2＝1，即a＝－1，于是f(x)＝x－2，故f(－1)＝f(－1)－2＝1.
6．若幂函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f()等于(　　)
A．4　　　　　　　　
B．2
C.
D.
[答案]　D
[解析]　设f(x)＝xα，∵f(x)的图像经过点(2,4)，
∴4＝2α.∴α＝2.
∴f(x)＝x2.∴f()＝()2＝.
二、填空题
7．若函数y＝(a2－3a－3)x2为幂函数，则a的值为________．
[答案]　－1或4
[解析]　由幂函数定义可知a2－3a－3＝1，所以a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4.
8．已知f(x)为幂函数，且过(2，)点，则f(x)＝________.
[答案]　x
[解析]　∵函数f(x)为幂函数，∴可设解析式为f(x)＝xα，又∵f(x)图像过(2，)点，
即f(2)＝2α＝，∴α＝，故f(x)＝x.
三、解答题
9．比较下列各数的大小：
(1)(－)和(－)；
(2)4.1，3.8－和(－1.9).
[解析]　(1)函数y＝x在(－∞，0)上为减函数，又－<－，
∴(－)>(－).
(2)4.1>1＝1；0<3.8－<1－＝1；(－1.9)<0，∴(－1.9)<3.8－<4.1.
10．证明：函数f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．
[证明]　方法一：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1∴f(x1)－f(x2)＝－
＝＝<0，
即f(x1)由函数单调性的定义可知，f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数．
方法二：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x10，
∴＝＝<1，
即f(x1)由函数单调性的定义可知，f(x)＝在[0，＋∞)上是增函数.
一、选择题
1．幂函数y＝xα中α的取值集合C是{－1,0，，1,2,3}的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C为(　　)
A．{－1,0，}
B．{，1,2}
C．{－1，，1,3}
D．{，1,2,3}
[答案]　C
[解析]　根据幂函数y＝x－1，y＝x0，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，当α＝－1，，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．
2．如果f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，则f(x)在其定义域上(　　)
A．是增函数
B．是减函数
C．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上为减函数
D．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数
[答案]　D
[解析]　∵f(x)＝(m－1)x
m2－4m＋3是幂函数，
∴m－1＝1，即m＝2.
f(x)＝x－1，
显然f(x)＝x－1在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数．
二、填空题
3．比较大小(填“>”“<”或“＝”)：
(1)()0.5________()0.5；
(2)(－π)3________(－3)3.
[答案]　(1)>　(2)<
[解析]　因为幂函数y＝x0.5在区间[0，＋∞)上是增加的，又>，所以()0.5>()0.5.
(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，＋∞)上是增加的，又－π<－3，所以(－π)3<(－3)3.
4．给定一组函数解析式：①y＝x；②y＝x；③y＝x－；
④y＝x－；⑤y＝x；⑥y＝x－；⑦y＝x及如图所示的一组函数图像．请把图像对应的解析式号码填在图像下面的括号内．
[答案]　⑥④③②⑦①⑤
[解析]　由第一、二、三个图像在第一象限的单调性知，α<0，而第一个图像关于原点对称，为奇函数，第二个图像关于y轴对称，为偶函数；第三个在y轴左侧无图像，故这三个图像分别填⑥④③.
由第四、五、六个图像在第一象限的特征知，0<α<1，再由其奇偶性及定义域知这三个图像应依次填②⑦①.
第七个图像对应的幂指数大于1，故填⑤.
三、解答题
5．函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值．
[解析]　∵y＝(m2－m－1)x
m2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1.
即(m－2)(m＋1)＝0，∴m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，在(0，＋∞)上是减函数；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)不是减函数．
综上所述，所求m＝2.
6．已知幂函数f(x)的图像过点(2,32)，求函数y＝f(x－2)的解析式．
[解析]　设f(x)＝xα，则2α＝32，
∴α＝5.∴f(x)＝x5.
∴f(x－2)＝(x－2)5.
7．已知幂函数f(x)的图像过点(，2)，幂函数g(x)的图像过点(2，)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式；
(2)当x为何值时：①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；
③f(x)＜g(x)．
[解析]　(1)设f(x)＝xα，
∵其图像过点(，2)，故2＝()α，
∴α＝2，∴f(x)＝x2.设g(x)＝xβ，
∵其图像过点(2，)，
∴＝2β，∴β＝－2，∴g(x)＝x－2.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x2与g(x)＝x－2的图像，如图所示：
由图像可知：f(x)，g(x)的图像均过点(－1,1)与(1,1)．
∴①当x＞1或x＜－1时，f(x)＞g(x)；
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．